1、第三节 基本不等式授课提示：对应学生用书第335页A组基础保分练1（2021荆门一中期中测试）函数f（x）的最小值为（）A3B4C6D8解析：f（x）|x|4，当且仅当x2时取等号，所以f（x）的最小值为4答案：B2（2021钦州期末测试）已知a，bR，a2b215ab，则ab的最大值是（）A15 B12 C5 D3解析：因为a2b215ab2ab，所以3ab15，即ab5，当且仅当ab时等号成立所以ab的最大值为5答案：C3（2021烟台期中测试）已知x，yR且x2y40，则2x的最小值为（）A4 B8 C16 D256解析：x2y40，x2y4，2x28，当且仅当x2，y1时等号成立，2x
2、的最小值为8答案：B4（2021湖南衡阳期末）已知P是面积为1的ABC内的一点（不含边界），若PAB，PAC和PBC的面积分别为x，y，z，则的最小值是（）A BC D3解析：因为xyz1，0x1，0y1，0z1，所以12 13，当且仅当，即x时等号成立，所以的最小值为3答案：D5（2021北京通州区期中测试）设f（x）ln x，0ab，若pf（），qf，r（f（a）f（b），则下列关系式中正确的是（）AqrpCprq Dprq解析：0ab，f（x）ln x在（0，）上是增函数，f（）f，又lnln，f，pr0，b0，3ab2ab，则ab的最小值为_解析：由a0，b0，3ab2ab，得1，所以
3、ab（ab）22，当且仅当ba时等号成立，则ab的最小值为2答案：28某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为yx218x25（xN），则该公司年平均利润的最大值是万元解析：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元答案：89设a，b为正实数，且2（1）求a2b2的最小值；（2）若（ab）24（ab）3，求ab的值解析：（1）由22得ab，当且仅当ab时取等号，故a2b22ab1，当且仅当ab时取等号，所以a2b2的最小值是1（2）由（ab
4、）24（ab）3得4ab，即4ab，从而ab2，又ab2，所以ab2，所以ab110首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为yx2200x45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才
5、能使该单位不亏损？解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x2002200100，当且仅当x，即x300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低（2）获利设该单位每月获利为s元，则s200xyx2400x45 000（x400）235 000因为x300，600，所以s15 000，35 000故该单位每月获利，最大利润为35 000元B组能力提升练1（2021吕梁月考）一元二次不等式ax22xb0（ab）的解集为，则的最小值是（）A1 B2 C D2解析：一元二次不等式的解集为，a0且44ab0，即ab1，且ab0，ab2，当且仅当a，b时等号成立，
6、的最小值为2答案：D2设函数f（x）x对任意x1，1，都有f（x）0成立，则a（）A4 B3 C D1解析：由ax20对任意x1，1恒成立得a1；又由f（x）x0得a1，所以a1答案：D3（2021吉安期中测试）设正数x，y满足xy1，若不等式4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（）A4，） B（1，）C1，） D（4，）解析：xy1，且x0，y0，a0，（xy）a1a12，a214，即a230，解得a1答案：C4在RtABC中，BAC90，点D是边BC上的动点，且|3，|4，（0，0），则当取得最大值时，|的值为（）A B3 C D解析：点D是边BC上的动点且（0，0），1，当且仅当
7、时等号成立，取得最大值，此时点D是边BC的中点，|，|3，|4，BAC90，|答案：C5（2021上海普陀区月考）设正数a，b满足2a3bab，则ab的最小值是_解析：2a3bab，a0，b0，1，ab（ab）525，当且仅当2a23b2时等号成立，ab的最小值为25答案：256（2021鹤岗一中月考）已知x0，且xy1，则x的最大值是_解析：x0，且xy1，xy1，y1，xy1y，y0，b0，c0，d0，a2b2ab1，cd1（1）求证：ab2；（2）判断等式cd能否成立，并说明理由解析：（1）证明：由题意得（ab）23ab131，当且仅当ab时取等号解得（ab）24，又a，b0，所以ab2
8、（2）不能成立理由：由均值不等式得，当且仅当ac且bd时等号成立因为ab2，所以1因为c0，d0，cd1，所以cd1，故cd不能成立C组创新应用练1已知f（x）x3ax2（b4）x（a0，b0）在x1处取得极值，则的最小值为（）A B32C3 D2解析：由f（x）x3ax2（b4）x（a0，b0），得f（x）x22axb4由题意得f（1）122ab40，则2ab3，所以（2ab）3，当且仅当，即ab1时，等号成立故的最小值为3答案：C2若直线l：axby20（a0，b0）经过圆x2y22x4y10的圆心，则的最小值为（）A2 BC21 D解析：直线axby20（a0，b0）经过圆x2y22x4y10的圆心，即圆x2y22x4y10的圆心（1，2）在直线axby20上，可得a2b20，即a2b2，所以（a2b） ，当且仅当时等号成立，所以的最小值为答案：D3已知棱长为的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则的最小值为（）A BC D解析：如图，连接CE，DE，设O为底面三角形BCD的中心，连接OA，则正四面体的高OA2因为VABCDVEBCDVEACD，所以ab2，所以（ab），当且仅当，即ba时取等号答案：C