1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型学 习 目 标核 心 素 养 1理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义(重点)2区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异(易混点)3会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题(难点)借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养.三种函数模型的性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性增函数增函数增函数 图象的变化趋势随 x 增大逐渐近似与 y 轴平行随 x 增大逐渐近似与 x 轴平行随 n 值而不同 增长速度yax(a1)：随着 x
2、的增大，y 增长速度越来越快，会远远大于 yxn(n0)的增长速度，ylogax(a1)的增长速度越来越慢；存在一个 x0，当 xx0 时，有 axxnlogax1已知变量 y12x，当 x 减少 1 个单位时，y 的变化情况是()Ay 减少 1 个单位By 增加 1 个单位Cy 减少 2 个单位Dy 增加 2 个单位高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-2-C 结合函数 y12x 的变化特征可知 C 正确2下列函数中随 x 的增大而增大且速度最快的是()Ayex Byln xCyx2DyexA 结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知 A 正确3某工厂 8 年来某种产品
3、总产量 C 与时间 t(年)的函数关系如图所示以下四种说法：前三年产量增长的速度越来越快；前三年产量增长的速度越来越慢；第三年后这种产品停止生产；第三年后产量保持不变其中说法正确的序号是_ 结合图象可知正确，故填.几类函数模型的增长差异【例 1】(1)下列函数中，增长速度最快的是()Ay2 019x Byx2 019Cylog2 019xDy2 019x(2)下面对函数 f(x)log12x，g(x)12x与 h(x)x12在区间(0，)上的递减情况说法正确的是()Af(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢Bf(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢
4、，h(x)递减速度越来越快Cf(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越慢Df(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快(1)A(2)C(1)指数函数 yax，在 a1 时呈爆炸式增长，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-3-并且随 a 值的增大，增长速度越快，应选 A.(2)观察函数 f(x)log12x，g(x)12x与 h(x)x12在区间(0，)上的图象(如图)可知：函数 f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数 g(x)的图象在区间(0
5、，)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数 h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，)上，递减较慢，且越来越慢常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型 线性函数模型 ykxb(k0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变(2)指数函数模型 指数函数模型 yax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”(3)对数函数模型 对数函数模型 ylogax(a1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓(4)幂函数模型 幂函数 yxn(n0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间1.
6、四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：x151015202530 y1226101226401626901y22321 02437 7681.051063.361071.07109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于 x 呈指数函数变化的变量是_高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-y2 以爆炸式增长的变量呈指数函数变化从表格中可以看出，四个变量 y1，y2，y3，y4 均是从 2 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量
7、y2 关于 x 呈指数型函数变化故填 y2.指数函数、对数函数与幂函数模型的比较【例 2】函数 f(x)2x 和 g(x)x3 的图象如图所示，设两函数的图象交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，且 x1x2.(1)请指出图中曲线 C1，C2 分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断 f(6)，g(6)，f(2 019)，g(2 019)的大小解(1)C1 对应的函数为 g(x)x3，C2 对应的函数为 f(x)2x.(2)f(1)g(1)，f(2)g(2)，f(9)g(9)，f(10)g(10)，1x12，9x210，x16x2，2 019x2.从图象上可以看出，当 x1xx2 时，f
8、(x)g(x)，f(6)g(6)；当 xx2 时，f(x)g(x)，f(2 019)g(2 019)又 g(2 019)g(6)，f(2 019)g(2 019)g(6)f(6)由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数2函数 f(x)lg x，g(x)0.3x1 的图象如图所示高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-(1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1，C2 分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点
9、为分界点，对 f(x)，g(x)的大小进行比较)解(1)C1 对应的函数为 g(x)0.3x1，C2 对应的函数为 f(x)lg x.(2)当 xf(x)；当 x1xg(x)；当 xx2 时，g(x)f(x)；当 xx1 或 xx2 时，f(x)g(x)需选择函数模型的实际问题 探究问题1一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢2在选择函数模型时，若随着自变量的变大，函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前
10、者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型【例 3】(1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润 y 与时间 x 的关系，可选用()A一次函数B二次函数C指数型函数D对数型函数(2)某皮鞋厂今年 1 月份开始投产，并且前 4 个月的产量分别为 1 万双，1.2 万双，1.3 万双，1.37 万双由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程厂里也暂时不准备增加设备和工人假如
11、你是厂长，就月份为 x，产量为 y 给出三种函数模型：yaxb，yax2bxc，yabxc，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路点拨：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解(1)D 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-条件，故选 D.(2)解 由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为 A(1，1)，B(2，1.2)，C(3，1.3)，D(4，1.37)这 4 个数据 设模拟函数为 yaxb 时，将 B，C 两点的坐标代入函数式，得3ab1.3，2ab1.2，解得a0.1，b1.所以有关系式 y0.1
12、x1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升 1 000 双，这是不太可能的 设模拟函数为 yax2bxc 时，将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，得 abc1，4a2bc1.2，9a3bc1.3，解得a0.05，b0.35，c0.7.所以有关系式 y0.05x20.35x0.7.结论为：由此法计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，而且由二次函数性质可知，产量自 4 月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为 x3.5)，不合实际 设模拟函数为 yabxc 时，将 A，B，C 三点的坐标代入函数式，得abc1，ab2c1.2，ab3c1.3.由，
13、得 ab1c，代入，得b（1c）c1.2，b2（1c）c1.3.则c1.2b1b，c1.3b21b2，解得b0.5，c1.4.则 a1cb 0.8.所以有关系式 y0.80.5x1.4.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-结论为：当把 x4 代入得 y0.80.541.41.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势
14、 因此选用指数型函数 y0.80.5x1.4 模拟比较接近客观实际1此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数 2函数模型的选择与数据的拟合是数学建模中最核心的内容，解题的关键在于通过对已知数据的分析，得出重要信息，根据解题积累的经验，从已有的各类型函数中选择模拟，进行数据的拟合3.某跨国饮料公司在对全世界所有人均 GDP(即人均纯收入)在 0.58 千美元的地区销售该公司 A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减(1)下列几个模拟函数中：yax2bx；ykxb；ylogaxb；ya
15、xb(x 表示人均 GDP，单位：千美元，y 表示年人均 A 饮料的销售量，单位：L)用哪个模拟函数来描述人均 A 饮料销售量与地区的人均 GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均 GDP 为 1 千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 2 L，人均 GDP 为 4千美元时，年人均 A 饮料的销售量为 5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均 A 饮料的销售量最多是多少？解(1)用来模拟比较合适因为该饮料在人均 GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减而，表示的函数在区间上是单调函数，所以，都不合适，故用来模拟比较合适(2)因为人均 GDP 为 1 千美元时，
16、年人均 A 饮料的销量为 2 升；人均 GDP 为高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-4 千美元时，年人均 A 饮料的销量为 5 升，把 x1，y2；x4，y5 代入到 yax2bx，得2ab，516a4b，解得 a14，b94，所以函数解析式为 y14x294x.(x0.5，8)y14x294x14x9228116，当 x92时，年人均 A 饮料的销售量最多是8116 L.1直线上升、指数爆炸、对数增长对于直线 ykxb(k0)、指数函数 yax(a1)、对数函数 ylogbx(b1)，当自变量变得很大时，指数函数比一次函数增长得快，一次函数比对数函数增长得快，并且直线上
17、升，其增长量固定不变2函数模型选取的择优意识解题过程中究竟选用哪种增长的函数模型，要根据题目的具体要求进行抽象和概括，灵活地选取和建立数学模型3要注意化归思想和数形结合思想的运用1.思考辨析(1)函数 yx2 比 y2x 增长的速度更快些()(2)当 a1，n0 时，在区间(0，)上，对任意的 x，总有 logaxxnax 成立()(3)函数 ylog12x 衰减的速度越来越慢()答案(1)(2)(3)2下列函数中，随 x 的增大，增长速度最快的是()Ay1 ByxCy3xDylog3xC 结合函数 y1，yx，y3x 及 ylog3x 的图象可知(图略)，随着 x 的增大，增长速度最快的是 y3x.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-3某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案甲：y0.2x，乙：ylog2x100，丙：y1.005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择_方案乙、甲、丙 将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较 y 值的大小即可求出4画出函数 f(x)x与函数 g(x)14x22 的图象，并比较两者在0，)上的大小关系解 函数 f(x)与 g(x)的图象如图所示 根据图象易得：当 0 xg(x)；当 x4 时，f(x)g(x)；当 x4 时，f(x)g(x)