1、108 离散型随机变量的均值与方差第一章集合与常用逻辑用语第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 1离散型随机变量的均值(1)若离散型随机变量 X 的概率分布列为Xx1x2xixn Pp1p2pipn则称 E(X)_为随机变量 X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的_(2)若 YaXb，其中 a，b 为常数，则 Y 也是随机变量，于是 E(Y)_.(3)若 X 服从两点分布，则 E(X)_；若 XB(n，p)，则 E(X)_.2离散型随机变量的方差(1)若离散型随机变量 X 的概率分布列为Xx1x2xixn Pp1p2pipn则称 D(X)_为随机变量 X 的方差，其算术平方根_为
2、随机变量 X 的标准差(2)D(aXb)_.(3)若 X 服从两点分布，则 D(X)_；若 XB(n，p)，则 D(X)_.方差反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度：D(X)越小，X 取值越集中，D(X)越大，X 取值越分散自查自纠1(1)x1p1x2p2xipixnpn 平均水平(2)aE(X)b(3)p np2(1)i1n(xiE(X)2pi D（X）(2)a2D(X)(3)p(1p)np(1p)1.若随机变量 X 的分布列如表，则 E(X)等于()X012345 P2x3x7x2x3xx A.118B.19C.209D.920解：由分布列的性质知 2x3x7x2x3xx1，所以
3、 x 118，所以 E(X)02x13x27x32x43x5x40 x209.故选 C.2.(2019浙江)设 0a1，随机变量 X 的分布列是X0a1 P131313则当 a 在(0，1)内增大时，()A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大解：由分布列得 E(X)1a3，则 D(X)1a3 02131a3 a2131a3 121329a12216，则当 a 在(0，1)内增大时，D(X)先减小后增大故选 D.3.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立，设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人
4、数，D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则 p()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3解：易知 XB(10，p)，则 D(X)10p(1p)2.4，所以p0.4 或 p0.6.因为 P(X4)P(X6)，即 C410p4(1p)6C610p6(1p)4，所以(1p)2p2，可知 p0.5，则 p0.6.故选 B.4.(2017全国卷)一批产品的二等品率为 0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则 DX_.解：有放回的抽取，是一个二项分布模型，其中 p0.02，n100，则 DXnp(1p)1000.020.981.96.故填 1.96.5.
5、设一次试验成功的概率为 p，进行 100 次独立重复试验，当 p时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为.解：记试验成功的次数为 X，D(X)100p(1p)100(p1p2)225，当且仅当 p1p，即 p12时，D(X)取最大值为25，此时标准差为 5.故填12；5.类型一 摸球模型、抽签模型例 1 一口袋中装有大小相同的 2 个白球和 4 个黑球，每次从袋中任意摸出一个球.(1)采取有放回抽样方式，从中摸出两个球，求两球恰好颜色不同的概率；(2)采取不放回抽样方式，从中摸出两个球，求摸得白球的个数的均值和方差.解：(1)“有放回摸取”可看作独立重复试验，每次摸出一球是白球的概率为 P26
6、13.记“有放回摸两次，颜色不同”为事件 A，其概率为 P(A)49.(2)设摸得白球的个数为 X，则 X 的取值为 0，1，2，P(X0)463525，P(X1)46252645 815，P(X2)2615 115.所以 X 的分布列为 X012 P25815115 E(X)0251 8152 11523，D(X)0232251232 8152232 1151645.评析 求离散型随机变量的分布列的关键在于确定随机变量及其概率.就本题而言，弄清“放回”与“不放回”在概率计算上的区别是正确解题的关键.均值与方差直接套用公式计算即可.变式 1(江西省新八校 2019 届高三第二次联考)某种水果按
7、照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下.等级标准果优质果精品果礼品果 个数10304020(1)若将频率视为概率，从这 100 个水果中有放回地随机抽取 4 个，每次抽取 1 个，求恰好有 2 个水果是礼品果的概率；(结果用分数表示)(2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案 1：不分类卖出，单价为 20 元/kg.方案 2：分类卖出，分类后的水果售价如下.等级标准果优质果精品果礼品果 售价(元/kg)16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？(3)用分层抽样的
8、方法从这 100 个水果中抽取 10 个，再从抽取的 10 个水果中随机抽取 3 个，X 表示抽取的是精品果的数量，求 X 的分布列及数学期望 E(X).解：(1)设从 100 个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为 A，则 P(A)2010015，现有放回地随机抽取 4 个，每次抽取 1 个，设抽到礼品果的个数为 X，则 XB4，15，所以恰好抽到 2 个礼品果的概率为P(X2)C24 452 152 96625.(2)设方案 2 的单价为，则单价的期望值为 E()16 11018 31022 41024 210165488481020.6，因为 E()20，所以从采购商的角度考虑，应该采
9、用方案 1.(3)用分层抽样的方法从 100 个水果中抽取 10 个，则其中精品果 4 个，非精品果 6 个 现从中抽取 3 个，则精品果的数量 X 服从超几何分布，所有可能的取值为 0，1，2，3，则 P(X0)C36C31016，P(X1)C26C14C310 12，P(X2)C16C24C310 310，P(X3)C34C310 130，所以 X 的分布列如下.X0123 P1612310130E(X)0161122 3103 13065.类型二 停止型问题例 2(广东省 2019 届高考适应性考试)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进.为激发学生加强体育活动，保证学生健康成
10、长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两队进行比赛，约定每局胜者得 1 分，负者得 0 分，比赛进行到有一队比对方多 2分或打满 8 局时停止.设甲队在每局中获胜的概率为 p(p12)，且各局胜负相互独立.已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59.(1)求 p 的值；(2)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 E(X).解：(1)依题意，当甲队连胜 2 局或乙队连胜 2 局时，第二局比赛结束时比赛结束 所以有 p2(1p)259，解得 p23或 p13(小于12，故舍)(2)依题意知，X 的所有可能取值为 2，4，6，8.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止
11、的概率为59.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙两队在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响 从而有 P(X2)59，P(X4)(159)592081，P(X6)(159)(159)59 80729，P(X8)(159)(159)(159)1 64729.所以随机变量 X 的分布列为 X2468 P5920818072964729则 E(X)259420816 807298 647292 522729.评析 解决这类终止型问题，一定要弄清楚终止的条件，根据终止条件确定各种可能结果，再计算相应概率，对逻辑推理素养要求较高.变式 2 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现
12、3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望.解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”为事件 A，则 P(A)56453412.(2)依题意得，X 所有可能的取值是 1，2，3.又 P(X1)16，P(X2)561516，P(X3)5645123.所以 X 的分布列为 X123 P1
13、61623所以 E(X)11621632352.类型三 二项分布的均值与方差例 3(2019 届湘赣十四校高三第二次联考)2020 年某新年贺岁大片自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为该片好看的概率为23，女性观众认为该片好看的概率为12.某机构就该片是否好看的问题随机采访了 4 名观众(其中 2 男 2 女).(1)求这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；(2)设 表示这 4 名观众中认为该片好看的人数，求 的分布列与数学期望.解：设 X 表示 2 名女性观众中认为好看的人数，Y 表示 2 名男性观众中认为好看的人数，则 XB(2，
14、12)，YB(2，23)(1)设事件 A 表示“这 4 名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则 P(A)P(X2，Y1)P(X2，Y0)P(X1，Y0)C22(12)2C12(23)(13)C22(12)2C02(13)2C12(12)(12)C02(13)2 736.(2)的可能取值为 0，1，2，3，4，P(0)P(X0，Y0)C02(12)2 C02(13)2 136，P(1)P(X1，Y0)P(X0，Y1)C12(12)(12)C02(13)2C02(12)2C12(23)(13)16，P(2)P(X2，Y0)P(X1，Y1)P(X0，Y2)C22(12)2 C02(1
15、3)2C12(12)(12)C12(23)(13)C02(12)2C22(23)21336，P(3)P(X1，Y2)P(X2，Y1)C12(12)(12)C22(23)2C22(12)2C12(23)(13)13，P(4)P(X2，Y2)C22(12)2C22(23)219，所以 的分布列为 01234 P1361613361319所以 E()0 1361162133631341973.评析 n 次独立重复试验是重要的模型，要牢记公式：当 XB(n，p)时，E(X)np，D(X)npq，其中 q1p.同时要掌握期望与方差的重要性质：E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X).变式 3(
16、2018长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照27.5，32.5)，32.5，37.5)，37.5，42.5)，42.5，47.5)，47.5，52.5分为 5 组，其频率分布直方图如图所示.(1)求图中 a 的值；(2)估计这种植物果实重量的平均数 x 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)已知这种植物果实重量不低于 32.5 克的即为优质果实，用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取 3 个，其中优质果实的个数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X).解：(1)由 5(0.020.040.075a0.015)1
17、 得 a0.05.(2)各组中点值和相应的频率依次为 中点值3035404550 频率0.10.20.3750.250.075 x300.1350.2400.375450.25500.07540，s2(10)20.1(5)20.2020.375520.251020.07528.75.(3)由已知，这种植物果实的优质率 p0.9，且 XB(3，0.9)，故其分布列为 P(Xk)Ck30.9k(10.9)3k(k0，1，2，3)，X 的分布列为 X0123 P0.0010.0270.2430.729所以 E(X)np2.7.类型四 综合运用例 4(湖北省武汉市 2019 届四月调考)十九大以来，某
18、贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得了巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定 2019 年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了 2018 年 50 位农民的年收入并制成如下频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这 50 位农民的年平均收入 x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)；(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民收入 X 服从正态分布 N(，2)，其中 近似为年平均收入 x，2 近似为样本方差 s2，经计算得 s26.92.利用该正态分布，求
19、：()在 2019 年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的 84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？()为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了 1000 位农民.若每位农民的年收入相互独立，问：这1000 位农民中的年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式：6.922.63，若 XN(，2)，则P(X)0.6827；P(2X2)0.9545；P(3)120.682720.8414.所以 17.402.6314.77 时，满足题意，即最低年收入大约为 14.77 千元()由 P(X12
20、.14)P(X2)0.50.954520.9773，得每位农民的年收入不少于 12.14 千元的概率为 0.9773，记 1000 位农民的年收入不少于 12.14 千元的人数为，则 B(103，p)，其中 p0.9773，于是恰好有 k 位农民的年收入不少于 12.14 千元的概率是 P(k)Ck103pk(1p)103k，从而由 P（k）P（k1）（1001k）pk（1p）1，得 k1001p，而 1001p978.2773.所以，当 0k978 时，P(k1)P(k)，由此可知，在所走访的 1000 位农民中，年收入不少于 12.14 千元的人数最有可能是978.评析 随机变量的均值反映
21、了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.变式 4(2018衡水中学调研)某产品按行业生产标准分成 8 个等级，等级系数 X 依次为 1，2，8，其中 X5 为标准 A，X3 为标准 B.已知甲厂执行标准 A 生产该产品，产品的零售价为 6 元/件；乙厂执行标准 B 生产该产品，产品的零售价为 4 元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准.(1)已知甲厂产品的等级系数 X1 的分布列如下表，且 X1 的数学期望 E(X1)6，求 a，b 的值；X15
22、678 P0.4ab0.1(2)为分析乙厂产品的等级系数 X2，从该厂生产的产品中随机抽取 30 件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：3533855634 63475348538343447567用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 X2的数学期望；(3)在(1)(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？并说明理由.注：产品的“性价比”产品的等级系数的数学期望产品的零售价；“性价比”大的产品更具可购买性.解：(1)E(X1)50.46a7b80.16，即 6a7b3.2，由 X1 的分布列性质得 0.4ab0.11，即 ab0.5，联
23、立，解得a0.3，b0.2.(2)由已知得，样本的频率分布如下表：等级系数 X2345678 样本频率 f0.30.20.20.10.10.1 用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 X2 的数学期望 E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙厂产品的等级系数的数学期望为 4.8.(3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望为 6，零售价为 6 元/件，所以其性价比为661，因为乙厂产品的等级系数的数学期望为 4.8，零售价为 4 元/件，所以其性价比为4.841.2，据此，乙厂的产品更具可购买性 1.计算均值与方
24、差的基本方法(1)已知随机变量的概率分布求它的均值、方差和标准差，可直接用定义或公式求；(2)已知随机变量 X 的均值、方差，求 X 的线性函数 YaXb 的均值、方差和标准差，可直接用均值及方差的性质求；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接利用它们的均值、方差公式来求.2.求均值与方差常用的结论 掌握下述有关结论，会给解题带来方便：(1)E(aXb)aE(X)b；E(XY)E(X)E(Y)；D(aXb)a2D(X).(2)若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p).3.(1)在实际中经常用均值来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；(2)注意离散型随机变量的均值、方差与样本数据的平均数、方差的区别与联系.
