1、班级 姓名 学号 分数 （测试时间：120分钟 满分：160分）一、解答题(本大题共10小题，共160分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)1如图，四棱锥的底面为菱形，平面，分别为的中点，（）求证：平面平面（）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值（）解法一：由（1）知平面，而平面，平面平面 平面，由（）知，又平面，又平面，平面平面平面是平面与平面的公垂面所以，就是平面与平面所成的锐二面角的平面角在中，即又，所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为则 ，即，令，则 所以，平面与平面所成的锐二面角的余弦值为【解析】（）要证平面平面，只要证平面，即证，；（）传统法找出平面角，建立空间直角坐
2、标系计算平面的法向量，计算角。2已知四棱锥PABCD及其三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点。（1）求四棱锥PABCD的体积；（2）不论点E在何位置，是否都有BDAE？试证明你的结论；（3）若点E为PC的中点，求二面角DAEB的大小。【答案】 （1）2 /3 （2）略（3）120SABE=1 /2 ABBE= = / 2 ，cos=SAOE /SABE =1 /2 =60二面角D-AE-B是1203已知四棱锥的底面为直角梯形，底面，且，是的中点。（1）证明：面面；（2）求与所成的角；（3）求面与面所成二面角的余弦值【答案】证明：以为坐标原点长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为.
3、（1）证明：因由题设知，且与是平面内的两条相交直线，由此得面.又在面上，故面面.（2）因（3）平面的一个法向量设为，平面的一个法向量设为，所求二面角的余弦值为4已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=1，AD=2，（I）求证：ACBF；（II）若二面角FBDA的大小为60，求a的值【答案】解：以CD为x轴,CA为y轴,以CE为z轴建立空间坐标系， 【解析】略5如图：已知三棱锥中，面，为上一点，分别为的中点. (1)证明：.(2)求面与面所成的锐二面角的余弦值. (3)在线段(包括端点)上是否存在一点，使平面？若存在，确定的位置；若不存在，说明理由.【答案】（1）如图建立空
4、间直角坐标系：则 【解析】略6如图所示，在边长为的正方形中，点在线段上，且，作，分别交，于点，作，分别交，于点，将该正方形沿，折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱（1）求证：平面； （2）求四棱锥的体积；（3）求平面与平面所成角的余弦值【答案】（1）在正方形中，因为，所以三棱柱的底面三角形的边因为，所以，所以因为四边形为正方形，所以，而，所以平面设平面的一个法向量为则，即令，则所以显然平面的一个法向量为设平面与平面所成锐二面角为，则所以平面与平面所成角的余弦值为 【解析】略7如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为， 是的中点，是上的动点. （）证明：；（）若，求直线与平面所成角的
5、大小.【答案】（） 建立如图所示空间直角坐标系【解析】略8如图，在三棱柱中，已知，.（）求直线与底面所成角正切值；（）在棱（不包含端点）上确定一点的位置， 使得（要求说明理由）； （）在（）的条件下，若，求二面角的大小.【答案】 （）当E为中点时，. ，即. 又，. ，.（）取的中点，的中点，则，且，,连结，设，连结，则，且， 为二面角的平面角. ， ， 二面角的大小为45. 另解：以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系.则. 【解析】略9如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，求证：；求直线与平面所成的角；设点在棱上，若平面，求的值.【答案】解：【方法一】（1）证明：由题意知 则 （4分）（3）连结，平面.又平面，平面平面，.又，即（12分）【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF/AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.（1）设，则，. 由,得【解析】略10如图，在三棱锥中，点分别是的中点，底面（1）求证：平面；（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（3）当为何值时，在平面内的射影恰好为的重心【答案】（1）证明见解析。（2）（3）为的中点，平面