1、专题(七)相似三角形的基本模型类型一A 字型1如图，在ABC 中，DEBC，DE 分别与 AB，AC 相交于点 D，E，若 AD4，DB2，则 DEBC 的值为（）A23B12C34D35A模型一 A字型和X字型相似 2(广元中考)如图，在ABC 中，BC6，AC8，C90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，与 AB 交于点 D，再分别以 A，D 为圆心，大于 12 AD 的长为半径画弧，两弧交于点 M，N，作直线 MN，分别交 AC，AB 于点 E，F，则 AE 的长度为（）A52B3C2 2D103A 3如图，在 RtABC 中，C90，AC4 cm，BC3 cm，动点 P 由点 B出
2、发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，速度为 1 cm/s，动点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，速度为 2 cm/s，连接 PQ.若设运动时间为 t(s)(0t2)，则当 t_s 时，以 A，P，Q 为顶点的三角形与ABC 相似107 或2513【模型拓展1】“飞鱼”模型基本模型模型特点：图中有或者包含两个三角形共顶点且顶点的两条边也共线，形似“鱼”型已知条件：AEEC1m；FBBC1n；ADDB1x；FDDE1y.基本结论：已知任意两个条件，可求出另两个的值，如已知条件和，可得ADDB n1m.(可通过作平行线构造 A 字型验证结论)4.(类比探究)已知在ABC 中，点
3、D 为边 BC 上一点，点 E 为边 AC 的中点，AD与 BE 交于点 P.(1)如图，当 BDCD 时，PEPB _；(2)如图，当 CD2BD 时，求证：PEPB；(3)探究：当 CDkBD(k 为正整数)时，PEPB 的值是多少？12解：(2)证明：过点 E 作 EMDC 交 AD 于点 M，EMCD AEAC 12，EM12 CDBD，PEPB EMBD 1，PEPB(3)CDkBD，BD1k CD，由(2)知，EM12 CD，PEPB EMBD 12CD1kCDk2类型二X 字型5如图，在ABC 中，E 是线段 AC 上一点，且 AECE12，过点 C 作CDAB，交 BE 的延长
4、线于点 D.若BCE 的面积等于 4，则CDE 的面积等于（）A8B16C24D32A6(泸州中考)如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，CD 上，AF，BE 相交于点 G，若 AE3ED，DFCF，则AGGF 的值是_657如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 B作 BECD 交 CA 的延长线于点 E.求证：OC2OAOE.证明：ADBC，AODCOB，OAOC ODOB.BECD，DOCBOE，ODOB OCOE，OAOC OCOE，OC2OAOE【模型拓展 2】用垂直构造“十字”模型的相似8如图，在矩形 ABCD 中，AB 2
5、，E 是 BC 的中点，AEBD 于点 F，则BF 的长是_.63【变式 1】如图，E，G，F，H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EFGH，若AB2，BC3，则 EFGH_32【变式 2】在ABC 中，ACB90，AC4，BC3，D 是 AC 的中点，CEBD交 AB 于点 E.则：(1)AEBE _，(2)CE_8912 13179如图，在正方形 ABCD 中(1)E 为边 BC 的中点，AE 的垂直平分线分别交 AB，AE，CD 于 G，F，H，求GFFH的值；(2)E 的位置改动为边 BC 上一点，且BEEC k，其他条件不变，那么GFFH 的值为_kk2解：(1)分别延长 AE，
6、DC 交于点 K.四边形 ABCD 为正方形，ABCK，ABEKCE，AEEK BECE.E 为边 BC 的中点，BECE，AEEK.GH 平分 AE，EKAE2AF，FK3AF.AGHK，AGFKHF，GFFH AFFK 13【基本模型 1】如图，已知ABC，ABDC.【基本结论】ABDACB，AB2ADAC.模型二 母子型相似【基本模型 2】如图，已知ACB90，CHAB 于点 H.【基本结论】ABCACHCBH；AC2AHAB，BC2BHBA，HC2HAHB.1如图，在 RtABC 中，ACB90，CDAB，垂足为点 D.若 AD1 cm，DB2 cm，则 AC 的长为（）A1 cmB
7、2cmC 3cmD2 cmC2(淄博中考)如图，在ABC 中，AC2，BC4，D 为 BC 边上的一点，且CADB.若ADC 的面积为 a，则ABD 的面积为（）A2aB52 aC3aD72 aC3如图，在ABC 中，D 为 BC 上一点，BC3BD，BADC，求证：AC 3 AD.证明：易证ADBCAB，AB2BDBC，即 AB23BDBD3BD2，即AB 3 BD，又ADAC BDAB，AC 3 AD4如图，在ABC 中，BAC90，ADBC 于点 D，E 为直角边 AC 的中点，过点 D，E 作直线交 AB 的延长线于点 F.求证：ABAFACDF.证明：先证CBAABD，得ABAC B
8、DAD，再证DBFADF，得BDAD DFAF，由，得ABAC DFAF，ABAFACDF5如图，在ABC 中，ABAC，ADBC 于点 D，作 DEAC 于点 E，F 是AB 中点，连接 EF 交 AD 于点 G.(1)求证：AD2ABAE；(2)若 AB3，AE2，求ADAG 的值解：(1)证明：ADBC，DEAC，ADCAED90，DAECAD，ADEACD，ADAC AEAD，AD2ACAE，ABAC，AD2ABAE(2)如答图，连接 DF.AB3，ADB90，F 是 AB 中点，DF12 AB32ABAC，ADBC，BDDC，DFAC，DFAE DGAG 32234，ADAG74模型
9、三 旋转型(手拉手模型)相似 1如图，已知DABEAC，ADEABC.求证：(1)ADEABC；(2)ADBAEC.证明：(1)DABEAC，DABBAEEACBAE，即DAEBAC.又ADEABC，ADEABC(2)ADEABC，ADAE)ABAC.又DABEAC，ADBAEC2在ABC 和DCE 中，CACB，CDCE，ACBDCE90，M，N分别为 AB，DE 的中点连接 MN，求MNBE 的值解：如图，连接 CN，CM，CACB，CDCE，ACBDCE90，NCEACM45，CE 2 CN，BC 2 CM，CECN BCCM 2，BCE90ACE4545ACEMCN，BCEMCN，MN
10、BE CMBC 223如图，在 RtABC 中，AC4，BAC90，B30，D 是 BC 上一点，AEAD，ADE30，连接 CE.(1)求证：ADEABC；(2)求证：ACEABD；(3)设 CEx，当 CD2CE 时，x 的值为_168 3解：(1)证明：AEAD，BAC90，EADCAB90，B30，ADE30，BADE，ADEABC(2)证明：EADCAB90，EACDAB90CAD，ADEABC，AEAC ADAB，AEAD ACAB，ACEABD4如图，正方形 ABCD 中，EAF45，AE 交 BC 于点 E，AF 交 CD 于点 F，分别交 BD 于 H，G，连接 EF.(1)
11、求证：AD2BGDH；(2)求CEDG 的值；(3)若正方形的边长为 5，DG 2，求 EF 的长解：(1)证明：四边形 ABCD 为正方形，ABDADB45，ABAD，EAF45，BAG45BAH，AHD45BAH，BAGAHD，又ABDADB45，ABGHDA，ABDH BGAD，BGDHABADAD2(2)连接 AC，易证EACGAD，CEDG ACAD 2(3)正方形 ABCD 中，ABAD5，BAD90，BD 2 AB5 2，DG 2，BGBDDG5 2 2 4 2，AD2BGDH，DHAD2BG2582，GHDHDG2582 2 1782，EACGAD，AEAGACAD 2，同理得
12、：AFCAHB，AFAH ACAB 2，AEAG AFAH 2，GAHEAF，GAHEAF，EFGH 2，EF 2 GH174模型四 一线三等角型相似 1点 P 在线段 AB 上(123)2点 P 在线段 AB 的延长线上(123)类型一直接利用一线三等角型相似1(长沙中考节选)如图，在矩形 ABCD 中，E 为 DC 边上一点，把ADE 沿 AE翻折，使点 D 恰好落在 BC 边上的点 F.(1)求证：ABFFCE；(2)若 AB2 3，AD4，求 EC 的长解：(1)证明：四边形 ABCD 是矩形，BCD90，由翻折可知，DAFE90，AFBEFC90，EFCCEF90，AFBCEF，AB
13、FFCE(2)设 ECx，由翻折可知，ADAF4，又AB2 3，在 RtABF 中，BFAF2AB2 42（2 3）2 2，CFBCBF2，ABFFCE，ABCF)BFEC，2 322x，解得 x2 33，即 EC2 332【感知】如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上(点 P 不与点 A，B 重合)，ABDPC90.易证DAPPBC.(不要求证明)【探究】如图，在四边形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上(点 P 不与点 A，B 重合)，ABDPC.(1)求证：DAPPBC；(2)若 PD5，PC10，BC9，则 AP 的长为_【应用】如图，在ABC 中，ACBC4，AB6，
14、点 P 在边 AB 上(点 P 不与点A，B 重合)，连接 CP，作CPEA，PE 与边 BC 交于点 E.当 CE3EB 时，求AP 的长4.5解：【探究】(1)证明：DPBAADPDPCCPB，ADPC，ADPCPB.又AB，DAPPBC【应用】同【探究】(1)可证CAPPBE，ACBP APBE，ACBEAPBP.又CE3EB，BC4BE4，BE1.又AC4，BPABAP6AP，AP(6AP)4，AP3 5 或 AP3 5类型二构造一线三等角型相似3如图，点 P 为矩形 ABCD 对角线 BD 上一点，PEAP 交 BC 于点 E，若 AD10，DC8，求 APPE 的值解：过点 P 作
15、 MNAD 交 AD 于点 M，交 BC 于点 N，易得四边形 AMNB 为矩形，PNCB，易证.四边形 ABCD 是矩形，C90，又PNCB，BPNBDC，BNNP BCCD ADCD 54.由AMPPNE，易知 AMBN，APPEAMPN，APPEBNPN54类型三等腰(等边)三角形中的一线三等角型相似借助等腰三角形的性质，即 45，60等特殊角寻求相似解决问题4如图，ABC 是等腰直角三角形，点 O 是斜边 BC 的中点，点 E 在 AC 上，点 D 在 AB 上，DOE45.(1)求证：BDOCOE；(2)若 BC4，求 BDCE 的值解：(1)证明：ABC 是等腰直角三角形，ABAC
16、，A90，BC45，DOBBDO135，DOE45，DOBCOE135，BDOCOE，BDOCOE(2)BDOCOE，BDCO BOEC，即 BO2BDCE，BDCE45如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，D 是 BC 边上的动点，EDF60.(1)求证：BDECFD；(2)当 BD1，FC3 时，求 BE 的长解：(1)证明：ABC 是等边三角形，BC60，EDBBED120.EDF60，FDCEDB120，BEDFDC.又BC，BDECFD(2)由(1)可知BDECFD，BECD BDCF.BD1，CDBCBD5，CF3，BE53类型四正方形中的 K 型相似6(雅安中考)如图，已知边长为 10 的正方形 ABCD，E 是 BC 边上一动点(与 B，C 不重合)，连接 AE，G 是 BC 延长线上的点，过点 E 作 AE 的垂线交DCG 的角平分线于点 F，若 FGBG.(1)求证：ABEEGF；(2)若 EC2，求CEF 的面积解：(1)证明：四边形 ABCD 是正方形，EFAE，BEGFAEF90，BAEAEB90，AEBFEG90，BAEFEG，BG90，ABEEGF(2)ABBC10，CE2，BE8.由题易得 FGCG，EGCECG2FG，由(1)知，ABEEGF，ABEG BEFG，102FG 8FG，FG8，SCEF12 CEFG12 288
