1、第七节 双曲线授课提示：对应学生用书第365页A组基础保分练1“k9”是“方程1表示双曲线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为方程1表示双曲线，所以（25k）（k9）0，所以k25，所以“k9”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件答案：A2若双曲线1（a0，b0）的一条渐近线过点（2b，a），则该双曲线的离心率为（）AB2C3 D解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为yx，则a（2b），得a22b2，得e答案：D3（2020高考全国卷）设双曲线C：1（a0，b0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为P是C上一点，且F1PF2P若PF1F2的面积为
2、4，则a（）A1 B2C4 D8解析：由得|F1F2|2c2aPF1F2中，F1PF2P，|F1P|2|F2P|2|F1F2|24c220a2不妨设P在C的右支上，则|F1P|F2P|2aPF1F2的面积为4，|F1P|F2P|4，即|F1P|F2P|8（|F1P|F2P|）2|F1P|2|F2P|22|F1P|F2P|20a2284a2，解得a1答案：A4已知双曲线1（b0）的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）A B3C5 D4解析：由题意知a24，4b232，故b，所以渐近线的方程为yx，则焦点到渐近线的距离d答案：A5已知直线l与双曲线C：x2y22的两条渐近线
3、分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则AOB的面积为（）A B1C2 D4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为yx，设A（x1，x1），B（x2，x2），所以AB中点坐标为，所以2，即x1x22，所以SAOB|OA|OB|x1|x2|x1x2|2答案：C6已知双曲线C：y21，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N若OMN为直角三角形，则|MN|（）A B3C2 D4解析：因为双曲线y21的渐近线方程为yx，所以MON60不妨设过点F的直线与直线yx交于点M，由OMN为直角三角形，不妨设OMN90，则MFO60又直线MN过点F（2
4、，0），所以直线MN的方程为y（x2）由得所以M，所以|OM|，所以|MN|OM|3答案：B7（2021昆明调研）已知双曲线C：1（a0，b0）的一条渐近线与直线x2y0垂直，则双曲线C的离心率为_解析：易知直线x2y0的斜率为，所以双曲线的一条渐近线的斜率为2，即2，所以双曲线C的离心率e 答案：8设双曲线1（a0，b0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_解析：由题设易知A1（a，0），A2（a，0），B，CA1BA2C，1，整理得ab渐近线方程为yx，即yx，渐近线的斜率为1答案：19（2021湛
5、江模拟）已知双曲线1（a0，b0）的右焦点为F（c，0）（1）若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为yx，所以ab，所以c2a2b22a24，所以a2b22，所以双曲线方程为1（2）设点A的坐标为（x0，y0），所以直线AO的斜率满足（）1，所以x0y0，依题意，圆的方程为x2y2c2，将代入圆的方程得3yyc2，即y0c，所以x0c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得1，即b2c2a2c2a2b2又因为a2b2c2，所以将b2c2a
6、2代入式，整理得c42a2c2a40，所以3840，所以（3e22）（e22）0，因为e1，所以e，所以双曲线的离心率为B组能力提升练1若双曲线1（a0，b0）上一点M（3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为（）A1 B1C1 D1解析：点M（3，4）与双曲线的右焦点F2（c，0）关于渐近线yx对称，则得c5，2，所以b225a24a2，所以a25，b220，则该双曲线的标准方程为1答案：A2如图，F1，F2是双曲线C：1（a0，b0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点若|AB|BF1|AF1|345，则双曲线的渐近线方程为（）Ay2x By2xCy
7、x Dyx解析：由题意可设|AB|3k，则|BF1|4k，|AF1|5k，则易得BF1BF2，由双曲线的定义可知|AF1|AF2|2a，则可得|AF2|5k2a，|BF2|8k2a，再根据双曲线的定义得|BF2|BF1|2a，得ka，则|BF1|4a，|BF2|6a又|F1F2|2c，所以在直角三角形BF1F2中，16a236a24c24（a2b2），则2，双曲线的渐近线方程为y2x答案：A3（2021厦门模拟）已知双曲线C：1（a0，b0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|2，ABF的面积为8，则C的渐近线方
8、程为（）Ayx ByxCy2x Dyx解析：设双曲线的另一个焦点为F，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF是矩形，所以SABFSABF，即bc8，由可得y，则|MN|2，即b2c，所以b2，c4，所以a2，所以C的渐近线方程为yx答案：B4（2021衡水模拟）过双曲线1（a0，b0）的右焦点F（，0）作斜率为k（k1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若SBOF（O为坐标原点），则k的值为（）A B2C D解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为yx，过第二象限的渐近线的方程为yx，直线FB的方程为yk（x），联立方程得x，所以y，所以SBOF|OF|
9、yB|令，得k2或k（舍）答案：B5已知点F2为双曲线C：1（a0，b0）的右焦点，直线ykx交C于A，B两点，若AF2B，SAF2B2，则C的虚轴长为_解析：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1（图略），由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以SAF1B2，F1AF2设|AF1|r1，|AF2|r2，则4c2rr2r1r2cos又|r1r2|2a，所以r1r24b2又SAF2BSAF1F2r1r2sin2，所以b22，则该双曲线的虚轴长为2答案：26已知双曲线M：1（a0，b0）的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两
10、点若|AB|CD|，则双曲线M的离心率是_解析：设双曲线的右焦点为F（c，0），易知，|AB|该双曲线的渐近线方程为yx，当xc时，y，所以|CD|由|AB|CD|，得，即bc，所以ac，所以e答案：C组创新应用练1（2021广东四校联考）P是双曲线C：y21右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|PQ|的最小值为（）A1 B2C4 D21解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2（图略），因为|PF1|PF2|2，所以|PF1|2|PF2|，|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|
11、PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离由题意可得直线l的方程为yx，焦点F2（，0），点F2到直线l的距离d1，故|PQ|PF1|的最小值为21答案：D2已知双曲线C：y21的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P若|FQ|t|QP|，则实数t的取值范围是（）A BC D解析：由条件知F（2，0）设P（x0，y0），Q（x1，y1），则（x12，y1），（x0x1，y0y1），则（x12，y1）t（x0x1，y0y1），所以x1，y1因为点P（x0，y0），Q（x1，y1）都在双曲线C上，所以消去y0，得x0易知x0，所以，易知t0，所以0t，即实数t的取值范围是答案：A3一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分若|OA|10，|OB|12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A BC D解析：设|MB|t，则由题意，可得|MO|12t，|MA|8t，有|MO|MA|4|AO|10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c10，实轴长2a4，即c5，a2，所以e答案：D