1、导数及其应用【重点提醒】1. 注意“在某点处的切线”与“过某点的切线”的差异.例如,已知曲线y=x3上一点P,求过点P的切线方程.答案:3x-3y+2=0或12x-3y-16=0.提醒:点P虽然在曲线上,但过点P的切线不一定以点P为切点,容易忽视点P不是切点的情况.2. 利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当f(x)0或f(x)0,带上等号.3. 求函数单调区间时,易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”,单调区间不能用集合或不等式表示.4. x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号,而不仅是f(x0)=0,f(x0)=0是x0为极值点的必要不充分条件;给出函数极大(小)值的条件,
2、一定要既考虑f(x0)=0,又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化,否则条件不完整,这一点一定要切记!例如,函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b的值为.答案:-7【经典剖析】例1已知函数f(x)=x3+x2-3x+a+1.(1) 对任意的x1,+),f(x)0恒成立,求实数a的取值范围;(2) 对任意的x1,+),f(x)的值域是0,+),求实数a的值.易错点分析:上述两个问题看似相同,但是实质差异很大,有的学生认为既然问题(1)中f(x)0恒成立,那么它的值域必然是0,+),所以问题(1)与问题(2)是等价的两个问题.问题(1)是一个不等式恒成立问题
3、,要对任意的x1,+),f(x)0恒成立,那么由函数的图象可知,只要保证在x1,+)上,f(x)的最小值大于等于0即可.因此,f(x)m在xD上恒成立等价于f(x)在D上的最小值大于等于m成立,若xD,f(x)m在D上恒成立,等价于f(x)的最大值小于等于m成立.解答:(1) f(x)=x2+2x-3,由f(x)=0,求得x1=-3,x2=1,当f(x)0时,x1,当f(x)0时,-3x1.所以函数在1,+)上单调递增.f(x)的最小值为f(1)=a-,依题意a-0,a,故实数a的取值范围是.分析: 问题(2)要求是当a取何值时,函数f(x)的值域恰好大于等于零,它是一个恰成立的问题,f(x)
4、的最小值一定是零.问题(1)中,当实数a在上取值时,f(x)0总成立,但是此时函数的值域不一定是0,+),有可能是,1,+),2,+),它们是0,+)的子集,所以若xD,f(x)M在D上恰成立,等价于函数f(x)在D上的值域是M,据此,问题2的解答如下.(2) f(x)=x2+2x-3,由f(x)=0,求得x1=-3,x2=1,当x1时,f(x)0,当-3x1时,f(x)0时,由f(x)=0得x=,当-x0,f(x)的单调增区间是.由于f(x)在(-1,1)上是增函数,所以-1且1,所以a3,故实数a的取值范围是3,+).(2)由问题(1)可知f(x)的单调增区间是,由于f(x)的增区间恰是(
5、-1,1),所以=1,a=3,即a=3时,f(x)的増区间是(-1,1).例3已知曲线y=(a-3)x3+lnx存在垂直于y轴的切线,且函数f(x)=x3-ax2-3x+1在1,2上单调递增,则实数a的取值范围是.易错点分析:f(x)=3x2-2ax-30在1,2上恒成立中易忽视等号也成立.答案:(-,0解析:由已知条件可得方程y=3(a-3)x2+=0(x0),即3(a-3)x3+1=0有大于0的实数根,即得x3=-0,解得a1时,1-2a-1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-,1-2a)1-2a(1-2a,-1)-1(-1,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值由
6、此得函数f(x)的单调增区间为(-,1-2a)和(-1,+),单调减区间为(1-2a,-1).当a=1时,1-2a=-1.此时,f(x)0恒成立,且仅在x=-1处f(x)=0,故函数f(x)的单调增区间为(-,+).当a-1,同理可得函数f(x)的单调增区间为(-,-1)和(1-2a,+),单调减区间为(-1,1-2a).综上,当a1时,函数f(x)的单调增区间为(-,1-2a)和(-1,+),单调减区间为(1-2a,-1);当a=1时,函数f(x)的单调增区间为(-,+);当a1时,函数f(x)的单调增区间为(-,-1)和(1-2a,+),单调减区间为(-1,1-2a).点评:本题主要考查导
7、数的应用,同时考查分类讨论的思想,考查运算求解能力、综合分析问题的能力和化归与转化的思想,易错之处在于第(2)中a的讨论分界值.数列【重点提醒】1. 等差(等比)数列的通项公式及前n项和公式中,涉及5个元素:a1,d(q),n,an及Sn,其中a1,d(q)称作为基本元素.只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即“知3求2”.2. 等差数列中的重要性质:(1) 若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则am+an=ap+aq;(2) 数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等差数列.3. 等比数列中的重要性质:(1) 若m+n=p+q(m,n,p,qN*),则aman=apaq;
8、(2) 数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.4. 数列求和的常用方法:(1) 公式法;(2) 分组求和法;(3) 倒序相加法;(4) 错位相减法;(5) 裂项相消法等.5. 已知数列的前n项和Sn求an时,易忽视n=1的情况,直接用Sn-Sn-1表示an;应注意an,Sn的关系中是分段的,即an=6. 易忽视等比数列的性质,导致增解、漏解现象,如忽视等比数列的奇数项或偶数项的符号相同而造成增解;在等比数列求和问题中忽视公比为1的情况导致漏解,在等比数列中,Sn=【经典剖析】例1已知数列an的前n项和为Sn且a1=1,an+1=Sn,求a2,a3,a4的值及数列an的通项公式.易
9、错点分析:此题在应用Sn与an的关系时误认为an=Sn-Sn-1对于任意的n值都成立,忽略了对n=1的情况的验证,易得出数列an为等比数列的错误结论.解答:由已知得a2=,a3=,a4=.由a1=1,an+1=Sn,得an=Sn-1,n2,故an+1-an=Sn-Sn-1=an,n2,得an+1=an,n2.又a1=1,a2=,故该数列从第二项开始为等比数列,故an=点评:对于数列an与Sn之间有如下关系:an=利用两者之间的关系可以已知Sn求an.但注意只有在当a1适合an=Sn-Sn-1,n2时,两者才可以合并,否则要写成分段函数的形式.例2对于实数x,若an=xn,求数列an的前n项和S
10、n.易错点分析:容易忽视x=0和x=1这两种特殊情况.答案:当x=0时,Sn=0;当x=1时,Sn=n;当x0且x1时,Sn=点评:等比数列求和公式中分两种情况,q=1和q1,因此我们在做此类题目时,应注意条件是否暗示了q的范围,如果没有暗示,应该讨论,而不能直接使用公式Sn=.例3设无穷等差数列an的前n项和为Sn.(1) 若首项a1=,公差d=1,求满足=的正整数k;(2) 求所有的无穷等差数列an,使得对于一切正整数k都有=成立.错解:(1) 当a1=,d=1时,Sn=n2+n,由=,得k4+k2=,即k=0或k=4,因为k0,所以k=4.(2) 由对一切正整数k都有=成立,则k2a1+
11、d=,即(a1-)k2-a1dk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0对切正整数k恒成立,所以求得a1=0或1,d=0.所以等差数列an=0,0,0,或an=1,1,1,.易错点分析:(2)中解法定对一切正整数k都成立,而不是一切实数,故而考虑取k的特值也均成立.解答:(1) 当a1=,d=1时,Sn=na1+d=n+=n2+n.由=,得k4+k2=,即k3=0.又k0,所以k=4.(2) 设数列an的公差为d,在=中分别取k=1,2,得即由得a1=0或a1=1,当a1=0时,代入得d=0或d=6.若a1=0,d=0,则an=0,Sn=0,从而=成立;若a1=0,d=6,则an=
12、6(n-1),由S3=18,=324,S9=216,知S9,故所得数列不符合题意.当a1=1时,代入得4+6b=(2+d)2,解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,则an=1,Sn=n,从而=成立;若a1=1,d=2,则an=2n-1,Sn=1+3+(2n-1)=n2,从而=成立.综上,共有3个满足条件的无穷等差数列:an=0,an=1,an=2n-1.例4已知数列an是首项a1=,公比q=的等比数列,设bn+2=3loan(nN*),数列cn满足cn=anbn.(1) 求数列bn的通项公式;(2) 求数列cn的前n项和Sn.易错点分析:用错位相减法求和时项数处理不当.解答:(1) 由题意可知an=(nN*),又bn=3-2,所以bn=3n-2(nN*).(2) 由(1)知an=(nN*),bn=3n-2(nN*),所以cn=(3n-2)(nN*).所以Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2),于是Sn=1+4+7+(3n-5)+(3n-2),两式相减,得Sn=+3-(3n-2)=-(3n+2),所以Sn=-(nN*).点评:利用错位相减法求解数列的前n项和时,应注意两边乘以公比后,对应项的幂指数会发生变化,为避免出错,应将相同幂指数的项对齐,这样有一个式子前面空出一项,另外一个式子后面就会多出一项,两式相减,除第一项和最后一项外,剩下的n-1项是一个等比数列.
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