1、模块综合测评(一)(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1BC DD因为kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，且kab与2ab互相垂直，所以(kab)(2ab)3(k1)2k40k2已知四面体ABCD的所有棱长都是2，点E、F分别是AD、DC的中点，则()A1 B1C DB如图所示，所以()22cos 601，故选B3若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为()ABC2D2A由，得m4若P(
2、2，1)为圆C：(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()A2xy50 B2xy30Cxy10 Dxy30D圆心C(1,0)，kPC1，则kAB1，AB的方程为y1x2，即xy30，故选D5双曲线1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，则mn的值为()A BC DA抛物线y24x的焦点为(1,0)，故双曲线的一个焦点是(1,0)，所以mn1，且2，解得m，n，故mn6设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为 ()Ay24x By28xCy24x Dy28xB由题可知抛物线的焦
3、点坐标为，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y2，令x0，可得点A的坐标为，所以SOAF4，得a8，故抛物线的方程为y28x7如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，B1C和C1D与底面所成的角分别为60和45，则异面直线B1C和C1D所成角的余弦值为()AB CDA如图所示：B1B平面ABCD，BCB1是B1C与底面所成角，BCB160C1C底面ABCD，CDC1是C1D与底面所成的角，CDC145连接A1D，A1C1，则A1DB1CA1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角不妨设BC1，则CB1DA12，BB1CC1CD，C1D，A1C12在等腰A1C1D中，cosA1DC1
4、8在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是 ()A BC DA建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则可得n(1，1，2)da二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得分5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9若A(4,2)，B(6，4)，C(12,6)，D(2,12)，下面结论中正确的是()AABCD BABADC|AC|BD| DACBDABCD
5、kAB，kCD且C不在直线AB上，ABCD，故A正确；又因为kAD，kABkAD1，ABAD，故B正确；|AC|4，|BD|4，|AC|BD|故C正确；又kAC，kBD4kACkBD1，ACBD，故D正确10在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0若直线yk(x1)上存在一点P，使过P点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值可以是()A1 B2C3 D4AB圆C的方程为x2y24x0，则圆心为C(2,0)，半径R2设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PCR2，圆心到直线yk(x1)的距离小于或等于PC2，即2，解得k28，可得2k2，结合选项，实数k
6、的取值可以是1,211设抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，|FA|为半径的圆交l于B，D两点若ABD90，且ABF的面积为9，则()A|BF|3BABF是等边三角形C点F到准线的距离为3D抛物线C的方程为y26xBCD因为|FA|为半径的圆交l于B，D两点，所以FAFB，若ABD90可得FAAB，所以可得ABF为等边三角形，所以B正确；过F作FCAB交于C，则C为AB的中点，C的横坐标为，B的横坐标为，所以A的横坐标为，代入抛物线可得y23p2，|yA|p，ABF的面积为9，即(xAxB)|yA|p9，解得：p3，所以抛物线的方程为：y26x，所以D正
7、确；焦点坐标为：，所以焦点到准线的距离为：23，所以C正确；此时A点的横坐标为，所以BFAFAB6，所以A不正确12我们把离心率为e的双曲线1(a0，b0)称为黄金双曲线如图给出以下几个说法中正确的是()A双曲线x21是黄金双曲线B若b2ac，则该双曲线是黄金双曲线C若F1B1A290，则该双曲线是黄金双曲线D若MON90，则该双曲线是黄金双曲线ABCD双曲线x21中，e，双曲线x21是黄金双曲线，故A正确；b2ac, 则ee2e10，解得e，或e(舍)，该双曲线是黄金双曲线，故B正确；如图，F1，F2为左、右焦点，A1，A2为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，b)，且F1B1A290，|B
8、1F1|2|B1A2|2|A2F1|2，即b22c2(ac)2，整理，得b2ac，由B知该双曲线是黄金双曲线，故C正确；如图，MN经过右焦点F2且MNF1F2，MON90，NF2OF2，c，b2ac，由B知该双曲线是黄金双曲线，故D正确故选ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13经过两条直线2xy20和3x4y20的交点，且垂直于直线3x2y40的直线方程为 2x3y20由方程组得交点A(2，2)，因为所求直线垂直于直线3x2y40，故所求直线的斜率k，由点斜式得所求直线方程为y2(x2)，即2x3y2014从原点向圆x2y212y270作两条切线，则该圆
9、夹在两条切线间的劣弧长为 2(数形结合法)如图，圆x2y212y270可化为x2(y6)29，圆心坐标为(0,6)，半径为3在RtOBC中可得：OCB，ACB，所求劣弧长为215已知点F1，F2是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，|F1F2|4，点Q(2，)在椭圆C上，P是椭圆C上的动点，则的最大值为 由题意可得：c2，1，a2b2c2，解得a28，b24，所以椭圆的方程为1，可得F1(2,0)，设P(x，y)，由1，可得：x282y2，则(2x，y)(2x，y)x24y2yy2y44，当且仅当y2,2时，则的最大值为16已知三棱锥ABCD的所有棱长均相等，E为DC的中点，若点P为AC中点，则
10、直线PE与平面BCD所成角的正弦值为 ，若点Q在棱AC所在直线上运动，则直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为 (第一空2分，第二空3分)连接BE，AE，过A作AO底面BCD，垂足为O，连接OD，则ADO是直线PE与平面BCD所成角(图略)，因三棱锥ABCD的所有棱长均相等，设棱长为2，则DOBOBE，AO，sinADO直线PE与平面BCD所成角的正弦值为当Q与A重合时，直线QE与平面BCD所成角正弦值取最大值，此时直线QE与平面BCD所成角为AEO，AE，直线QE与平面BCD所成角正弦值的最大值为：sinAEO四、解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
11、(本小题满分10分)如图，已知点A(2,3)，B(4,1)，ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x2y20上(1)求AB边上的高CE所在直线的方程；(2)求ABC的面积解(1)由题意可知，E为AB的中点，E(3,2)，且kCE1，CE所在直线方程为：y2x3，即xy10(2)由得C(4,3)，|AC|BC|2，ACBC，SABC|AC|BC|218(本小题满分12分)如图所示平行四边形ABCD的对角线AC与BD交于E点，定点A，C的坐标分别是A(2,3)，C(2,1)(1)求以线段AC为直径的圆E的方程；(2)若B点的坐标为(2，2)，求直线BC截圆E所得的弦长解(1)AC的中点E
12、(0,2)即为圆心，半径r|AC|，所以圆E的方程为x2(y2)25(2)直线BC的斜率k，其方程为y1(x2)，即3x4y20点E到直线BC的距离为d2，所以BC截圆E所得的弦长为2219(本小题满分12分)如图所示在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABC60，PAABBC，ADAB，E是PC的中点求证：PD平面ABE证明PA底面ABCD，ABAD，AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PAABBC1，则P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，DABC60，ABC为正三角形C，E(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则即
13、令y2，则z，n(0,2，)，显然n，n，平面ABE，即PD平面ABE20(本小题满分12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直线yt与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标解(1)因为，且c，所以a，b1，所以椭圆C的方程为y21(2)由题意知P(0，t)(1t1)由得x，所以圆P的半径为当圆P与x轴相切时，|t|，解得t所以点P的坐标是21(本小题满分12分)如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADDC，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M为P
14、C的中点，PAPD2，BCAD1，CD(1)求证：PQAB；(2)求二面角PQBM的余弦值解(1)证明：在PAD中，PAPD，Q为AD的中点，所以PQAD因为平面PAD底面ABCD，且平面PAD底面ABCDAD，所以PQ底面ABCD又AB平面ABCD，所以PQAB(2)在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，Q为AD的中点，所以四边形BCDQ为平行四边形因为ADDC，所以ADQB由(1)，可知PQ平面ABCD，故以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz如图所示，则Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，)，C(1，0)，B(0，0)，(0，0)因为AQPQ，AQBQ，所以AQ平面P
15、QB，即为平面PQB的一个法向量，且(1,0,0)因为M是棱PC的中点，所以点M的坐标为，所以设平面MQB的法向量为m(x，y，z)，则，即，令z1，得x，y0，所以m(，0,1)，所以cos，m由题意，知二面角PQBM为锐角，所以二面角PQBM的余弦值为22(本小题满分12分)已知圆C：x2y22x2y10和抛物线E：y22px(p0)，圆心C到抛物线焦点F的距离为(1)求抛物线E的方程；(2)不过原点的动直线l交抛物线E于A，B两点，且满足OAOB求证直线l过定点；设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时直线l的方程解(1)圆C：x2y22x2y10，可得圆心C(1,1)，半径r1，抛物线E：y22px(p0)的焦点F，准线方程为x，圆心C到抛物线焦点F的距离为，即有，解得p6，即抛物线方程为y212x.(2)证明：设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，整理得：y212my12t0，所以y1y212m，y1y212t由于OAOB则x1x2y1y20即(m21)y1y2mt(y1y2)t20整理得t212t0，由于t0，解得t12故直线的方程为xmy12，直线经过定点P(12,0)当CPl且动点M经过PC的延长线时，动点M到动直线l的距离取得最大值kMPkCP，则m此时直线l的方程为：xy12，即13xy1560