1、第4讲 牛顿第二定律的应用二：临界与极值问题 梳理基础强化训练 基础知识清单牛顿第二定律的临界问题1题目中出现“最大”“最少”“至少”等字眼说明物理过程中存在着极值，这个极值往往就是临界该类试题往往需要列出函数方程，如二次函数或三角函数、不等式等，也可以利用求导的方法求极值2题目中出现“刚好”“恰好”“正好”等字眼说明在运动过程中出现临界点常见的问题有：“叠体的水平临界问题”，“叠体的竖直临界问题”3题目中出现“稳定后物体的速度”等字眼表明运动中存在收尾速度该类试题往往需要利用牛顿第二定律进行运动分析规律方法技巧 高考调研一 叠体的“水平”的临界问题【经典模型】如图甲所示，M、m 两物块叠放在
2、光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为，一个恒力 F 作用在物块 M上(1)F 至少为多大，可以使 M、m 之间产生相对滑动？(2)如图乙所示，假如恒力 F 作用在 m 上，则 F 至少为多大，可以使 M、m 之间产生相对滑动？【名师点拨】(1)相对滑动的外观表现为位移不等，而究其原因是速度不等造成的，速度不等首先得加速度不等，因此两物体能否相对滑动关键取决于两物体的加速度是否相等 两物体恰好相对滑动的条件：两物体加速度相等；两物体间却是滑动摩擦力(2)对于第(1)问，m 有极限加速度，当 M 的加速度大于等于m 的极限加速度时两者产生相对滑动m 的极限加速度为 amg，对 M 有 FmgMa
3、M，aMam.(3)对于第(2)问，M 有极限加速度，当 m 的加速度大于等于M 的极限加速度时两者产生相对滑动M 的极限加速度为 aM，对 m 有，Fmgmam，amaM.【考题随练 1】(2014江苏)如图所示，A、B 两物块的质量分别为 2m 和 m，静止叠放在水平地面上，A、B 间的动摩擦因数为，B 与地面间的动摩擦因数为12，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为 g，现对 A 施加一水平拉力 F，则()A当 F3mg 时，A 相对 B 滑动D无论 F 为何值，B 的加速度不会超过12 g【解析】当 A、B 刚要发生相对滑动时，A、B 间的摩擦力达到最大静摩擦力，即 f2mg，隔离
4、对 B 分析，根据牛顿第二定律得，2mg123mgma，解得 a12g，对整体分析，根据牛顿第二定律，有 F123mg3ma，解得 F3mg.知当 F3mg 时，A、B 发生相对滑动故 C 项正确；通过隔离对B 分析，知 B 的加速度不会超过12g.故 D 项正确当 F52mg，A、B 保持相对静止，对整体分析，加速度 aF123mg3mmg3m13g.故 B 项正确；当 Fa1，解得 F2(m1m2)g(3)纸板抽出前，砝码运动的距离 x112a1t12 纸板运动的距离 dx112a2t12 纸板抽出后，砝码在桌面上运动的距离 x212a3t22，lx1x2 由题意，知 a1a3，a1t1a
5、3t2 解得 F2m1(1dl)m2g 代入数据，得 F22.4 N【答案】(1)(2m1m2)g(2)F2(m1m2)g(3)22.4 N【设置目的】相对运动的分析高考调研二 叠体的“竖直”临界问题【经典模型】如图所示，用 M 将 m 拖住，此时弹簧处于压缩状态，弹簧的劲度系数为 k，此时的形变量为 x，则此时至少对 M 施加多大的力 F，才能使 M 与 m 在此时脱离【解析】利用恰好脱离的条件，两物体间挤压力为零；且加速度相等，对 m 可得：kxmgma，对 M 可得：FMgMa，解得 FkxMm【答案】Fk xMm【名师点拨】1.“脱离”两物体位移不同两物体速度先不同两物体加速度不同是根
6、本原因 2两物体脱离的根本原因：两物体加速度不同 3两物体恰好脱离的条件：两物体加速度相等；两物体间挤压力为零；此时两物体的速度还相等【考题随练 1】(2014上海)如图所示，水平面上的矩形箱子内有一倾角为 的固定斜面，斜面上放一质量为 m 的光滑球，静止时，箱子顶部与球接触但无压力，箱子由静止开始向右做匀加速运动，然后改做加速度大小为 a 的匀减速运动直至静止，经过的总路程为 s，运动过程中的最大速度为 v.(1)求箱子加速阶段的加速度 a.(2)若 agtan，求减速阶段球受到箱子左壁和顶部的作用力【解析】(1)设加速度为 a，由匀变速直线运动的公式 x1 v22a x2v22a，得 sx
7、1x2 v22av22a 解得 aav22asv2(2)设小球不受车厢的作用力，应满足：Nsinma Ncosmg，解得 agtan 减速时加速度的方向向左，为满足 agtan 条件，左侧不能再有作用力，以球为研究对象，受力分析如图所示，斜面的支持力 Nx、重力 mg，顶部作用力 Nd，则 水平方向，有 Nxsinma 竖直方向，有 NxcosmgNd 解得 Nd macotmg【答案】(1)av22asv2(2)0 m(acot g)【考题随练 2】一有固定斜面的小车在水平面上做直线运动，小球通过细绳与车顶相连小球某时刻正处于如图所示状态设斜面对小球的支持力为 N，细绳对小球的拉力为 T，关
8、于此时刻小球的受力情况，下列说法正确的()A若小车向左运动，N 可能为零B若小车向左运动，T 可能为零C若小车向右运动，N 不可能为零D若小车向右运动，T 不可能为零【解析】小球相对于斜面静止时，与小车具有共同加速度，如图甲、乙所示，向左的加速度最大则 T0，向右的加速度最大则 N0，根据牛顿第二定律，合外力与合加速度方向相同沿水平方向，但速度方向与力没有直接关系【答案】AB【设置目的】根据物体的存在状态分析力的有无高考调研三“数学方法”处理临界问题1二次函数求极值利用函数 yax2bxc，图像的顶点坐标x b2a，ymax4acb24a求极值，如常见的追及问题求解2三角函数求极值利用正、余弦
9、函数的有界性，即1sin 1，1 cos 1 求极值的方法，物理中的极值问题常见三种情况：(1)仅含有一个三角函数的，直接利用正、余弦函数极值为1的原理决定极值(2)不是同函数，但可以化成同函数的，常用倍角公式2sin cos sin2 进行化简(3)含有正、余弦和差形式的三角函数式，可用和差化积，变为一个三角函数式，asin bcos a2b2sin()，其中tan b/a.【考题随练 1】(2013山东)如图所示，一质量 m0.4 kg的小物块，以 v02 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经 t2 s 的时间物块由 A点运动到 B 点，A、B
10、之间的距离 L10 m已知斜面倾角 30，物块与斜面之间的动摩擦因数 33，重力加速度 g 取10 m/s2.(1)求物块加速度的大小及到达 B 点时速度的大小；(2)拉力 F 与斜面的夹角多大时，拉力 F 最小？拉力 F 的最小值是多少？【解析】(1)设物块加速度的大小为 a，到达 B 点时速度的大小为 v，由运动学公式，得 Lv0t12at2 vv0at 联立式，代入数据，得 a3 m/s2 v8 m/s(2)设物块所受支持力为 FN，所受摩擦力为 Ff，拉力与斜面间的夹角为，受力分析如图所示，由牛顿第二定律，得 FcosmgsinFfma FsinFNmgcos0 又 FfFN 联立式，
11、得 Fmg（sincos）macossin 由数学知识，得 cos 33 sin2 33 sin(60)由式，可知对应 F 最小的夹角 30 联立式，代入数据得 F 的最小值为 Fmin13 35 N【答案】(1)3 m/s2 8 m/s(2)30 13 35 N【考题随练 2】某校举行托乒乓球跑步比赛，赛道为水平直道，比赛距离为 s，比赛时，某同学将球置于球拍中心，以大小 a 的加速度从静止开始做匀加速运动，当速度达到 v0 时，再以 v0 做匀速直线运动跑至终点整个过程中球一直保持在球拍中心不动比赛中，该同学在匀速直线运动阶级保持球拍的倾角为 0，如图所示设球在运动过程中受到的空气阻力与其
12、速度大小成正比，方向与运动方向相反，不计球与球拍之间的摩擦，球的质量为 m，重力加速度为 g.(1)空气阻力大小与球速大小的比例系数 k.(2)求在加速跑阶段球拍倾角 随球速 v 变化的关系式(3)整个匀速跑阶段，若该同学速率仍为 v0，而球拍的倾角比 0 大了 并保持不变，不计球在球拍上的移动引起的空气阻力的变化，为保证到达终点前球不从球拍上距离中心为 r 的下边沿掉落，求 应满足的条件【解析】(1)在匀速运动阶段，有 mgtan0kv0，得 kmgtan0v0(2)加速阶段，设球拍对球的支持力为 N，有 Nsinkvma，Ncosmg，得 tanagvtan0v0(3)以速度 v0匀速运动时，设空气的阻力与重力的合力为 F，有 Fmg/cos0，球拍倾角为 0 时，空气阻力与重力的合力不变，设球沿球拍面下滑的加速度大小为 a，有 Fsinma，设匀速跑阶段所用时间为 t，有 ts/v0v0/2a，球不从球拍上掉落的条件12at2r，得 sin2rcos0g（sv0v02a）2【答案】(1)kmgtan 0v0(2)tan agvtan 0v0(3)sin 2rcos 0g（sv0v02a）2请做：题组层级快练（十一）