1、第2课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学 习 目 标核 心 素 养1掌握二项式系数的性质及其应用(重点)2了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明(难点)3掌握二项式定理的应用(难点)1通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养.2借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养.我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的详解九章算术一书中，用如图所示的三角形解释(ab)n的展开式的各项系数(ab)01(ab)111(ab)2121(ab)31331(ab)414641(ab)515101051问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的
2、数吗？1二项式系数的性质(1)CCCC2n；(2)CCCCCC2n1.2杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数C，C，C，C，C，是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的()(3)二项展开式的二项式系数和为CCC.()答案(1)(2)(3)
3、2(12x)15的展开式中的各项系数和是()A1B1C215D315B令x1即得各项系数和，各项系数和为1.3在(ab)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A第8项B第7项C第9项 D第10项C由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等4(教材P32尝试与发现改编)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是_1121133114a41151010516由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4a10，得a6.求展开式的系数和【例1】设(12x)2 021a0a1xa2x2a2 021x2 021(xR)(1)求a0a1a2a2 021的值；(2)求a1a3a5a2 02
4、1的值；(3)求|a0|a1|a2|a2 021|的值思路点拨先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解解(1)令x1，得a0a1a2a2 021(1)2 0211.(2)令x1，得a0a1a2a2 02132 021.得2(a1a3a2 021)132 021，a1a3a5a2 021.(3)Tr1C(2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN)，a2k0(kN)|a0|a1|a2|a3|a2 021|a0a1a2a3a2 02132 021.1解决二项式系数和问题思维流程2“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值一般地，要使展开式中项的关系
5、变为系数的关系，令x0可得常数项，令x1可得所有项系数之和，令x1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差1若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7；(3)a0a2a4a6.解(1)令x0，则a01；令x1，得a7a6a1a027128，所以a1a2a7129.(2)令x1，得a7a6a5a4a3a2a1a0(4)7，由得2(a1a3a5a7)128(4)7，a1a3a5a78 256.(3)由得2(a0a2a4a6)128(4)7，a0a2a4a68 128.二项式系数的性质及应用【例2】已知f(x)(3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式
6、系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项思路点拨求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“”“”号解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n2n992.(2n)22n9920，(2n31)(2n32)0，2n31(舍去)或2n32，n5.(1)由于n5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3C(x)3(3x2)290x6，T4C(x)2(3x2)3270x.(2)展开
7、式的通项公式为Tr1C3rx(52r)假设Tr1项系数最大，则有r，rN，r4.展开式中系数最大的项为T5Cx(3x2)4405x.1求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大2求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得2(1)(1x)2n1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()An，n1Bn1，nCn1，n2Dn2，n3(2)已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于_(1)C(2)8(1)该展开式共2n2项，中间
8、两项为第n1项与第n2项，所以第n1项与第n2项为二项式系数最大的项(2)因为只有第5项的二项式系数最大，所以15，所以n8.与“杨辉三角”有关的问题【例3】如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，.记其前n项和为Sn，求S19的值思路点拨由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第17项是C，第18项是C，第19项是C.解S19(CC)(CC)(CC)(CC)C(CCCC)(CCCC)(23410)C220274.“杨辉三角”问题解决的一般方法3如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左
9、至右的第14个数与第15个数的比为23.34由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为23，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以CC23，即，解得n34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是23.二项式定理的应用探究问题1不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？提示把0.998变成10.002，然后应用二项式定理展开因为0.9986(10.002)61C0.002C0.0022C0.0023C0.0026.第三项T3150.00220.000060.001，以后各项更小，所以0.998610.0120.988.2你能
10、用二项式定理证明2，(nN*，且n2)吗？提示1CCC2，又n2且nN*，0.2(nN*，且n2)【例4】(教材P33例5改编)(1)用二项式定理证明：11101能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数思路点拨(1)11101(110)101，展开求证便可；(2)9192(190)92，展开求解便可解(1)证明：11101(101)101(1010C109C108C101)11010C109C108102100(108C107C1061)，11101能被100整除(2)9192(1009)92C10092C100919C1009092C992，展开式中前92项均能被100整除，只需
11、求最后一项除以100的余数992(101)92C1092C1091C102C101，前91项能被100整除，后两项和为919，因余数为正，可从前面的数中分离出1000，结果为100091981，故9192被100除可得余数为81.利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.,整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式.(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了.4(
12、1)求证32n28n9(nN*)能被64整除；(2)求2303除以7的余数解(1)证明：32n28n9(81)n18n9C8n1C8nC8n9C8n1C8nC82C818n9C8n1C8nC82.该式每一项都含因式82，故能被64整除(2)2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)2.又余数不能为负数(需转化为正数)，2303除以7的余数为5.1二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出2求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定一般地对字母赋的值为0,1或1，但在解决具体问题时要灵活掌握
13、3对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1x)n1nx，具体情况视精确度而定1二项式(x1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于()A5B6C7D8C二项式(ab)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，2n164，n7.故选C.2已知展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于()A4 B5C6D7C令x1，各项系数和为4n，二项式系数和为2n，故有64，所以n6.3若(nN*)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为()A210B252C462D10A由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n10，于是得其常数项为C210.4设(32x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则a0a1a2a3的值为_15令x1，得a0a1a2a3a41.又Tk1C(3)4k(2x)k，当k4时，x4的系数a416.由得a0a1a2a315.5设aZ，且0a13，若512020a能被13整除，求a的值解512020a(521)2020a522020C522019(1)C52(1)2019(1)2020a能被13整除，只需(1)2020a1a能被13整除即可0a13，a12.