1、第8讲 函数与方程基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2014青岛统一检测)函数f(x)2xx32在区间(0，2)内的零点个数是 ()A0 B1 C2 D3解析因为函数y2x，yx3在R上均为增函数，故函数f(x)2xx32在R上为增函数，又f(0)0，f(2)0，故函数f(x)2xx32在区间(0，2)内只有一个零点，故选B.答案B2(2015西安五校联考)函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标所在区间为()A(0，1) B(1，2) C(2，3) D(3，4)解析函数yln(x1)与y的图象交点的横坐标，即为函数f (x)ln(x1)的零点，f(x)在(0，)上为增函数，且f
2、(1)ln 210，f(2)ln 30，f(x)的零点所在区间为(1，2)答案B3(2015长沙模拟)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析依题意，注意到f(a) (ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(cb)(ca)0，因此由零点的存在性定理知函数f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A.答案A4(2014昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，则a的取值范
3、围是()A. B(，1)C. D(，1)解析当a0时，f(x)1与x轴无交点，不合题意，所以a0；函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内是单调函数，所以f(1)f(1)0，即(5a1)(a1)0，解得a1或a.答案B5已知函数f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x1x3 Bx1x2x3Cx1x3x2 Dx3x2x1解析依据零点的意义，转化为函数yx分别和y2x，yln x，y1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x10x21x3.答案B二、填空题6(2015淄博期末)函数f(x)xln(x1)1的零点个数是
4、_解析函数f(x)xln(x1)1的零点个数，即为函数yln(x1)与yx1图象的交点个数在同一坐标系内分别作出函数yln(x1)与yx1的图象，如图，由图可知函数f(x)xln(x1)1的零点个数是2.答案27函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN)内，则n_解析求函数f(x)3x7ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)1ln 2，由于ln 2ln e1，所以f(2)0，f(3)2ln 3，由于ln 31，所以f(3)0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)内，故n2.答案28已知函数f(x)若函数g(x)f(x)m有3个零点，则实数m的取值范
5、围是_解析画出f(x)的图象，如图由函数g(x)f(x)m有3个零点，结合图象得： 0m1，即m(0，1)答案(0，1)三、解答题9若关于x的方程22x2xaa10有实根，求实数a的取值范围解法一(换元法)设t2x(t0)，则原方程可变为t2ata10，(*)原方程有实根，即方程(*)有正根令f(t)t2ata1.若方程(*)有两个正实根t1，t2，则解得1a22；若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f(0)a10，解得a0)，则a2，其中t11，由基本不等式，得(t1)2，当且仅当t1时取等号，故a22.综上，a的取值范围是(，2210已知关于x的二次方程x22
6、mx2m10有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围解由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，如图所示，得即m0.f(x)minf(1)4a4，a1.故函数f(x)的解析式为f(x)x22x3.(2)g(x)4ln xx4ln x2(x0)，g(x)1.令g(x)0，得x11，x23.当x变化时，g(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0，1)1(1，3)3(3，)g(x)00g(x)极大值极小值当0x3时，g(x)g(1)40.又因为g(x)在(3，)上单调递增，因而g(x)在(3，)上只有1个零点故g(x)在(0，)上只有1个零点.