1、班级 姓名 学号 分数 （测试时间：120分钟 满分：160分）一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1数列满足，则 【答案】21【解析】试题分析：，考点：递推式法求数列通项2已知数列an的前项和为，且，则数列an的通项公式 【答案】考点：已知求3数列中，已知（为常数）且，则_【答案】【解析】试题分析：，那么，解得：，所以考点：数列的通项公式4数列中，是的个位数字，是的前项和，则= 【答案】909【解析】试题分析：数列前10项为2,7,4,8,2,6,2,2,4,8，从第3项开始呈现周期性，周期为6考点：1数列周期性；2数列求和5已知：数列中，则的值为 【答案】考点：叠乘法求项6数列，
2、的前n项和分别为和，若则_【答案】【解析】试题分析：考点：等差数列性质及求和公式7已知数列的前项和，则其通项公式为 【答案】【解析】试题分析：由题根据数列的递推关系进行推导，注意验证n=1是否满足所得式子，然后得到数列的通项公式. ，n=1时， ，不满足上式，所以 .考点：数列递推关系8数列的通项公式为，对于任意自然数都是递增数列，则实数的取值范围为 【答案】考点：递增数列的函数特征.9已知数列满足，若对任意的自然数，恒有，则的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：，由题意对任意的自然数，恒有，即，要使都成立，只需成立，所以，解出；考点：递推数列的有界性；10如下图所示，坐标纸上的每个单元格的
3、边长为，由下往上的六个点：，的横、纵坐标分别对应数列（）的前项，如下表所示： 按如此规律下去，则 【答案】1006考点：数列的性质.11已知数列满足，则该数列的通项公式_【答案】【解析】试题分析：，.考点：1.累加法求通项公式；2.裂项相消法求和.12对于数列，若中最大值，则称数列为数列的“凸值数列”.如数列2,1,3,7,5的“凸值数列”为2,2,3,7,7；由此定义，下列说法正确的有_递减数列 的“凸值数列”是常数列；不存在数列，它的“凸值数列”还是本身；任意数列的“凸值数列”是递增数列；“凸值数列”为1,3,3,9的所有数列的个数为3【答案】、考点： 数列新定义.13已知等比数列是递增数
4、列，是的前项和。若是方程的两个根，则 .【答案】63【解析】由方程，又是递增数列，可得， 【考点定位】本题考查解一元二次方程，等比数列的求和公式。14设，将个数依次放入编号为1，2，的个位置，得到排列，将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前和后个位置，得到排列，将此操作称为变换，将分成两段，每段个数，并对每段作变换，得到；当时，将分成段，每段个数，并对每段作变换，得到，例如，当时，此时，位于中的第4个位置.当时，位于中的第 个位置.【答案】考点：1.数列的通项；2.理解信息题的能力.二、解答题(本大题共6小题，共90分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
5、)15.已知数列的前项和为.（1），求数列的通项公式；（2），设数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）本小题考察与的关系，分和两种情况，当时利用求解，需要验证时的值，（2）根据（1）以及，求出等差数列的公差与首项，再利用等差数列的前n项和公式求出数列的前项和试题解析：（1）因为数列的前项和.所以，当时，因为时也适合，所以；（2）设等差数列的首项为，公差为，因为，,所以 解得 所以数列前项和.考点：1. 与的关系；2.等差数列的前n项和；16.已知数列满足：，数列的前项和为，（）求数列，的通项公式；（）设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）试题解析：（）由得
6、，又，所以数列是以1为首项，为公差的等差数列，于是，当时，当时，又时，所以，（）由（）知，所以所以 (1)考点：等差数列的通项公式、由求、错位相减法、等比数列的前n项和公式17已知数列的前项和为，且。（1）求数列的通项公式与前项的和；（2）设，若集合恰有4个元素，求实数的取值范围。【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据所以递推数列的公式，变形为，由此证明数列是等比数列，所以先求数列的通项公式，然后再求的通项公式；然后按错位相减法求；（2）根据上一问的结果，第一步，先求数列的通项公式，第二步，然后用后一项与前一项做差，证明单调性，第三步，根据集合中只有4个元素，所以考察的前4项，最后
7、求的范围考点：1根据递推数列求通项公式；2错位相减法求和；3数列的函数性质18. 已知等比数列满足，数列满足（）求数列和的通项公式；（）令，求数列的前n项和；（）若，求对所有的正整数n都有成立的的范围【答案】（）；（）；（）【解析】试题分析：（）结合等比数列的通项公式可求得公比的值再根据可求得由即可求得（）可用错位相减法求即将的展开式两边均乘以等比数列的公比，然后将两式相减，即可求得（）根据可求得数列为单调递减数列即最大值为所以将问题转化为恒成立即可因为所以只需 恒成立即可，即用均值不等式可求得最小值试题解析：解：（）设等比数列的公比为q，由可得，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，是首项为
8、1，公差为2的等差数列考点：1等比的通项公式；2错位相减法求和；3基本不等式；4转化思想19.数列满足 （1）写出；（2）由（1）写出数列的一个通项公式；（3）判断实数是否为数列中的一项？并说明理由【答案】（1）（2）（3）不是考点：1数列的概念；2数列的通项公式20. 定义为有限项数列的波动强度（）当时，求；（）若数列满足，求证：；（）设各项均不相等，且交换数列中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列一定是递增数列或递减数列【答案】（）198；（）证明见解析；（）证明见解析【解析】试题分析：（）直接根据绝对值的定义可得；（）要证明题设不等式，可通过作差，已知可得或，在时，再
9、分类，去掉绝对值可得，同理当也类似讨论可得结论；（）本小是较难，我们首先对（）重新认识，由（）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变（将此作为引理），递增与递减只要证一个，另一个同理可得，如我们证递减，当时，先证明，用反证法，即证明当和时均不可能，然后由三个推广到一般情形个，即设，证明方法与刚才类似，最后证明项数为时结论为真，即设，证明，这也数学归纳法有点相似（）证明：由（）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变（将此作为引理）下面来证明当时，为递减数列（）证明若，则由引理知交换的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾若，则，与已知矛盾所以， 考点：新定义问题，绝对值的性质，归纳推理