1、高考资源网（） 您身边的高考专家3.3.2抛物线的简单几何性质学 习 目 标核 心 素 养1.掌握抛物线的几何性质(重点) 2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题(难点)1.通过抛物线几何性质的应用，培养学生的数学运算核心素养.2.通过直线与抛物线的位置关系、焦点弦及中点弦、抛物线综合问题的学习，提升学生的逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养.(1)通过多媒体课件展示抛物线形反射镜，平行光束聚焦于焦点，激发学生兴趣(2)问题：一抛物线形拱桥跨度为4米，拱顶离水面2米，一水面漂浮一宽2米，高出水面1.6米的大木箱，问能否通过该
2、拱桥？为了解决这个问题，我们先来研究一下抛物线的简单几何性质1抛物线的几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形性质焦点准线xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e12.焦点弦直线过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|x1，|BF|x2，故|AB|x1x2p.3直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交设直线ykxm与抛物线y22px(p0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将ykxm代
3、入y22px，消去y并化简，得k2x22(mkp)xm20.k0时，直线与抛物线只有一个交点；k0时，0直线与抛物线相交有两个公共点0直线与抛物线相切只有一个公共点0直线与抛物线相离没有公共点思考：直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？提示可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是无中心的圆锥曲线()(2)抛物线y22px过焦点且垂直于对称轴的弦长是2p()(3)抛物线yx2的准线方程为x()提示(1)(2)(3)2顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准
4、方程是()Ax216yBx28yCx28yDx216yD顶点到准线的距离为，则4.解得p8，又因对称轴为y轴，则抛物线方程为x216y.3过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，则|AB|()A10B8C6D4B|AB|x1x2p628.4若双曲线1(p0)的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p_.4双曲线的左焦点为(，0)，由条件可知，解得p4.抛物线性质的应用【例1】(1)已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为_(2)如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线
5、于点A，B，C，若|BC|2|BF|，且|AF|4，求抛物线的方程思路探究(1)利用抛物线和圆的对称性，先确定出交点坐标，然后再求方程(2)根据抛物线的定义，将条件转化到三角形中，再根据三角形的关联性求解(1)y23x或y23x根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为，交点横坐标为1，则抛物线过点(1，)或(1，)，设抛物线方程为y22px或y22px(p0)，则2p3，从而抛物线方程为y23x或y23x.(2)解如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|a，则由已知得：|BC|2a，由定义得：|BD|a，故BCD30，在RtACE中，|AF|4，|AC|43a，2|A
6、E|AC|，43a8，从而得a，BDFG，p2.因此抛物线的方程是y24x.用待定系数法求抛物线方程的步骤提醒：求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置，不同的焦点设出不同的方程跟进训练1若直线xm与抛物线y24x交于A、B两点，F是其焦点，若ABF为等边三角形，求m的值解根据题意ABF为等边三角形，则tan 60，m0，解得m712.直线与抛物线的位置关系【例2】(1)过定点P(0,1)作与抛物线y22x只有一个公共点的直线有几条？(2)若直线l：y(a1)x1与曲线C：y2ax(a0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合思路探究(1)分斜率存在、不存在两种情况，存在时将直线方程代入抛物线方
7、程，转化为0求解；不存在时显然满足题意(2)分类讨论方程有一解时a的取值解(1)当直线的斜率不存在时，直线x0，符合题意当直线的斜率存在时，设过点P的直线方程为ykx1，当k0时，直线l的方程为y1，满足直线与抛物线y22x仅有一个公共点；当k0时，将直线方程ykx1代入y22x，消去y得k2x22(k1)x10.由0，得k，直线方程为yx1.故满足条件的直线有三条(2)因为直线l与曲线C恰好有一个公共点，所以方程组只有一组实数解，消去y，得(a1)x12ax，即(a1)2x2(3a2)x10.()当a10，即a1时，方程是关于x的一元一次方程，解得x1，这时，原方程组有唯一解()当a10，即
8、a1时，方程是关于x的一元二次方程令(3a2)24(a1)2a(5a4)0，解得a0(舍去)或a.所以原方程组有唯一解综上，实数a的取值集合是.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数时，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为一元二次方程，则利用判别式判断方程解的个数(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：(1)直线与抛物线的对称轴重合或平行；(2)直线与抛物线相切跟进训练2若抛物线y24x与直线yx4相交于不同的两点A，B，求证OAOB.证明由消去y，得x212x160.直线yx4与抛物线相交于不同两
9、点A，B，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x212，x1x216.x1x2y1y2x1x2(x14)(x24)x1x2x1x24(x1x2)161616412160，即OAOB.中点弦及弦长公式【例3】过点Q(4,1)作抛物线y28x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程思路探究设A(x1，y1)，B(x2，y2)，用点差法求kAB；也可以设直线AB的方程，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，通过“设而不求”求解解法一：(点差法)设以Q为中点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y8x1，y8x2，(y1y2)(y1y2)8(x1x2)又y1y2
10、2，y1y24(x1x2)，即4，kAB4.AB所在直线的方程为y14(x4)，即4xy150.法二：由题意知AB所在直线斜率存在，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB所在直线的方程为yk(x4)1.联立消去x，得ky28y32k80，此方程的两根就是线段端点A，B两点的纵坐标由根与系数的关系得y1y2.又y1y22，k4.AB所在直线的方程为4xy150.“中点弦”问题解题方法跟进训练3已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程解当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y22px(p0)，则焦点F，直线l的方
11、程为yx.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p6，x1x26p.由消去y，得2px，即x23px0.x1x23p，代入式得3p6p，p.所求抛物线的标准方程是y23x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y23x.抛物线的综合应用探究问题1若两条直线的斜率存在且倾斜角互补时，两条直线的斜率有什么关系？提示两条直线的斜率互为相反数2如何对待圆锥曲线中的定点、定值问题？提示常选择一个参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算说明与参数无关，进
12、而找到定点、定值也常用特值法找定点、定值【例4】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值思路探究第(1)问可以利用待定系数法解决；第(2)问关键是如何将PA与PB两条直线的倾斜角互补与直线AB的斜率联系起来解(1)由题意可设抛物线的方程为y22px(p0)，则由点P(1,2)在抛物线上，得222p1，解得p2，故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)证明：因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，所以kPAkPB
13、，即.又A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，所以x1，x2，从而有，即，得y1y24，故直线AB的斜率kAB1.1.若本例题改为：如图所示，已知直线l：y2x4交抛物线y24x于A，B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使PAB的面积最大，并求出这个最大面积如何求解？解由解得或由图可知，A(4,4)，B(1，2)，则|AB|3.设P(x0，y0)为抛物线AOB这段曲线上一点，d为点P到直线AB的距离，则d|(y01)29|.2y04，(y01)290.d9(y01)2从而当y01时，dmax，Smax3.故当点P的坐标为时，PAB的面积取得最大值，最大值为.2.若本例改为“抛
14、物线方程为y2x，且过点P(3，1)的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点(均与点A(1,1)不重合)，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2”，求证：k1k2为定值解设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN的方程为xt(y1)3，代入抛物线方程得y2tyt30.所以(t2)280，y1y2t，y1y2t3.所以k1k2.所以k1k2是定值应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题解决这类问题的方法很多，如
15、斜率法、方程法、向量法、参数法等解决这些问题的关键是代换和转化(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值1抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线2.抛物线中常见的几个结论：已知AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)点F是抛物线的焦点(如图)则有(1)y1y2p2，x1x2.(2)|AB|x1x2p.(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切(4)以焦半径为直径的圆与y轴相切1若抛物线y22x上有两
16、点A、B且AB垂直于x轴，若|AB|2，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()ABCDA线段AB所在的直线方程为x1，抛物线的焦点坐标为，则焦点到直线AB的距离为1.2在抛物线y216x上到顶点与到焦点距离相等的点的坐标为()A(4，2)B(4，2)C(2,4)D(2，4)D抛物线y216x的顶点O(0,0)，焦点F(4,0)，设P(x，y)符合题意，则有所以符合题意的点为(2，4)3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A是抛物线上一点，若4，则点A的坐标是()A(2，2)B(1，2)C(1,2)D(2,2)B由题意知F(1,0)，设A，则，由4得y02，点A的坐标为(1，2)，故选B.4
17、已知AB是过抛物线2x2y的焦点的弦，若|AB|4，则AB的中点的纵坐标是_设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线2x2y，可得p.|AB|y1y2p4，y1y24，故AB的中点的纵坐标是.5已知点P(1，m)是抛物线C：y22px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|2，直线l：yk(x1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|8，求k的值解(1)抛物线C：y22px的准线为x，由|PF|2得：12，得p2.所以抛物线的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2(2k24)xk20，16k2160，x1x2.直线l经过抛物线C的焦点F，|AB|x1x2p28，解得k1，所以k的值为1或1.- 13 - 版权所有高考资源网
