1、第四章 导数专练1已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若关于的不等式在，恒成立，求实数的取值范围解：（1），令，则在上恒成立，在上单调递增又，当时，；当时，即，当时，；当时，在，上单调递减，在，上单调递增，因此，的最小值为；（2）不等式，即，等价于设，则由题意得在，内恒成立，当时，这时，使当时，从而在，上单调递减，又，当时，这与在，内恒成立不符当时，对于任意的，从而，这时设，则，设，则当时，在，上单调递增又，当时，即因此，在，上单调递增又，当时，从而综上，实数的取值范围为，2已知函数，（1）若，求曲线在点，处的切线方程；（2）设，若，求的取值范围解：（1）时，则，又，故切点为，故曲线在点，处
2、的切线方程为：；（2），定义域是，令（a），求导（a），故（a）在上单调递增，且（1），故，则当时，恒成立，即（a）（1），故，时，令，则，故在上单调递增，且，故存在，使得，即，当时，在上单调递减，当，时，在，上单调递增，故，综上，所求的取值范围是，3已知函数（1）若在，上为增函数，求实数的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间，上的最小值解：（1）因为函数在，上是增函数，所以当，时，恒有，故有，此时令，则有，即得在，上单调递减，故有，因此可得，（2）根据题意，则有，存在两条互相垂直的切线，假设切点横坐标分别为，则有，化简可知，令，则有，恒成立，即得在上单调递减，又，在上恒
3、成立，即得在上单调递减，即函数的最小值为4函数，（1）当时，函数在有极值点，求实数的取值范围；（2）对任意实数，都有成立，求实数的取值范围解：（1），又，则，故在递减，故，即的取值范围是；（2），故，当，时，故在，上递增，当即时，存在，使得递减，又，当时，与矛盾；，即时，又，则，而时，故，故函数在区间，递增，又，故，综上：的取值范围是，5已知函数的导函数为，其中为自然对数的底数（1）若，使得，求实数的取值范围；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围解：（1）由，可得，因为，使得，所以，使得，则有，所以，所以实数的取值范围为；（2）当时，恒成立，所以对，恒成立，即对，恒成立，令，由，可得，又，所以
4、，记，则，在，上恒成立，所以，在，上均单调递增，所以，所以，当时，所以在区间，上单调递增，故，当时，记，则在上单调递增，故，由零点存在性定理可知，存在，使得，所以当时，故在区间上单调递减，即，所以在区间上单调递减，从而，不符合题意综上所述，故实数的取值范围为，6已知函数，（1）设函数，当，时，求函数零点的个数；（2）求证：解：（1）由题意得：，当，时，故，在，上单调递增；当，时，在，上单调递增，又，且的图像在内连续不断，存在，使得，且当，时，当，时，在，内单调递减，在，内单调递增，综合可知：在，内单调递减，在，内单调递增，又，且的图像在，内连续不断，存在，存在，使得，函数在，内的零点个数是2；
5、（2）证明：要证，即证：，设，则，在单调递减，故要证成立，只需证明，设，则，又设，在上单调递减，又，（1），存在，使得，即，当时，单调递增，当时，单调递减，故，故原命题成立7已知函数，（1）若在上有极值点，求的取值范围；（2）若，时，求的最大值解：（1），依题意，有变号零点，令，则，所以在有实根，注意到，所以（1），解得，即（2），当时，所以成立；当时，所以记，则恒成立，在单调递增，若，则，记，则，所以存在，使得，当时，单调递减，所以时，不符题意，当时，即时，单调递增，所以，符合题意，当时，由，所以，而时，所以成立，综上所述，的最大值为38已知函数（1）当时，求曲线在点，处的切线方程；（2）求
6、函数在，的最小值解：（1）当时，又得切点，所以切线方程为，即；（2）法一：，令，由，得，所以在上为单调增函数，又，所以在上恒成立，即，当时，知在上为减函数，从而，当时，知在上为增函数，从而；综上，当时；当时法二：，由，得，当时，知在上为减函数，从而，当时，知在上为增函数，从而，综上，当时；当时9已知函数，（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：解：（1）当时，导数为，可得切线的斜率为，且，所以切线的方程为，即为；（2）证明：由题意可得，若，则，所以在递增，因此不存在，使得，所以；设，则，令，所以在递减，又，所以在恒成立，从而在递减，从而又由，可得，所以由可得又因为，所以，因此要证，只需证明，即证，设，则，所以在上为增函数，又因为，所以（1），即式成立所以获证