1、10.3 随机事件的概率第一章集合与常用逻辑用语第十章计数原理、概率、随机变量及其分布 1随机事件和确定事件(1)在条件 S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件 S 的_(2)在条件 S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件 S 的_必然事件与不可能事件统称为相对于一定条件 S 的确定事件(3)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件 S的_(4)_和_统称为事件，一般用大写字母 A，B，C，表示2频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的_，称事件 A 出现的比例 fn(
2、A)_为事件 A出现的频率(2)对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A 发生的_fn(A)稳定在某个常数上，把这个_记作 P(A)，称为事件 A 的_(3)在一次试验中几乎不可能发生的事件称为_3事件的关系与运算(类比集合的关系与运算)定义符号表示包含关系如果事件 A 发生，则事件 B 一定发生，这时称事件 B_事件 A(或称事件 A包含于事件 B)_(或 AB)相等关系若 BA 且 AB_ 并事件(和事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生_事件 B 发生，称此事件为事件 A与事件 B 的并事件AB(或 AB)交事件(积事件)若某事件发生当且仅当事件 A 发生_事件 B 发
3、生，则称此事件为事件 A与事件 B 的交事件AB(或 AB)互斥事件若_为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥AB_对立事件若_为不可能事件，_为必然事件，那么称事件 A 与事件 B互为对立事件AB_P(AB)P(A)P(B)_拓展：“互斥事件”与“对立事件”的区别及联系：两个事件 A 与 B 是互斥事件，有如下三种情况：若事件 A 发生，则事件 B 就不发生；若事件 B发生，则事件 A 就不发生；事件 A，B 都不发生两个事件 A 与 B 是对立事件，仅有前两种情况因此，互斥未必对立，但对立一定互斥4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率 P(E)_.(3)不可
4、能事件的概率 P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_.推广：如果事件 A1，A2，An 两两互斥(彼此互斥)，那么事件 A1A2An 发生的概率，等于这 n 个事件分别发生的概率的和，即 P(A1A2An)_.若事件 B 与事件 A 互为对立事件，则 P(A)_.自查自纠1(1)必然事件(2)不可能事件(3)随机事件(4)确定事件 随机事件2(1)频数 nAn (2)频率 常数 概率(3)小概率事件3包含 BA AB 或 且 AB ABAB 14(1)0P(A)1(2)1(3)0(4)P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)1P(B)1.
5、从一批产品(其中正品、次品都多于 2 件)中任取 2 件，观察正品件数和次品件数，下列事件是互斥事件的是()恰好有 1 件次品和恰好有两件次品；至少有 1 件次品和全是次品；至少有 1 件正品和至少有 1 件次品；至少有 1 件次品和全是正品.A.B.C.D.解：根据互斥事件概念可知满足题意故选 D.2.设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)P(B)1，充分性成立设
6、掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”，则 P(A)78，P(B)18，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件，必要性不成立故甲是乙的充分不必要条件故选 A.3.口袋里装有 1 红，2 白，3 黄共 6 个形状相同的小球，从中取出 2 球，事件 A“取出的 2 球同色”，B“取出的 2 球中至少有1 个黄球”，C“取出的 2 球至少有 1 个白球”，D“取出的 2球不同色”，E“取出的 2 球中至多有 1 个白球”.下列判断中所有正确的序号是()A 与 D 为对立事件；B 与 C 是互斥事件；C 与 E 是对立事件；P(CE)1；P(B)P
7、(C).A.B.C.D.解：显然 A 与 D 是对立事件，正确；当取出的 2 个球中一黄一白时，B 与 C 都发生，不正确；当取出的 2 个球中恰有一个白球时，事件 C 与 E 都发生，不正确；CE 为必然事件，P(CE)1，正确；由于 P(B)1C23C2645，P(C)1C24C2635，P(B)P(C)，不正确故选 B.4.(2018全国卷改编)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为.解：设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付，事件 C 为既用现金支付也用非现金支付，则 P(A)P(B)P(C)1
8、，因为 P(A)0.45，P(C)0.15，所以 P(B)0.4.故填 0.4.5.(广东省广雅中学、执信、六中、深外四校 2020 届高三 8月开学联考)某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为221，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为.解：由题可得抽取的 10 人中，高一有 4 人，高二有 4 人，高三有 2 人，所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数为C21045，所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为 C14C16C2430，所以所求概率为304523.故填23.类型一 随机
9、事件的概念例 1 同时掷两颗骰子一次，(1)“点数之和是 13”是什么事件？其概率是多少？(2)“点数之和在 213 之间”是什么事件？其概率是多少？(3)“点数之和是 7”是什么事件？其概率是多少？解：(1)由于点数最大是 6，和最大是 12，不可能得 13，故此事件是不可能事件，其概率为 0.(2)由于点数之和最小是 2，最大是 12，在 213 之间，它是必然事件，其概率为 1.(3)由(2)知，和是 7 是有可能的，此事件是随机事件事件“点数之和是 7”包含的基本事件有1，6，2，5，3，4，4，3，5，2，6，1共 6 个，因此该事件的概率 P 66616.评析 明确必然事件、不可能
10、事件、随机事件的意义及相互联系.判断一个事件是哪类事件要看两点：一是看条件，二是看结果发生与否，在条件 S 下事件发生与否是对应于条件 S 而言的.变式 1 某市地铁全线共有四个车站，甲、乙两人同时在地铁第 1 号车站(首车站)乘车.假设每人自第 2 号车站开始，在每个车站下车是等可能的.约定用有序数对(x，y)表示“甲在 x 号车站下车，乙在 y 号车站下车”.(1)用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举出来；(2)求甲、乙两人同在第 3 号车站下车的概率；(3)求甲、乙两人同在第 4 号车站下车的概率.解：(1)用有序数对(x，y)表示甲在 x 号车站下车，乙在 y 号车站下车，则
11、甲下车的站号记为 2，3，4 共 3 种结果，乙下车的站号也是 2，3，4 共 3 种结果甲、乙两人下车的所有可能结果有 9 种，分别为(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(3，3)，(3，4)(4，2)，(4，3)，(4，4)(2)设“甲、乙两人同时在第 3 号车站下车”为事件 A，则 P(A)19.(3)设“甲、乙两人同在 4 号车站下车”为事件 B，则 P(B)19.类型二 对立与互斥的概念例 2(1)从 1，2，3，7 这 7 个数中任取两个数，其中：恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；至少有一个是奇数和两个都是奇数；至少有一个是奇数和两个都是偶数；至少有一个是奇数和至少有一个
12、是偶数.上述事件中，是对立事件的是()A.B.C.D.解：从 1，2，3，7 这 7 个数中任取两个数有 3 种情况：一奇一偶，2 个奇数，2 个偶数其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或 2 个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件又中的事件可以同时发生，不是对立事件故选 C.(2)在 5 张电话卡中，有 3 张 Y 类卡和 2 张 L 类卡，从中任取 2 张，若事件“2 张全是 Y 类卡”的概率是 310，那么概率为 710的事件是()A.至多有 1 张 Y 类卡B.恰有 1 张 Y 类卡C.都不是 Y 类卡D.至少有 1 张 Y 类卡解：至多有 1 张 Y 类卡包含“1 张 Y 类卡
13、，1 张 L 类卡”、“2 张全是 L 类卡”两个事件，它是“2 张全是 Y 类卡”的对立事件，因此“至多有 1 张 Y 类卡”的概率为 710.故选 A.评析 判断两个事件是否为互斥事件，就是考查它们能否同时发生，如果不能同时发生，则是互斥事件，否则，就不是互斥事件.判断对立与互斥除了用定义外，也可以利用集合的观点来判断.注意：事件的包含、相等、互斥、对立等，其发生的前提条件应是一样的；对立是针对两个事件来说的，而互斥可以是多个事件的关系.变式 2(1)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 为“向上的一面出现奇数点”，事件
14、B 为“向上的一面出现的点数不超过3”，事件 C 为“向上的一面出现的点数不小于 4”，则()A.A 与 B 是互斥而非对立事件B.A 与 B 是对立事件C.B 与 C 是互斥而非对立事件D.B 与 C 是对立事件解：AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC(为必然事件)，故事件 B，C 是对立事件故选 D.(2)从正五边形的五个顶点中，随机选择三个顶点连成三角形，对于事件 A：“这个三角形是等腰三角形”，下列推断正确的是()A.事件 A 发生的概率等于15B.事件 A 发生的概率等于25C.事件 A 是不可能事件D.事件 A 是必然事件解：根据正五边形的性质，可知任
15、取三个顶点连成的三角形一定是等腰三角形，所以事件 A 是必然事件故选 D.类型三 互斥与对立的运用(初步)例 3(1)(2019河南新乡二模)已知随机事件 A，B 发生的概率满足条件 P(AB)34，某人猜测事件AB发生，则此人猜测正确的概率为()A.1B.12C.14D.0解：因为事件AB与事件 AB 是对立事件，所以事件AB发生的概率为 P(AB)1P(AB)13414，则此人猜测正确的概率为14.故选 C.(2)某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数012345 人及以上 概率0.10.160.30.20.20.04求：()派出医生至多是 2 人的概率；()派出医
16、生至少是 2 人的概率.解：记事件 A：“不派出医生”，事件 B：“派出 1 名医生”，事件 C：“派出 2 名医生”，事件 D：“派出 3 名医生”，事件 E：“派出 4 名医生”，事件 F：“派出不少于 5 名医生”.因为事件 A，B，C，D，E，F 彼此互斥，且 P(A)0.1，P(B)0.16，P(C)0.3，P(D)0.2，P(E)0.2，P(F)0.04.()“派出医生至多 2 人”的概率为 P(ABC)P(A)P(B)P(C)0.10.160.30.56.()方法一：“派出医生至少 2 人”的概率为 P(CDEF)P(C)P(D)P(E)P(F)0.30.20.20.040.74
17、.方法二：“派出医生至少 2 人”与“派出医生至多 1 人”是对立事件，“派出医生至多 1 人”的概率 PP(A)P(B)0.10.160.26，所以“派出医生至少 2 人”的概率 P1P10.260.74.评析 解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算.求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P(A)求解，即用正难则反的数学思想，特别是“至多”“至少”型问题，用间接法往往显得较简便.变式 3
18、(1)掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于 5 的点数”，若B表示 B 的对立事件，则一次试验中，事件 AB发生的概率为()A.13B.12C.23D.56解：掷一个骰子的试验有 6 种可能结果依题意 P(A)2613，P(B)4623，所以 P(B)1P(B)12313.因为B表示“出现 5 点或 6 点”的事件，因此事件 A 与 B 互斥，从而 P(AB)P(A)P(B)131323.故选 C.(2)某商场有奖销售活动中，购满 100 元商品得 1 张奖券，多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 1 个，一等奖10 个，二等奖
19、50 个.设 1 张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A，B，C，求：()P(A)，P(B)，P(C)；()1 张奖券的中奖概率；()1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.解：()P(A)11 000，P(B)101 000 1100，P(C)501 000 120.()1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件为 M，则 MABC.因为 A，B，C 两两互斥，所以 P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C)11 000 1100 120611 000.故 1 张奖券的中奖概率为 611 000.()设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N，则事
20、件 N与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以 P(N)1P(AB)1(11 000 1100)9891 000.故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 9891 000.1.概率与频率的关系(1)频率是一个随机数，在试验前是不能确定的.(2)概率是一个确定数，是客观存在的，与试验次数无关.(3)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，因而概率是频率的稳定值.2.互斥事件、对立事件的判定方法(1)利用基本概念互斥事件是两个不可能同时发生的事件；对立事件首先是互斥事件，且必有一个发生.(2)利用集合的观点来判断设事件 A 与 B 所含的结果组成的集合分别是 A，B，事件 A 与 B 互斥，即集合 AB；事件 A 与 B 对立，即集合 AB，且 ABI(全集)，也即 AIB 或 BIA；对互斥事件 A 与 B 的和 AB，可理解为集合 AB.3.求复杂互斥事件概率的方法一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式 P(A)1P(A)，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.
