1、安徽省滁州市定远县育才学校 2021 届高三下学期开学考试数学（理）试题本卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.已知全集 U=-1,0,1,2,3,4，集合2|430AxN xx，集合2|2BxNyxx，则()UCAB（）A.-1,0,1,2,3B.-1,0,4C.4D.-1,0,3,42.已知复数 z 满足(3425zii i为虚数单位)，则在复平面内复数 z 对应的点的坐标为（）A.21,5B.2,15C.21,5 D.2,153.一个算法的程序框图如图所示，若执行该程序输出的结果是 1，
2、则判断框内可填入的条件是（）A.6?i B.7?i C.7?i D.6?i 4.为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：样本数据落在区间300 500),的频率为 0.45；如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有 55%的当地中小型企业能享受到减免税政策；样本的中位数为 480 万元.其中正确结论的个数为（）A.0B.1C.2D.35.函数 f（x）2sin2（x 6）（0）的最小正周期为则 f（x）在3,44上的最小值是（）A.1+3
3、2B.12C.2D.1326.已知函数 200 xxeexf xxx，若0.015a，33 log 22b，2log 0.9c，则有（）A.f bf af cB.f af bf cC.f af cf bD.f cf af b7.如图，点 A 的坐标为1,0，点 C 的坐标为2,4 函数 2f xx，若在矩形 ABCD内随机取一点则该点取自阴影部分的概率为（）A.13B.12C.23D.5128.在三棱锥 PABC中，平面 PAB 平面 ABC，2 5,6,3APABACB，且直线 PA 与平面 ABC 所成角的正切值为 2，则该三棱锥的外接球的表面积为（）A.13B.52C.523D.52 1
4、339.正项等比数列 na中，225689264aa aa，且3a 与7a 的等差中项为 2，则1a（）A.325B.2C.25D.11710.已知 fx 是函数 f x 的导函数，且对任意的实数 x 都有 1xfxfxe（e 是自然对数的底数），00f，若不等式 0f xk的解集中恰有两个整数，则实数 k的取值范围是（）A.22 1,eeB.3232,eeC.3232,eeD.3232,ee11.若函数()(1)(0 xxf xkaaa且1a）在 R 上既是奇函数,又是减函数,则()log()ag xxk的图象是（）A.B.C.D.12.已知函数1,(0)()ln2,(0)xxexf xxx
5、x ，若函数 yf xa至多有 2 个零点，则 a 的取值范围是（）A.1,1eB.1,1(1,)eC.11,1eD.1,1e第 II 卷（非选择题 90 分）二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)13.已知单位向量12,e e 的夹角为 3，若向量122ee与向量122eke的夹角为 2，则实数k _.14.函数 f（x）22,0ln,0 xxxxx，则 f（f（1e）_.15.已知双曲线2222:1,0 xyCa bab的左、右焦点为1F、2F，点2F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线 C 的离心率是_16.四棱锥 SABCD中，底面 ABCD 是边长为
6、2 的正方形，侧面 SAD 是以 SD 为斜边的等腰直角三角形，若 2 24SC，则四棱锥 SABCD的体积取值范围为_三、解答题(共 6 小题,共 70 分。需给出必要的演算步骤。)17.（本小题满分 12 分）已知 ABC中三个内角 A，B，C 满足2 cossin()1BAC（1）求sin B；（2）若2CA，b 是角 B 的对边，3b，求 ABC的面积18.（本小题满分 12 分）某芯片公司为了制定下一年的某种产品研发投入计划，需要了解年研发资金投入量 x（单位：亿元）对年销售额 y（单位：亿元）和年收益 z（单位：亿元）的影响，为此收集了近 12 年的年研发资金投入量ix 和年销售额
7、iy 的数据并对这些数据作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值.为了进一步了解年研发资金投入量 x 对年销售额 y 的影响，公司三位员工查阅大量资料，对历史数据进行对比分析，分别提出了三个回归方程模型：yabx；2ycdx；g xyfe.xy1221iixx121iiixxyy1221iiyy4066770250200u1221iiuu121iiiuuxxv1221iivv121iiivvyy3.600.499.8065.0030.00表中lniiuy，2iivx.（1）根据散点图及表中数据，请分别选用两个比较恰当的回归方程模型，建立 y 关于 x 的回归方程；（2）根据（1）的回归
8、方程模型，从数据相关性的角度考虑，判断哪一个更适宜作为年销售额 y 关于年研发资金投入量 x 的回归方程？并说明理由；已知这种产品的年收益 z 服正态分布(40,204.75)N，那么这种产品的收益超过 54.31 亿元（含 54.31 亿元）的概率为多少？附：最小二乘估计以及相关系数公式：11222111,nniiiiiinnniiiiiixxyyxxyybaybx rxxxxyy；若2,zN ，则有()0.6826Pz，(22)0.9544Pz；参考数据：21.41,103.16,204.7514.31.19.（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 EABCD中，ADCD，2DADCDE，
9、2 2EAEC，M 是 EA 的中点.（1）证明：AE 平面 MCD；（2）若/CD AB，三棱锥 MBCE的体积为 13，求底棱 AB 的长.20.（本小题满分 12 分）已知椭圆221:163xyC 的焦点与抛物线22:20Cxpy p的焦点之间的距离为 2.（1）求抛物线2C 的方程；（2）设1C 与2C 在第一象限的交点为 A，过点 A 斜率为 0k k 的直线 1l 与1C 的另一个交点为 B，过点 A 与 1l 垂直的直线 2l 与2C 的另一个交点为C.设ABmAC，试求 m 的取值范围.21.（本小题满分 12 分）已知函数 ln1f xxkx，（1）讨论函数 fx 的单调区间
10、；（2）若对于任意的0 x，不等式 877 xfxkxe，恒成立，求 k 的范围.四、选考题22.（本小题满分 10 分）选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，P（0，1），曲线 C1的参数方程为31232xtyt （t 为参数）以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为4cos（1）求曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程；（2）曲线 C1与 C2交于 M，N 两点，求|PM|PN|参考答案1.B 2.B3.D 4.D 5.D 6.B 7.D 8.B 9.C 10.D11.A12.B13.8514.115.216.4 3 8,33
11、17.（1）13（2）3 22解：（1）在 ABC中，ABC，即()BAC，sinsin()BAC，由题意得2 cossin1BB 两边平方可得222cossin2sin1BBB，根据22sincos1BB，可整理为23sin2sin10BB，解得1sin3B 或sin1B （舍去）1sin3B（2）由2CA，且 ABC，可得 22AB，C 为钝角，sin 2cosAB，又3b，由正弦定理得3 3sinsinsinabcABC，3 3sinaA，3 3sincC又C 为钝角，由（1）得cos2 23B ABC的面积为111sin3 3sin3 3sin223SacBAC99sinsinsinc
12、os222AAAA9992 23 2sin 2cos44432AB综上所述，ABC的面积为 3 2218.（1）选用，两个回归方程模型；22306yx，0.0133.08xye；（2）模型更适宜作为收益 y 关于投入量 x 的回归方程；答案见解析；0.1587.【解析】（1）因为散点图中 x 与 y 之间不是线性关系，故可以判断模型不适合.故选用，两个回归方程模型.令2vx，先建立 y 关于v 的线性回归方程：设 y 关于v 的线性回归方程为ydvc .由于 1211221()()()iiiiivvyydvv30.0065.00，666630cydv，所以 y 关于u 的线性回归方程为 306
13、yv，因此模型为 22306yx；由g xyfe，得lnlnyg xf，令ln,lnuygf，所以ux，先建立u 关于 x 的线性回归方程.由于1211221()()9.800.013770()iiiiiuuxxxx，3.60.013403.08ux，所以u 关于 x 的线性回归方程为 0.0133.08ux，因此模型为 0.0133.08xye；（2）模型中，相关系数121212122211()()30.003100.3 3.160.948105200()()iiiiiiivvyyrvvyy，模型中，相关系数121312122211()()9.800.5050.49770()()iiiiii
14、iuuxxruuxx，可得 321rr，说明变量 y 与v 的线性相关程度更好，即模型：22306yx拟合效果更好，故模型更适宜作为收益 y 关于投入量 x 的回归方程.依题意 z 服从正态分布2(40,204.75)(40,14.31)NN，所以()(25.6954.31)0.6826PzPz，所以10.6826(54.31)0.15872P z.19.解：（1）ADCD，2DADC，2 2AC，又2 2EAEC，AEC为等边三角形，又2DADE，M 是 EA 的中点AEDM，AEMC，2DM 又 DMMCM，,DM MC 平面 MDCAE 平面 MCD；（2）AE 平面 MCD，AECD，
15、又 ADCD，ADAEA，,AD AE 平面 ADE CD 平面 ADE，又 DM 平面 ADE，CD DM，/CD AB，ABDM，又 AEDM，ABAEA，,AB AE 平面 ABE，DM 平面 ABE/CD ABC 点到平面 ABE 的距离等于 D 点到平面 ABE 的距离MBCEC BMED BMEVVV，又11113332D BMEBMEBMEABEVSDMSDMSDM11112 223223AB，解得：1AB .20.（1）24xy；（2）10,2.【解析】（1）由椭圆221:163xyC，得26a，23b，3c，所以，椭圆1C 的右焦点为 3,0F，抛物线22:20Cxpy p的
16、焦点为0,2pF，由题意可得2230022pFF，0p，2p，因此，抛物线2C 的方程为24xy；（2）联立椭圆1C 和抛物线2C 的方程22216340 xyxyx，解得21xy，可得点 2,1A，设点11,B x y、22,C xy，联立直线 1l 与椭圆1C 的方程2216312xyyk x ，消去 y 得，22214218840kxkkxkk，由题意可知，2 是关于 x 的二次方程22214218840kxkkxkk的一个根，由韦达定理得212884221kkxk，21244221kkxk，221241 11221kkABkxk，直线 2l 的方程为112yxk ，联立直线 2l 与抛
17、物线2C 的方程21124yxkxy ，消去 y 得24840 xxkk，由题意可知，2 是关于 x 的二次方程24840 xxkk的一个根，由韦达定理得2824xk ，242xk ，22222411114124kkkACxkkkk，所以，222110,11222ABkmkACk，因此，m 的取值范围是10,2.21.解：（1）1111xkkfxxx ，定义域为1,+若0k，则1()01xkfxx 对1x 成立，fx 在区间1,+单调递增；若 k0，则()f x 在区间1,1 k 单调递减，在区间1,+k 单调递增.（2）原命题可化为0 x，ln1710 xkxxxe 恒成立.取 ln171x
18、g xkxxxe，2117 1(),711xxkgxkeu x u xexx，00,00,07gguk.若7k，即 070gk，存在1 0 x使得1(0,)xx，()0u x，所以()g x在1(0,)x单调递减，又(0)0g，所以1(0,),()0 xxg x，()g x 在1(0,)x单调递减，又(0)0g，1(0,),()0 xxg x，不合题意，7k 若0k，则2()70(1)xku xex对0 x 成立，若07k，可知2()7(1)xku xex在(0,)单调递增，0 x，()(0)70u xuk.7k 时，0 x，()0u x，()g x在(0,)单调递增，0 x，()(0)0g
19、xg，()g x 在(0,)单调递增，0 x，()(0)0g xg.综上，k 的范围为(,7.22.（1）10 xy，2240 xyx，（2）14解：（1）曲线 C1的参数方程为31232xtyt （t 为参数），消去参数 t 得普通方程为10 xy，曲线 C2的极坐标方程为4cos，两边同乘以 ，得24 cos，所以其直角坐标方程为2240 xyx（2）曲线 C1过点 P（0，1），则其参数方程为22212xtyt ，将其代入方程2240 xyx得，22222()(1)4()0222ttt ，化简得223 2103 24140tt ，设上式方程的根为 12,t t，所以 121 23 2,1ttt t，所以2212121 2()4(3 2)4 114PMPNttttt t