1、第3课时 利用导数证明不等式授课提示：对应学生用书第293页A组基础保分练1已知函数f(x)x2(a2)xaln x(aR)(1)求函数yf(x)的单调区间；(2)当a1时，证明：对任意的x0，f(x)exx2x2.解析：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为(0，)，由已知得f(x)2x(a2).当a0时，f(x)0对任意x(0，)恒成立，函数f(x)在(0，)上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，由f(x)0，得x，由f(x)0，得0x，所以函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)证明：当a1时，不等式f(x)exx2x2可变为exln x20.令h(x
2、)exln x2，则h(x)ex，可知函数h(x)在(0，)上单调递增，而he30，h(1)e10，所以方程h(x)0在(0，)上存在唯一实根x0，且x0，使ex0.当x(0，x0)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(x0，)时，h(x)0，函数h(x)单调递增所以h(x)minh(x0)ex0ln x02ln 2x020，即exln x20在(0，)上恒成立，所以对任意x0，f(x)exx2x2成立2已知函数f(x)axln x1.(1)若f(x)0恒成立，求a的最小值；(2)证明：xln x10；(3)已知k(exx2)xxln x恒成立，求k的取值范围解析：(1)由题意知x0，所
3、以f(x)0等价于a.令g(x)，则g(x)，所以当x(0，1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0.则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以g(x)maxg(1)1，则a1，所以a的最小值为1.(2)证明：当a1时，由(1)得xln x1.即tln t1.令t，则xln xln t，所以xln x1，即xln x10.(3)因为k(exx2)xxln x，即k1ln x恒成立，所以k1，由(2)知xln x10恒成立，所以11，故k1.B组能力提升练1已知函数f(x)axxln x在xe2(e为自然对数的底数)处取得极小值(1)求实数a的值；(2)当x1时，求证：f
4、(x)3(x1)解析：(1)因为f(x)axxln x，所以f(x)aln x1，因为函数f(x)在xe2处取得极小值，所以f(e2)0，即aln e210，所以a1，所以f(x)ln x2.当f(x)0时，xe2；当f(x)0时，0xe2，所以f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增，所以f(x)在xe2处取得极小值，符合题意，所以a1.(2)证明：由(1)知a1，所以f(x)xxln x.令g(x)f(x)3(x1)，即g(x)xln x2x3(x0)g(x)ln x1，由g(x)0，得xe.由g(x)0，得xe；由g(x)0，得0xe.所以g(x)在(0，e)上单调递减，
5、在(e，)上单调递增，所以g(x)在(1，)上的最小值为g(e)3e0.于是在(1，)上，都有g(x)g(e)0，所以f(x)3(x1)2(2021仙桃模拟)已知函数f(x)axln x(a0)的图像在点(e，f(e)处的切线和直线x2y10垂直(1)求a的值；(2)对任意的x0，证明：f(x)2xe3；(3)若f(x)b有两个实数根x1，x2(x1x2)，证明：|x1x2|b1.解析：(1)由f(x)的图像在点(e，f(e)处的切线与直线x2y10垂直，得该切线的斜率为2，即f(e)2.因为f(x)a(ln x1)，所以a(ln e1)2，解得a1.(2)证明：令g(x)f(x)2xe3，则
6、由(1)知g(x)xln x2xe3(x0)，则g(x)ln x3，显然g(x)0时，xe3，当x(0，e3)时，g(x)0，所以函数g(x)在(0，e3)上单调递减当x(e3，)时，g(x)0，所以函数g(x)在(e3，)上单调递增，所以g(x)g(e3)3e32e3e30，所以对任意的x0，f(x)2xe3.(3)证明：由(2)可得f(x)2xe3，因为f(x)ln x1，所以函数f(x)xln x的图像在点(1，0)处切线的斜率kf(1)1，可得在(1，0)处的切线方程为yx1，作出函数f(x)xln x，y2xe3和yx1的图像，如图所示，由图可得f(x)x1.记直线y2xe3，yx1
7、分别与直线yb交于(x1，b)，(x2，b)，可得x2b1，x1(x1x2)，结合图像可知，|x1x2|x2x1(b1)b1，故|x1x2|b1.C组创新应用练(2021长沙模拟)已知函数f(x)ex(1aln x)，其中a0，设f(x)为f(x)的导函数(1)设g(x)exf(x)，若g(x)2恒成立，求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f(x)的极小值点为x1，当a2时，求证：x0x1.解析：(1)由题意知f(x)ex(x0)，则g(x)exf(x)1aln x，g(x)(x0)当x(0，1)时，g(x)0，g(x)在区间(0，1)上单调递减，当x(1，)时，g(x)0，
8、g(x)在区间(1，)上单调递增，故g(x)在x1处取得最小值，且g(1)1a.由于g(x)2恒成立，所以1a2，得a1，即a的取值范围为1，)(2)证明：设h(x)f(x)ex，则h(x)ex.设H(x)1aln x(x0)，则H(x)0，故H(x)在(0，)上单调递增因为a2，所以H(1)a10，H1aln 20，故存在x2，使得H(x2)0.则h(x)在区间(0，x2)上单调递减，在区间(x2，)上单调递增，故x2是h(x)的极小值点，因此x2x1.由(1)可知，当a1时，ln x1.因此h(x)h(x1)ex1ex1(1a)0，即f(x)在(0，)上单调递增由于H(x1)0，即1aln x10，即1aln x1，所以f(x1)ex1(1aln x1)aex10f(x0)又f(x)在(0，)上单调递增，所以x1x0.