1、专题课堂(八)切线的判定和性质的综合应用第27章 圆类型一、有切点型切线的证明【例1】已知：如图，ABC中，ACBC，以BC为直径的O交AB于点E，直线EFAC于点F.求证：EF与O相切分析：连结OE，CE，根据直径所对的圆周角为直角可得BEC为直角，根据三线合一得到E为AB的中点，又O为直径BC的中点，可得OE为三角形ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边可得OE与AC平行，可得OEF为直角，EF为圆的切线，得证解：连结OE，CE，BC为圆O的直径，BEC90，CEAB，又ACBC，E为AB的中点，又O为直径BC的中点，OE为ABC的中位线，OEAC，AFEOEF，又EFAC，AFE
2、90，OEF90，则EF为O的切线对应训练1(东营中考)如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DFAB于点F，连结OF，且AF1.(1)求证：DF是O的切线；(2)求线段OF的长度解：(1)连结OD，ABC是等边三角形，CA60，OCOD，OCD是等边三角形，CDOA60，ODAB，DFAB，FDOAFD90，ODDF，DF是O的切线(2)ODAB，OCOB，OD 是ABC 的中位线，AFD90，A60，ADF30，AF1CDODAD2AF2，由勾股定理得：DF23，在 RtODF 中，OFOD2DF2 223 7，线段 OF 的长为 72(2022百色)如图，AB为O的直
3、径，C是O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点M，作ADMC，垂足为D，已知AC平分MAD.(1)求证：MC是O的切线；(2)若ABBM4，求tan MAC的值 解：(1)ADMC，D90，OAOC，OCAOAC，AC 平分MAD，DACOAC，OCADAC，OCDA，DOCM90，OC 是O 的半径，MC 是O 的切线(2)AB4，OCOB12 AB2，OMOBBM6，在 RtOCM 中，MCOM2OC2 6222 4 2，MM，OCMD90，MCOMDA，MCMD OCAD MOAM，4 2MD 2AD 68，MD1632，AD83，CDMDMC432，在 RtACD 中，tan DAC
4、DCAD 43 283 22，tan MACtan DAC 22，tan MAC 的值为 22类型二、无切点型切线的证明【例2】如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的O与BC相切于点M，与AB，AD分别相交于点E，F.(1)求证：CD与O相切；(2)若O的半径为，求正方形ABCD的边长2分析：(1)连结OM，过点O作ONCD，垂足为N，根据正方形性质推出ACBACD，根据角平分线性质推出OMON即可；(2)设正方形ABCD的边长为a，证COMCAB得出比例式，代入求出即可解：(1)连结OM，过点O作ONCD，垂足为N，O与BC相切于点M，OMBC，在正方形ABCD
5、中，AC平分BCD，又ONCD，OMBC，OMON，CD与O相切(2)设正方形 ABCD 的边长为 a，OCMACB，OMCB90，COMCAB，OMAB COCA，2a2a 22a，解得 a 2 1，正方形 ABCD 的边长为 2 1对应训练4(鄂尔多斯中考)如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点D，BC于点E，直线EFAC于点F，交AB的延长线于点H.(1)求证：HF是O的切线；(2)当EB6，cos ABE时，求tan H的值13解：(1)如图，连结OE，ABAC，OBOE，ABCOEBC，OEAC，又HFAC，OEHF，HF是O的切线(2)过点 E 作 EGAH 于点
6、G，EGB90，EB6，cos ABEBGEB 13，BG2，EG4 2，HHEG90，GEOHEG90，HGEO，在 RtBEA 中，cos ABEEBAB 13，EB6，AB18，OB12 AB9，GOOBBG7，tan Htan GEOGOEG 74 2 7 28类型三、切线的性质【例3】如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连结AD，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC的度数分析：(1)根据AB，CD是直径，得ADBCBD90，再根据HL定理得RtABDRtCDB；(2)由BE是切线，得ABBE，根据DBE37，得BAD，由OAOD，得出A
7、DC的度数解：(1)AB，CD是直径，ADBCBD90，在RtABD和RtCDB中，ABCD，BDDB.RtABDRtCDB(HL)(2)BE是切线，ABBE，ABE90.DBE37，ABD53.OAOD，BADADC905337，ADC的度数为37对应训练4(咸宁中考)如图，在RtABC中，C90，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F.(1)求证：BFDF；(2)若AC4，BC3，CF1，求半圆O的半径长 解：(1)连结 OD，DF 是O 的切线，DFOD，ODF90，ADOBDF180ODF90.OAOD，OADODA，OADBDF90，C90，OADB90，BBDF，BFDF(2)连结 OF，设O 的半径为 r，则 ODOEOAr，AC4，BC3，CF1，OCACOA4r，DFBFBCCF312，ODFC90，在 RtODF 和 RtOCF 中，根据勾股定理得：OF2OD2DF2，OF2OC2CF2.OD2DF2OC2CF2，r222(4r)212，解得 r138，即O的半径长为138