1、考点一简单的线性规划问题1(2015广东，6)若变量x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为()A. B6 C. D4解析不等式组所表示的可行域如图所示，由z3x2y得yx，依题当目标函数直线l：yx经过A时，z取得最小值即zmin312，故选C.答案C2(2015北京，2)若x，y满足则zx2y的最大值为()A0 B1 C. D2解析可行域如图所示目标函数化为yxz，当直线yxz，过点A(0，1)时，z取得最大值2.答案D3(2015福卷，5)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最小值等于()A B2 C D2解析如图，可行域为阴影部分，线性目标函数z2xy可化为y2xz，由图形可知当y2x
2、z过点时z最小，zmin2(1)，故选A.答案A4(2015山东，6)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A3 B2 C2 D3解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示易知A(2，0)，由得B(1，1)由zaxy，得yaxz.当a2或a3时，zaxy在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D选项；当a2或3时，zaxy在A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.答案B5(2015陕西，10)某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万
3、元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B16万元C17万元 D18万元解析设甲、乙的产量分别为x吨，y吨，由已知可得目标函数z3x4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示：可得目标函数在点A处取到最大值由得A(2，3)则zmax324318(万元)答案D6(2014广东，3)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最大值和最小值分别为m和n，则mn()A5 B6 C7 D8解析作出可行域(如图中阴影部分所示)后，结合目标函数可知，当直线y2xz经过点A时，z的值最大，由，则mzmax2213.当直线y2xz经过点B时，z的值最小，
4、由，则nzmin2(1)13，故mn6.答案B7(2014安徽，5)x，y满足约束条件若zyax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为()A.或1 B2或 C2或1 D2或1解析法一由题中条件画出可行域，可知A(0，2)，B(2，0)，C(2，2)，则zA2，zB2a，zC2a2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要zAzBzC或zAzCzB或zBzCzA，解得a1或a2.法二目标函数zyax可化为yaxz，令l0：yax，平移l0，则当l0AB或l0AC时符合题意，故a1或a2.答案D8(2013新课标全国，9)已知a0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a等于()A. B
5、. C1 D2解析作出约束条件表示的可行域如图所示，是ABC的内部及边界由目标函数，得y2xz，当直线l：y2xz过点B(1，2a)时，目标函数z2xy的最小值为1. 22a1，则a.答案B9(2015新课标全国，15)若x，y满足约束条件则的最大值为_解析约束条件的可行域如下图，由，则最大值为3.答案310(2014大纲全国，14)设x、y满足约束条件则zx4y的最大值为_解析作出约束条件下的平面区域，如图所示由图可知当目标函数zx4y经过点B(1，1)时取得最大值，且最大值为1415.答案511(2014湖南，14)若变量x，y满足约束条件且z2xy的最小值为6，则k_.解析画出可行域(图
6、略)，由题意可知不等式组表示的区域为一三角形，平移参照直线2xy0，可知在点(k，k)处z2xy取得最小值，故zmin2kk6.解得k2.答案212(2013江苏，9)抛物线yx2在x1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x2y的取值范围是_解析由题意可知抛物线yx2在x1处的切线方程为y2x1.该切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示：当直线x2y0平移到过点A时，x2y取得最大值.当直线x2y0平移到过点B(0，1)时，x2y取得最小值2.因此所求的x2y的取值范围为.答案13(2013陕西，13)若点(x，y)位于曲线y
7、|x1|与y2所围成的封闭区域，则2xy的最小值为_解析如图，曲线y|x1|与y2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z2xy，则y2xz，作直线y2x，在封闭区域内平行移动直线y2x，当经过点(1，2)时，z取得最小值，此时z2(1)24.答案4考点二与线性规划有关的综合性问题1(2014山东，9)已知x，y满足约束条件当目标函数zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值2时，a2b2的最小值为()A5 B4 C. D2解析法一不等式组表示的平面区域如图所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，1)处取得最小值，故2ab2，两端平方得4a2b24ab20，又4ab2a2ba2
8、4b2，所以204a2b2a24b25(a2b2)，所以a2b24，即a2b2的最小值为4，当且仅当a2b，即b，a时等号成立法二把2ab2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2b2的最小值是坐标原点到直线2ab2距离的平方，即4.答案B2(2013山东，6)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为()A2 B1 C D解析已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x2y10和3xy80，解得A(3，1)，故OM斜率的最小值为.答案C3(2
9、013北京，8)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求得m的取值范围是()A. B.C. D.解析图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含yx1上的点，只需要可行域的边界点(m，m)在yx1下方，也就是mm1，即m即k时，目标函数zkxy在点B(0，2)取得最大值12，故k0212，无解，综上可知，k2.答案27(2012陕西，14)设函数f(x)D是由x轴和曲线yf(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则zx2y在D上的最大值为_解析由题知在点(1，0)处的切线的斜率kf(1)1，则切线方程为yx1.区域D为如图阴影部分所示则z的最大值即为直线yx在y轴上的最小截距，此时，(0，1)为最优解，所以z02(1)2.答案2