1、专题课堂(七)垂径定理与圆周角的应用第27章 圆一、垂径定理的运用类型一：求圆的圆心【例1】如图是破残的圆形轮片，求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)分析：根据圆的性质，弦的垂直平分线过圆心，所以只要找到两个弦的垂直平分线，相交点即为圆心，有圆心就可以作出残片所在的圆解：如图：圆O即为所求对应训练1如图所示，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D.已知AB24 cm，CD8 cm.(1)求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；(2)求(1)中所作圆的半径解：(1)作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心，OA长为半径作圆O，则圆O就
2、是此残片所在的圆，如图(2)连结OA，设OAx cm，AD12 cm，OD(x8)cm，根据勾股定理得x2122(x8)2，解得x13.答：圆的半径为13 cm类型二：求线段的长【例2】(滨州中考)在O中，直径AB15，弦DEAB于点C，若OCOB35，则DE的长为()A6 B9 C12 D15【分析】直接根据题意画出图形，再利用垂径定理以及勾股定理得出答案C2(2022荆州)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB20 cm，底面直径BC12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为_cm(玻璃瓶厚度忽略不计).7.53已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交
3、小圆于点C，D(如图).(1)求证：ACBD；(2)若大圆的半径R10，小圆的半径r8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长 解：(1)过 O 作 OEAB 于点 E，则 CEDE，AEBE，BEDEAECE，即 ACBD(2)由(1)知，OEAB 且 OECD，连结 OC，OA，OE 6，CE OC2OE2 8262 27，AE OA2OE2 10262 8，ACAECE82 7二、圆周角定理与三角形的综合运用类型一：圆周角定理与直角三角形的综合运用【例3】(扬州中考)如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则sin ADC的值为()
4、A2 1313B3 1313C23D32A【分析】首先根据圆周角定理可知，ADCABC，然后在RtACB中，根据锐角三角函数的定义求出ABC的正弦值对应训练4(2022贵港)如图，O是ABC的外接圆，AC是O的直径，点P在O上，若ACB40，则BPC的度数是()A40B45C50D55C5(2022广东)如图，四边形 ABCD 内接于O，AC 为O 的直径，ADBCDB.(1)试判断ABC 的形状，并给出证明；(2)若 AB 2，AD1，求 CD 的长度解：(1)ABC 是等腰直角三角形，证明如下：AC 为O的直径，ADCABC90，ADBCDB，AB BC，ABBC，又ABC90，ABC 是
5、等腰直角三角形(2)在 RtABC 中，ABBC 2，AC2，在 RtADC中，AD1，AC2，CD 3.即 CD 的长度为 3类型二：圆周角定理与等腰三角形的综合运用【例4】(杭州中考)如图，AB是O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DEAB，交O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则DFA_分析：利用垂径定理和三角函数得出CDO的度数，进而得出DOA的度数，利用圆周角定理得出DFA的度数即可30对应训练6如图，在O 中，AB 为直径，AOC80.点 D 为弦 AC 的中点，点 E为 BC 上任意一点则CED 的大小可能是()A10 B20 C30 D40C7(宿迁中考)如图，在
6、RtABC 中，ABC90，A32，点 B，C 在O上，边 AB，AC 分别交O 于 D，E 两点，点 B 是 CD 的中点，则ABE_138如图，已知圆内接四边形ABCD的两边AB，DC的延长线相交于点E，DF过圆心O交AB于点F，AFFB，连结AC.(1)求证：ACDEAD；(2)若O的半径为5，AF2BE4，求证：ACD是等腰三角形 证明：(1)DF 过圆心 O 交 AB 于点 F，AFFB，DF 垂直平分 AB.AD BD.DCADAB.又ADCEDA，ACDEAD(2)连结 OA，在 RtAFO 中，OA5，AF4，由勾股定理，得 OFOA2AF2 3，DF8.AFBF2BE4，BE2.EFBFBE6.在 RtDFE 中，由勾股定理，得 DEDF2EF2 10.AE2AFBE10，DEAE，ADEDAE，AC BD.又 AD BD，AC AD，ACAD，ACD 是等腰三角形