1、吉林省长春市实验中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数满足，则A. B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】分析】先由复数的四则运算求出，再由复数模的运算即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故选D【点睛】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模的运算，熟记公式即可求解，属于基础题型.2.设集合，已知，且B中含有3个元素，则集合B有（ ）A. 个B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】B中其他两个元素是从中选取的由此可得【详解】由题意，且中只有3个元素
2、，集合的个数是故选：B.【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集的概念是解题关键3.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5，则恰有一人击中敌机的概率为()A. 0.9B. 0.2C. 0.7D. 0.5【答案】D【解析】【分析】根据题意结合互斥事件的概率公式、对立事件的概率公式进行求解即可【详解】设事件A、B分别表示甲、乙飞行员击中敌机，则P(A)0.4，P(B)0.5，事件恰有一人击中敌机概率为：代入求值得：.故选D【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的概率公式，考查了数学阅读理解能力，属于基础题.4.已知随机变量服从二项分布，则（）A. B. C. D.
3、【答案】A【解析】【分析】由二项分布的公式即可求得时概率值.【详解】由二项分布公式：.故选A.【点睛】本题考查二项分布的公式，由题意代入公式即可求出.5.将甲、乙、丙等六位同学排成一排,且甲、乙在丙的两侧,则不同的排法种数共有()A. 480种B. 360种C. 120种D. 240种【答案】D【解析】【分析】先对六位同学全排列，再利用甲、乙在丙的两侧有两种情况，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，列式子即可【详解】先将甲、乙、丙等六位同学排成一排，有种，甲、乙在丙的两侧，分为甲、丙、乙和乙、丙、甲，则不同的排列方法有种【点睛】倍缩法：对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进
4、行全排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数6.设随机变量x服从正态分布N（2，9），若，则m=A. B. C. D. 2【答案】B【解析】由正态分布性质可得7.若随机变量的分布列：124P0.40.30.3那么E(5+4)等于（ ）A. 15B. 11C. 2.2D. 2.3【答案】A【解析】【分析】由已知条件求出E=2.2，再由E(5+4)=5E()+4，能求出结果.【详解】由已知，得：E=10.4+20.3+40.3=2.2，E(5+4)=5E()+4=52.2+4=15.故选：A.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题.8.学校
5、选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有A. 540种B. 240种C. 180种D. 150种【答案】D【解析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解详解：由题意不同方法数有故选D点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错9.已知在二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则展开式中，有理项的项数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由二
6、项式系数最大项确定，然后利用二项式展开式的通项公式即可求得有理项.【详解】二项式的展开式中，仅有第9项的二项式系数最大，则，当时，为有理项，且，符合要求，所以有理项有3项，分别为5，11，17项.故选：C【点睛】本题考查了二项式系数和二项式展开式，属于中档题.10.在一次独立性检验中得到如下列联表：A1A2总计B12008001000B2180a180a总计380800a1180a若这两个分类变量A和B没有关系，则a的可能值是()A. 200B. 720C. 100D. 180【答案】B【解析】【分析】令的观测值为零，解方程即得解.【详解】当a720时，k0，易知此时两个分类变量没有关系故答案
7、为B【点睛】（1）本题主要考查22列联表，意在考查学生对知识的掌握水平和分析推理能力（2）如果随机变量的观测值为零，则证明两个分类变量没有关系.如果|ad-bc|=0, 则证明两个分类变量没有关系.11.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母BCD中选择，其他四个号码可以从09这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字35689中选择，其他号码只想在1369中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（ ）A. 180种B. 360种C. 720种D. 960种【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析牌照的第一个号码第二个号码以及最后三
8、个号码的选法数目，进而由分步计数原理计算可得答案.【详解】根据题意，车主第一个号码在数字35689中选择，共5种选法，第二个号码只能从字母BCD中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1369中选择，每个号码有4种选法，则共有444=64种选法，则共有5364=960种，故选：D.【点睛】本题考查排列组合的应用，需要注意汽车牌照号码中数字可以重复，故最后三位号码有444种选法，而不是A43种，属于基础题.12.某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得30分；选乙题答对得10分，答错得10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不
9、同得分情况的种数是（ ）A. 24B. 36C. 40D. 44【答案】D【解析】【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：两人得30分，余下两人得30分，一人得30分，余下三人得10分，一人得30分，余下三人得10分，一人得30分，一人得30分，一人得10分，一人得10分，两人得10分，余下两人得10分，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得30分，有C42=6种情况；（2）一人得30分，余下三人得10分，有4种情况；（3）一人得30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得30分，一人得10分
10、，一人得10分，有A43=24种情况；(5)两人得10分，余下两人得10分，有C42=6种情况.根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况.故选：D【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复遗漏，属于基础题.二填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.计算：_ .【答案】16i【解析】由题意可得：14.编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为_（用数字作答）【答案】20【解析】【分析】根据题意，首先从5个号码中，选出两个号码，使其编号与座位号一
11、致，由组合数公式可得情况数目，再分析其余的三个座位与人的编号不同的情况数目，易得第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果；由分步计数原理相乘得到结果【详解】解：由题意知本题是一个排列、组合及简单计数问题，恰有两个人的编号与座位号一致，则首先从5个号码中，选出两个号码，有C5210种结果，其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果，根据分步计数原理得到共有10220种结果，故答案为20【点睛】本题考查组合公式以及分步计数原理的运用，易错点为当两个相同的号码确定以后，其余的三个号码不同的排法共有2种结果15.设a为非零常数，已知(x2)的展
12、开式中各项系数和为2，则展开式中常数项等于_.【答案】240【解析】【分析】根据(x2)的展开式中各项系数和为2，令x=1得a=2，再利用展开式的通项公式，求出展开式中常数项.【详解】(x2)的展开式中各项系数和为2，令x=1得，a=2或a=0(舍).又的通项，62r为偶数，故62r=2即r=4.的展开式的常数项为.故答案：240.【点睛】本题考查二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；考查求展开式的各项系数和的常用方法是赋值法.16.回归分析中，相关指数的值越大，说明残差平方和越大；对于相关系数，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小；有一组样本数据得到的回归直线方程为，那么
13、直线必经过点；是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合；以上几种说法正确的序号是_【答案】.【解析】分析：根据回归直线方程与独立性检验的实际意义作出判断.详解：在回归分析中，相关指数越大，残差平方和越小，回归效果就越好，错误；在回归分析中，相关指数的绝对值越接近于1，相关程度就越大，正确回归直线必经过样本中心点，正确；是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合，正确故答案为：点睛：本题考查线性回归方程的意义和独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解线性回归方程与独立性检验的意义，属于基础题三解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明
14、证明过程或演算步骤)17. （选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为（为参数），曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线交于、两点（）写出直线的极坐标方程与曲线的普通方程；（）求线段、长度之积的值【答案】（），（）2【解析】试题分析：（）先消参数，将直线的参数方程化为普通方程：，再根据将直线的方程化为极坐标方程：，即；利用将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程：（）利用直线参数方程几何意义求线段、长度之积的值：将代入得，试题解析：（）直线的极坐标方程为，曲线的普通方程为；（）将代入得，考点：直线参数方程几何意义18.一台机器使用的时间较长，但还可以
15、使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)24568每小时生产有缺点的零件数y(件)3040605070（1）画散点图；（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？(参考数值：)【答案】（1）散点图见解析.（2）.（3）机器运转速度应控制11转/秒内.【解析】【分析】（1）根据表格数据，可得散点图；（2）先求出横标和纵标的平均数，代入求系数b的公式，利用最小二乘法得到系数，再根据公式求
16、出a的值，写出线性回归方程，得到结果.（3）允许每小时的产品中有缺点的零件最多为89个，即线性回归方程的预报值不大于89，写出不等式，解关于x的一次不等式，得到要求的机器允许的转数.【详解】（1）散点图如图；（2），回归直线方程为：；（3）由y89得6.5x+17.589，解得x11，机器的运转速度应控制11转/秒内.【点睛】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目，属于基础题.19.某车间在两天内，每天生产10件某产品，其中第一天第二天分别生产了1件2件次品，而质检部每天要在生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的
17、产品不能通过.（1）求两天全部通过检查的概率；（2）若厂内对该车间生产的产品质量采用奖惩制度，两天全不通过检查罚300元，通过1天，2天分别奖300元900元.那么该车间在这两天内得到奖金的数学期望是多少元？【答案】（1）.（2）(元)【解析】【分析】（1）由题意分别可得第一二天通过检查的概率，由独立事件的概率公式可得；（2）记所得奖金为元，则的取值为300，300，900，分别求其概率可得数学期望.【详解】（1）随意抽取4件产品进行检查是随机事件，而第一天有9件正品，第二天有8件正品，第一天通过检查的概率为.第二天通过检查的概率为.因为第一天第二天检查是否通过是相互独立的，所以两天全部通过检
18、查的概率为.（2）记所得奖金为元，则的取值为300，300，900 ，由题意可得；.故(元).【点睛】本题考查离散型随机变量的期望的求解，涉及相互独立事件的概率公式，属中档题.20.曲线的参数方程为 ( 为参数)，将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线.以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.(1)求曲线和直线的普通方程.(2)为曲线上任意一点,求点到直线的距离的最值.【答案】(1) ，.(2) 点到直线的距离的最大值为,最小值为.【解析】【分析】（1）先根据变换得到，再利用把直线的极坐标方程改成直角方程.（2）利
19、用的参数方程为设出动点，再利用点到直线的距离公式得到距离的表达式后可得其最大值和最小值.【详解】(1)由题意可得的参数方程为 ( 为参数)，即.直线化为直角坐标方程为.(2)设点，由点到直线的距离公式得点到直线的距离为因为，故而.【点睛】一般地，当点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用含参数的代数式表示动点的横纵坐标.比如，动点在椭圆，可设动点为，又如动点在双曲线，可设动点为.21.某校高二（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，如图所示：试根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班的学生人数及分数在之间的频数；（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从
20、位于，和分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中，成绩位于分数段的人数的分布列和数学期望.【答案】（1），20；（2）.【解析】解：(1)由茎叶图可知，分数在50,60)上的频数为4，频率为0.008100.08，故全班的学生人数为50.分数在70,80)之间的频数等于50(41484)20.(2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比又70,80)，80,90)和90,100分数段人数之比等于521，由此可得抽出的样本中分数在70,80)之间的有5人，分数在80,90)之间的有2人，分数在90,100之间的有1人从中任取3人，共有C8356种不同的
21、结果被抽中的成绩位于70,80)分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是：P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).X的分布列为X0123PX的数学期望为E(X)0123.22. 为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩，得到如下所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分（含80分）（）（i）请根据图示，将22列联表补充完整；优分非优分总计男生女生总计50（ii）据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有关”？（）将频率视作概率，从高三年级
22、该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生的成绩为优分的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（I）（i）列联表见解析；（ii）在犯错误概率不超过%的前提下认为该学科成绩与性别有关；（II）【解析】试题分析：（I）列出列联表，根据公式计算卡方的值，比较可得到结论；（II）根据题意，得到随机变量服从二项分布，即可求解其概率试题解析：（）根据图示，将22列联表补充完整如下：优分非优分总计男生92130女生11920总计203050假设：该学科成绩与性别无关，的观测值，因为，所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关（）由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率视作概率设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为，则服从二项分布，所求概率考点：频率分布直方图、茎叶图、次独立重复试验、独立性检验