1、第2课时 定点、定值、探索性问题A组基础对点练1(2021广东佛山模拟)已知A(，0)，B(，0).直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是.(1)求点M的轨迹的方程；(2)过点A的直线与轨迹交于点Q，与y轴交于点C，过T(1，0)作CT的垂线交y轴于点D，求证：ADBQ.解析：(1)设M(x，y)，则直线AM的斜率kAM，直线BM的斜率kBM，依题意得kAMkBM，整理得y21，所以点M的轨迹的方程为y21(y0).(2)证明：设直线AQ的方程为yk(x)，联立消去y整理得(15k2)x210k2x25k250，又A(，0)，所以xQ，即xQ，则yQ，易得C(0，k)，直线CT的斜率kC
2、Tk，又CTTD，所以直线TD的方程为y(x1)，令x0，得D，所以直线AD的斜率kAD，又直线BQ的斜率kBQ，所以kADkBQ，所以ADBQ.2已知椭圆1，过点F(1，0)的直线与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A，求证：直线AB恒过定点证明：设过点F(1，0)的直线方程为xmy1(m0)，与1联立得(43m2)y26my90.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2.因为A(x1，y1)，所以直线AB的方程为yy2(xx2).又x2x1m(y2y1)，代入式，得m(y2y1)(yy2)(y2y1)x(my21)，整理得(y2y1)xm(y2y1)y2my1y2
3、(y2y1)0.因为y1y2，y1y2，(y1y2)2(y1y2)24y1y2，不妨设y2y1，则y2y1，代入式化简，得2yx40.由得AB过定点(4，0)，当AB斜率为0时，结论成立，故AB恒过定点(4，0).3如图所示，已知M(x0，y0)是椭圆C：1上的任一点，从原点O向圆M：(xx0)2(yy0)22作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，求证：k1k2为定值；(2)试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由解析：(1)证明：因为直线OP：yk1x和OQ：yk2x都与圆M相切，所以，化简得(x2)k2x0y0k
4、1y20，(x2)k2x0y0k2y20，即k1，k2是方程(x2)k22x0y0ky20的两个不相等实根，由根与系数的关系，得k1k2.又M(x0，y0)在椭圆C上，所以1，即y3x，故k1k2，为定值(2)法一：若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立解得x，y，故xy.同理可得xy.由(1)知，k1k2，所以|OP|2|OQ|2xyxy9.若直线OP，OQ中有一条斜率不存在，不妨设OQ：x0，因为直线OP，OQ与圆M相切，所以M(，)，从而OP：y0，此时P(，0)，Q(0，)，故|OP|2|OQ|29.综上，|OP|2|OQ|29.法二
5、：若直线OP，OQ的斜率都存在，并记为k1，k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由(1)知，k1k2，所以yyxx.因为P(x1，y1)，Q(x2，y2)在椭圆C上，所以1，1，即y3x，y3x，所以xx，化简得xx6.从而yy3x3x3，故|OP|2|OQ|29.若直线OP，OQ中有一条直线的斜率不存在，同法一综上，|OP|2|OQ|29.B组素养提升练1(2020山东淄博模拟)椭圆C：1(ab0)的离心率为，其左焦点到点P(2，1)的距离为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点(A，B不是左、右顶点)，且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点求证：直
6、线l过定点，并求出该定点的坐标解析：(1)因为左焦点(c，0)到点P(2，1)的距离为，所以，解得c1.又e，解得a2，所以b2a2c23.所以所求椭圆C的方程为1.(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28mkx4(m23)0，64m2k216(34k2)(m23)0，化为34k2m2.所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m2.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点D(2，0)，kADkBD1，所以1，所以y1y2x1x22(x1x2)40，所以40.化为7m216mk4k20，解得m12k，m2.且满足34k2m
7、20.当m2k时，l：yk(x2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；当m时，l：yk，直线过定点.综上可知，直线l过定点.2已知抛物线C：y22px经过点P(1，2)，过点Q(0，1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N.(1)求直线l的斜率的取值范围；(2)设O为原点，求证：为定值解析：(1)因为抛物线y22px过点(1，2)，所以2p4，即p2.故抛物线C的方程为y24x.由题意知，直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为ykx1(k0)，由得k2x2(2k4)x10.依题意(2k4)24k210，解得k0，或0k1.又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点(1，2).从而k3.所以直线l的斜率的取值范围是(，3)(3，0)(0，1).(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2).由(1)知x1x2，x1x2.直线PA的方程为y2(x1).令x0，得点M的纵坐标为yM22.同理得点N的纵坐标为yN2.由，得1yM，1yN.所以2.所以为定值