1、高考数学解题技巧（方法类）1选择题的解题策略一、题型与方法介绍高考数学的选择题主要考查基础知识的理解、基本技能的熟练、基本计算的准确、基本方法的运用、考虑问题的严谨、解题速度的快捷等方面高考数学试题中，选择题注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，体现以考查“三基”为重点的导向，能否在选择题上获取高分，对高考数学成绩影响重大解答选择题的基本要求是四个字：准确、迅速解答选择题的基本策略是：要充分利用题设和选择支两方面提供的信息作出判断。一般说来，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法解的，就不必采用直接解；对于明显可以否定的选择应及
2、早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等。解题时应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏；初选后认真检验，确保准确。 解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类直接法是解答选择题最基本、最常用的方法；但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答因此，我们还要掌握一些特殊的解答选择题的方法 二、方法技巧1直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算，从而得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法
3、例1 【2015高考四川，理1】设集合，集合，则（ ） 【答案】A【解析】，选A例2若ABC的内角A，B，C所对边a，b，c满足，且，则的值为() A B C1 D【答案】A【解析】由，得，由，解得选A例3 若sinxcosx，则x的取值范围是（ ）（A）x|2kx2k，kZ （B） x|2kx2k，kZ（C） x|kxk，kZ （D） x|kxk，kZ【答案】D【解析】【直接法】由sinxcosx得cosxsinx0，即cos2x0，所以k2xk【数形结合法】由已知得|sinx|cosx|，画出y=|sinx|和y=|cosx|的图象，从图象中可知选D例4设f(x)是(，)是的奇函数，f(x
4、2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(75)等于（ ）（A） 05 （B） 05 （C） 15 （D） 15【答案】B【解析】由f(x2)f(x)得f(75)f(55)f(35)f(15)f(05)，由f(x)是奇函数，得f(05)f(05)05，所以选B也可由f(x2)f(x)，得到周期T4，所以f(75)f(05)f(05)05例5七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（ ）（A） 1440 （B） 3600 （C） 4320 （D） 4800解一：（用排除法）七人并排站成一行，总的排法有种，其中甲、乙两人相邻的排法有2种因此，甲、乙两人必需不相邻的排法种
5、数有：23600，对照后应选B；解二：（用插空法）3600例6【2015高考湖北，理6】已知符号函数，f(x)是R上的增函数，g(x)f(x)f(ax)(a1)，则() A B C D【答案】B【解析】 因为a1，所以当x0时，xax， 因为f(x)是R上的增函数，所以f(x)f(ax)，所以g(x)f(x)f(ax)0，sgng(x)1sgn x； 同理可得当x0，sgng(x)1sgn x；当x0时，g(x)0，sgng(x)0sgn x也成立故B正确 【方法点评】直接法是解答选择题最常用的基本方法直接法适用的范围很广，只要运算正确必能得出正确的答案平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能
6、力，准确把握题目的特点用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错 2特殊值法特例检验(也称特例法或特殊值法)，是用特殊值(或特殊图形、特殊位置)代替题设普遍条件，得出特殊结论，再对各个选项进行检验，从而做出正确的选择.常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等. 通过取特值的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，因而我们根据题意选取适当的特值帮助我们排除错误答案，选取正确选项。例1【2014年全国新课标，理8】设，且，则（ ）. . . .【答案】B解一：（直接法），即，选B解二：（特值法）取，则，所以
7、，代入选项验证得B正确例2已知长方形的四个项点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射解等于反射角），设P4坐标为（的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D） 解：考虑由P0射到BC的中点上，这样依次反射最终回到P0，此时容易求出tan=，由题设条件知，1x42，则tan，排除A、B、D，故选C另解：（直接法）注意入射角等于反射角，所以选C例3如果n是正偶数，则CCCC（ ）（A） 2 （B） 2 （C） 2 （D） (n1)2解：（特值法）当n2时，代入
8、得CC2，排除答案A、C；当n4时，代入得CCC8，排除答案D所以选B另解：（直接法）由二项展开式系数的性质有CCCC2，选B例4等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）（A）130 （B）170 （C）210 （D）260解：（特例法）取m1，依题意30，100，则70，又an是等差数列，进而a3110，故S3210，选（C）例5若，P=，Q=，R=，则（ ）（A）RPQ （B）PQ R （C）Q PR （D）P RQ解：取a100，b10，此时P，Qlg，Rlg55lg，比较可知选PQR例6【2012辽宁高考，理6】在等差数列中，已知，则该数列前11项和（
9、 ） A58 B88 C143 D176【常规解法】【特值法】采用特值法取则为公差为0每一项都等于8的常数列则例7【2009辽宁高考，理6】设等比数列的前n 项和为若=3则 = （ ） （9 A. 2 B. C. D.3【常规解法】由等比数列性质可知，为等比数列，设，则由 可得然后根据等比数列性质进行求解。【特值法】采用特值法令则根据，为等比数列得，所以例8【2012辽宁高考，理7】已知，则 （ ） A B C D【常规解法】对等式左右平方得，则 又因为，所以分式中分子分母同时除 得到然后解方程得【特值法】因为则则选项C、D错误， 又因为则的值必然和有关，由此分析猜测可 取，此时满足题中已知条
10、件，所以【方法点评】 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解. 第三，当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略近几年高考选择题中可用或结合特例法解答的约占30左右3排除法排除法也叫筛选法、淘汰法它是充分利用选择题有且只有一个正确的选
11、项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法例1已知ylog(2ax)在0，1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）（A）(0，1) （B）(1，2) （C）(0，2) （D） 2，+ 【答案】B【解析】 2ax是在0，1上是减函数，所以a1，排除答案A、C；若a2，由2ax0得x1，这与x0，1不符合，排除答案D所以选B例2过抛物线y4x的焦点，作直线与此抛物线相交于两点P和Q，那么线段PQ中点的轨迹方程是（ ）（A） y2x1 （B） y2x2 （C） y2x1 （D） y2x2【答案】B【解析】（筛选法）由已知可知轨迹曲线的顶点为(1，0)，开
12、口向右，由此排除答案A、C、D，所以选B；另解：（直接法）设过焦点的直线yk(x1)，则，消y得：kx2(k2)xk0，中点坐标有，消k得y2x2，选B例3方程ax22x10至少有一个负根的充要条件是() A0a1 Ba1 Ca1 D0a1或a0 【答案】C【解析】当时，排除A，D，当a1时，x1，排除B 选C【答案】B【解析】令sin x0，cos x1， 例4 函数的值域是（ ）A B C D【答案】B【解析】令sin x0，cos x1， 则，排除A、D令sin x1，cos x0， 则，排除C故选B例5 函数yxsin x在，上的图象是() 【答案】A【解析】易判断函数yxsin x为
13、偶函数，可排除D； 当时，排除B；当时，排除C 选A【方法点评】排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的答案 它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中约占404代入法将各个选择项逐一代入题设进行检验，从而获得正确的判断.即将各选择支分别作为条件，去验证命题，能使命题成立的选择支就是应选的答案.例1【2011年辽宁，理9】设函数，则满足的x的取值范围是 （ ）A，2 B0，2 C1，+ D0，+【答案】D【常规解法】分段函
14、数不知的取值范围无法选定函数解析式，需要分类讨论，当时则，两边取对数得即所以，即.当时，则，即，解对数不等式两边取指数则，即.综述所述的取值范围是0，+选D. 【代入法】观察选项A、B与C、D的显著区别在于C、D可以取到正无群，我们假设特别大此时，代入可知满足题意，所以A、B错误；C、D中C选项不能取到0，将代入题中解析式验证可以取到，所以C选项错误，正确答案为D.例2【2013辽宁，理2】已知集合 （ ） A B C D 【答案】D【常规解法】解对数不等式，两边取指数，根据对数性质：得画数轴与取交集的范围是.所以正确答案选D项.【代入法】观察选项A、C取不到2，B、D可以取2，令代入集合A、
15、B中满足则排除A、C，比较B、D，B项可以取1 D取不到，令代入入集合A、B中不满足，则排除B项； 则选项D正确.例3函数y=sin(2x)sin2x的最小正周期是（ ）（A） （B） （C） 2 （D） 4【答案】B解：（代入法）f(x)sin2(x)sin2(x)f(x)，而f(x)sin2(x)sin2(x)f(x).所以应选B；另解：（直接法）ycos2xsin2xsin2xsin(2x)，T，选B.例4函数ysin（2x）的图象的一条对称轴的方程是（ ）（A）x （B）x （C）x （D）x 【答案】A【解析】【代入法】把选择支逐次代入，当x时，y1，可见x是对称轴，又因为统一前提规
16、定“只有一项是符合要求的”，故选A.【直接法】 函数ysin（2x）的图象的对称轴方程为2xk，即x，当k1时，x，选A.【方法点评】代入法适应于题设复杂，结论简单的选择题。若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度。充分发挥选项的作用，观察选项特点，制定解题的特殊方案，可以大大的简化解题步骤，节省时间，做选择题我们切记不要不管选项.5数形结合法 数形结合法也叫图解法，据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法有的选择题可通过命题条件的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质，综合图象的特征
17、，得出结论，图形化策略是以数形结合的数学思想为指导的一种解题策略. 例1设方程的两个根分别为、，则（ ） A.x1x21 D.0x1x21 【答案】D解析构造函数与，并作出它们的图象，如图所示， 因为、是的两个根，则两个函数图象交点的横坐标分别为、， 不妨设，10， 则， 因此，因为，所以，即0x1x21，故选D. 例2在内，使成立的的取值范围是（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】C【解析】【图解法】在同一直角坐标系中分别作出ysinx与ycosx的图象，便可观察选C.【直接法】由得sin（x）0，即2 kx2k，取k0即知选C.例3在圆xy4上与直线4x3y12=0距离最小的点的坐标是
18、（ ）（A）（，） （B）(，) （C）(，) （D）(，)【答案】A【解析】【图解法】在同一直角坐标系中作出圆xy4和直线4x3y12=0后，由图可知距离最小的点在第一象限内，所以选A.【直接法】先求得过原点的垂线，再与已知直线相交而得.例4设函数 ，若，则的取值范围是（ ） （A）（，1） （B）（，） （C）（，）（0，） （D）（，）（1，）【答案】【解析】【图解法】在同一直角坐标系中，作出函数的图象和直线，它们相交于（1，1）和（1，1）两点，由，得或.严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，而是一种数形结合的解题策略.但它在解有关选择题时非常简便有效.不过运用图解法解题一定要对
19、有关函数图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择.如：例5函数y=|x21|+1的图象与函数y=2 x的图象交点的个数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4本题如果图象画得不准确，很容易误选（B）；答案为（C）。【方法点评】数形结合，借助几何图形的直观性，迅速作正确的判断是高考考查的重点之一；历年高考选择题直接与图形有关或可以用数形结合思想求解的题目约占50左右.6割补法“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题长度.例1一个四面体的所有棱长都为，四个项点在同一球面上，则此球
20、的表面积为（ ）（A）3 （B）4 （C）3 （D）6解：如图，将正四面体ABCD补形成正方体，则正四面体、正方体的中心与其外接球的球心共一点.因为正四面体棱长为，所以正方体棱长为1，从而外接球半径R.故S球3.直接法（略）例2. 如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知，则几何体的体积为（ ）（A）100 （B）102 （C）106 （D）108【解析】【割补法】首先通过梯形的中位线重合，我们可以求得,分别延长到,使得,则我们可得，故长方体的体积是几何体的二倍.故 我们在初中学习平面几何时，经常用到“割补法”，在立体几何推导锥体的体积公式时又一次用到了“割补法”，这些蕴涵在课本上的方法当然是
21、各类考试的重点内容.因此，当我们遇到不规则的几何图形或几何体时，自然要想到“割补法”.、用割补法求柱体（柱体的一部分）体积例3【2005湖南高考，理5】如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面AC1D1的距离为（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】B【分析】求点到面的距离通常是过点做面的垂线，而由于该图的局限性显然不太好做垂线，考虑O为A1C1的中点，故将要求的距离与A1到面AC1D1的距离挂钩，从而与棱锥知识挂钩，所以可在该图中割出一个三棱锥A1AC1D1而进行解题。【解析】连AC1，可得到三棱锥A1AC1D1，我们把这个正方体的其它部分都割
22、去就只剩下这个三棱锥，可以知道所求的距离正好为这个三棱锥的高的一半。这个三棱锥底面为直角边为1与的直角三角形。这个三棱维又可视为三棱锥C1AA1C1，后者高为1，底为腰是1的等腰直角三角形，利用体积相等，立即可求得原三棱锥的高为，故应选B。例4【2005全国高考1，理5】如图，在多面体ABCDEF中,已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE、BCF均为正三角形. EFAB，EF=2，则多面体的体积为（ ）A、 B、 C、 D、【答案】A【分析】显然在该图不是我们所熟悉的棱柱或棱锥，所以我们在此可以考虑将该图分解成我们所熟悉的棱柱或棱锥，故在此可采用分割的方法。将已知图形割为一个直棱柱与两个全等
23、的三棱维，先分别求体积，然后求要求的几何体体积。【解析】如下图，过AD和BC做分别EF的直截面ADM及截面BCG，面ADM面BCG，O为BC的中点，在BCF中求得FO=，又可推得FG= ，又OGEF，GO= SBCG= VBCG-ADM = ， 2VF-BCG= VABCDEF=+=，故选A.7极限法从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变.应用极限思想解决某些问题，可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程.例1对任意（0，）都有（ ）（A）sin(sin)coscos(cos) （B） sin(sin)coscos(cos)（C）sin(cos)cos(sin)cos （D） s
24、in(cos)coscos(sin)【答案】D【解析】当0时，sin(sin)0，cos1，cos(cos)cos1，故排除A，B.当时，cos(sin)cos1，cos0，故排除C，因此选D.例2不等式组的解集是（ ）（A）（0，2） （B）（0，2.5） （C）（0，） （D）（0，3）【答案】C【解析】不等式的“极限”即方程，则只需验证x=2，2.5，和3哪个为方程的根，逐一代入，选C.例3在正n棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ）（A）（，） （B）（，） （C）（0，） （D）（，）【答案】A【解析】当正n棱锥的顶点无限趋近于底面正多边形中心时，则底面正多边形便为极限状态
25、，此时棱锥相邻两侧面所成二面角，且小于；当棱锥高无限大时，正n棱柱便又是另一极限状态，此时，且大于，故选（A）. 【方法点评】用极限法是解选择题的一种有效方法.它根据题干及选择支的特征，考虑极端情形，有助于缩小选择面，迅速找到答案。8估值法由于选择题提供了唯一正确的选择支，解答又无需过程.因此可以猜测、合情推理、估算而获得.这样往往可以减少运算量，当然自然加强了思维的层次.当选项差距较大，且没有合适的解题思路时我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项。例1 已知，则（ ）A B C D5【答案】D【解析】由于受条件的约束，一定为一个确定
26、的值，进而可知也是一个确定的值，因为，所以，所以，所以D正确.例2如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EFAB，EF，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为（ ）（A） （B）5 （C）6 （D）【答案】D【解析】由已知条件可知，EF平面ABCD，则F到平面ABCD的距离为2，VFABCD3226，而该多面体的体积必大于6，故选（D）.例3. 已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）（A） （B） （C）4 （D）【答案】D【解析】球的半径R不小于ABC的外接圆半径r，则S球4R24r25，故选（D
27、）.【方法点评】估算，省去了很多推导过程和比较复杂的计算，节省了时间，从而显得快捷.其应用广泛，它是人们发现问题、研究问题、解决问题的一种重要的运算方法.例4已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于() （A）1 （B） （C） （D）【答案】C解析由俯视图知正方体的底面水平放置，其正视图为矩形，以正方体的高为一边长，另一边长最小为1， 最大值为，面积范围应该为，不可能等于.例5【2011辽宁，理12】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥SABC的体积为 （ ）A B C D1 【估值法】观察此题选项大小差距较大，我们可以
28、直接采用估算法，算出棱锥SABC体积的近似 值然后直接选取与近似值最接近的选项。计算完底面积后我们将隐藏的高近似的认为是AC则 ,此时我们将近似值平方后与选项做比较发现与C接近，所以直接选C。此题切忌小题大做。【直接法】根据题意画出图像如右图所示因为为直径则，又因为则,，设为中点，则,由得，所以;连接球心与底面三角形的外接圆. 圆心得底面，则此四面体隐藏的高与平行，又为的中点，则根据三角形中位线定理得,接下来还要在直角中计算，计算十分麻烦此处省略。例6 【2009辽宁L7】曲线在点处的切线方程为（ ） A B C D【答案】D【秒估值法】在点附近取特值点，用两点坐标求出近似斜率 所以选项D正确
29、. 【常规解法】要求切线方程先求切线斜率，则要对函数求导，则 所以直线方程为，选项D正确.三、总结提炼从考试的角度来看，解选择题只要选对就行，至于用什么“策略”，“手段”都是无关紧要的所以人称可以“不择手段”但平时做题时要尽量弄清每一个选择支正确的理由与错误的原因，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速总之，解答选择题既要看到各类常规题的解题思想原则上都可以指导选择题的解答，但更应该充分挖掘题目的“个性”，寻求简便解法，充分利用选择支的暗示作用，迅速地作出正确的选择这样不但可以迅速、准确地获取正确答案，还可以提高解题速度，为后续解题节省时间