1、空间几何体的表面积与体积授课提示：对应学生用书第341页A组基础保分练1圆柱的底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么圆柱的侧面积是（）A4SB2SCS DS解析：由r2S得圆柱的底面半径是，故侧面展开图的边长为22，所以圆柱的侧面积是4S答案：A2已知圆锥的高为3，底面半径长为4，若一球的表面积与此圆锥的侧面积相等，则该球的半径长为（）A5 BC9 D3解析：因为圆锥的底面半径R4，高h3，所以圆锥的母线l5，所以圆锥的侧面积SRl20设球的半径为r，则4r220，所以r答案：B3用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面圆面积为，则球的表面积为（）A8 B4C8 D4解析：设截面圆半径为r，
2、则r2r1，所以球的半径R，所以球的表面积为4R28答案：C4（2020高考全国卷）已知A，B，C为球O的球面上的三个点，O1为ABC的外接圆，若O1的面积为4，ABBCACOO1，则球O的表面积为（）A64 B48C36 D32解析：如图，设圆O1的半径为r，球的半径为R，正三角形ABC的边长为a由r24得r2，则a2，a2，OO1a2在RtOO1A中，由勾股定理得R2r2OO22（2）216，所以S球4R241664答案：A5（2021贵阳摸底）某几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A BC D解析：根据三视图可知，该几何体为三棱锥ABCD，放在正方体中如图所示，则该几何体的体积VSB
3、CD22答案：A6已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，且该圆柱的内切球O1的表面积为S1，该圆柱的上、下底面的圆周都在球O2上，球O2的表面积为S2，则S1S2（）A1 B12C1 D21解析：设球O1和球O2的半径分别为r，R，因为该圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以r1，R，所以答案：B7一个球的表面积是16，那么这个球的体积为_解析：设球的半径为R，则由4R216，解得R2，所以这个球的体积为R3答案：8一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其主视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是_解析：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，如图，由题意知底面正方形的边长为2
4、，正四棱锥的高为2，取正方形的中心O，AD的中点E，连接PO，OE，PE，可知PO为正四棱锥的高，PEO为直角三角形，则正四棱锥的斜高PE所以该四棱锥的侧面积S424答案：49如图是一个几何体的主视图和俯视图（1）试判断该几何体是什么几何体；（2）画出其左视图，并求该平面图形的面积；（3）求出该几何体的体积解析：（1）正六棱锥（2）其左视图如图：其中ABAC，ADBC，且BC的长是俯视图中的正六边形对边的距离，即BCa，AD的长是正六棱锥的高，即ADa，该平面图形的面积Saaa2（3）V6a2aa310如图，在直三棱柱ABCABC中，ABC为等边三角形，AA平面ABC，AB3，AA4，M为AA
5、的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC到M的最短路线长为，设这条最短路线与CC的交点为N，求：（1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长；（2）PC与NC的长；（3）三棱锥CMNP的体积解析：（1）该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为4和9的矩形，故对角线长为（2）将该三棱柱的侧面沿棱BB展开，如图所示设PCx，则MP2MA2（ACx）2MP，MA2，AC3，x2，即PC2又NCAM，故，即，NC（3）SPCNCPCN2在三棱锥MPCN中，M到平面PCN的距离，即h3VCMNPVMPCNhSPCNB组能力提升练1已知四面体ABCD中，平面ABD平面BCD，ABD是边长为2的等边三角形，BD
6、DC，BDCD，则四面体ABCD的体积为（）A BC D2解析：平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDCD，CD平面BCD，CD平面ABD，CD是三棱锥CABD的高，VCABD22sin 602答案：A2某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A BC D解析：由三视图知该几何体底面扇形的圆心角为120，即该几何体是某圆锥的三分之一部分，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，所以该几何体的体积V224答案：D3过圆锥的轴作截面，如果截面三角形为正三角形，则称圆锥为等边圆锥已知一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，O为底面圆的圆心，若COD9
7、0，且SPCD，那么这个等边圆锥的体积为（）A BC2 D解析：如图，连接PO，设圆锥的母线长为2a，则圆锥的底面半径为a，圆锥的高POa由已知得CDa，PCPD2a，则SPCDaa，得a1，故圆锥的体积为121答案：B4如图是一个实心金属几何体的直观图，它的中间是高l为的圆柱，上、下两端均是半径r为2的半球，若将该实心金属几何体在熔炉中高温熔化（不考虑过程中的原料损失），熔成一个实心球，则该球的直径为（）A3 B4C5 D6解析：设实心球的半径为R，实心金属几何体的体积Vr3r2l84因为R3，所以R，所以该球的直径为2R5答案：C5已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面
8、为上底面作圆柱PO，圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的体积的比值为_解析：设圆锥SO的底面半径为r，高为h，则圆柱PO的底面半径是，高为，所以V圆锥SOr2h，V圆柱PO，所以答案：6已知半球O的半径r2，正三棱柱ABCA1B1C1内接于半球O，其中底面ABC在半球O的大圆面内，点A1，B1，C1在半球O的球面上若正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积为6，则其侧棱的长是_解析：依题意O是正三角形ABC的中心，设ABa，分析计算易得0a2，AOa，在RtAOA1中，AOr2，则AA1，所以正三棱柱ABCA1B1C1的侧面积S3aAA13a36，整理得a412a236
9、0，解得a26，即a，此时侧棱AA1答案：C组创新应用练1（2021济宁模拟）张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱锥ABCD的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，BCCD，且ABCD，BC2，利用张衡的结论可得球O的表面积为（）A30 B10C33 D12解析：因为BCCD，所以BD，又AB底面BCD，所以球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为利用张衡的结论可得，则，所以球O的表面积为41010答案：B2已知四面体ABCD内接于半径为R的球O内，BCAB3，BAC，若球心O到平面ABC的距离为，则四面体ABCD体积的最大值为（
10、）A2 BC D解析：设ABC外接圆的圆心为O，半径为r，则2r，得r3连接OO，BO，OB，则R232，得R2易知当点D到平面ABC的距离为R时，四面体ABCD的体积最大在ABC中，BCAB3，BAC，由余弦定理可得cos ，得AC3，SABC33，四面体ABCD体积的最大值为3答案：D3一件珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体已知文物近似于塔形（如图），高18米，体积05立方米，其底部是直径为09米的圆形，要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔03米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔02米，气体每立方米1 000元，则气体费用最少为（）A4 500元 B4 000元C2 880元 D2 380元解析：由题意可知，文物底部是直径为09米的圆形，文物底部与玻璃罩底边至少间隔03米，所以由正方形与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0920315（米）文物高18米，文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔02米，所以正四棱柱的高为18022（米）则正四棱柱的体积为V152245（立方米）因为文物体积为05立方米，所以罩内空气的体积为45054（立方米），气体每立方米1 000元，所以共需费用至少为41 0004 000（元）答案：B
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