1、课时分层作业(十七)函数的极值与导数(建议用时：40分钟)一、选择题1设函数f (x)的定义域为R，x0(x00)是f (x)的极大值点，以下结论一定正确的是()Ax0是f (x)的极小值点B对任意xR，f (x)f (x0)Cx0是f (x)的极小值点Dx0是f (x)的极大值点A对于A，函数f (x)与函数f (x)的图象关于原点对称，因此x0是f (x)的极小值点；对于B，极值是一个局部性概念，因此不能确定在整个定义域上f (x0)是否最大；对于C，函数f (x)与函数f (x)的图象关于y轴对称，因此x0是f (x)的极大值点；对于D，函数f (x)与函数f (x)的图象关于x轴对称，
2、因此x0是f (x)的极小值点，故D错误2已知函数f (x)的导函数f (x)a(x1)(xa)，若f (x)在xa处取到极大值，则a的取值范围是()A(，1)B(0，)C(0，1)D(1，0)Df (x)a(x1)(xa)，若a1，f (x)在(，a)上单调递减，在(a，1)上单调递增，f (x)在xa处取得极小值，与题意不符；若1a0，则f (x)在(1，a)上单调递减，在(a，)上单调递增，与题意不符，故选D.3函数f (x)的导函数f (x)的图象如图所示则()A为f (x)的极大值点B2为f (x)的极大值点C2为f (x)的极大值点D为f (x)的极小值点A对于A选项，当2x时，f
3、 (x)0，当x2时，f (x)0，为f (x)的极大值点，A选项正确；对于B选项，当x2时，f (x)0，当2x时，f (x)0，2为f (x)的极小值点，B选项错误；对于C选项，当x2时，f (x)0，当x2时，f (x)0，2为f (x)的极小值点，C选项错误；对于D选项，由于函数yf (x)为可导函数，且f 0，不是f (x)的极值点，D选项错误故选A.4当x1时，三次函数有极大值4，当x3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是()Ayx36x29xByx36x29xCyx36x29xDyx36x29xB三次函数过原点，故可设为yx3bx2cx，y3x22bxc.又x1，3是y0的两个
4、根，即yx36x29x，又y3x212x93(x1)(x3)，当x1时，f (x)极大值4 ，当x3时，f (x)极小值0，满足条件，故选B.5已知a为常数，函数f (x)xln xax2x有两个极值点，则实数a的取值范围为()AB(0，e)CDAf (x)ln x22ax，函数f (x)有两个极值点，则f (x)有两个零点，即函数yln x与函数y2ax2的图象有两个交点，当两函数图象相切时，设切点为(x0，y0)，对函数yln x求导(ln x)，则有解得要使函数图象有两个交点，则02ae，即0a.故选A.二、填空题6已知函数f (x)x3x2cxd无极值，则实数c的取值范围为_f (x)
5、x2xc，要使f (x)无极值，则方程f (x)x2xc0没有变号的实数解，从而14c0，c.7(一题两空)若可导函数f (x)在(，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，则f (1)_，1是函数f (x)的_值0极大由题意可知，当x1时，f (x)0，当x1时，f (x)0，f (1)0，1是函数f (x)的极大值8已知函数f (x)x33ax23bxc在x2处有极值，其图象在x1处的切线平行于直线6x2y50，则f (x)极大值与极小值之差为_4求导得f (x)3x26ax3b，因为函数f (x)在x2取得极值，所以f (2)3226a23b0，即4ab40.又因为图象在x1处的切线与直线
6、6x2y50平行，所以f (1)36a3b3，即2ab20，联立可得a1，b0，所以f (x)3x26x3x(x2)当f (x)0时，x0或x2；当f (x)0时，0x2，函数的单调增区间是(，0)和(2，)，函数的单调减区间是(0，2)，因此求出函数的极大值为f (0)0c，极小值为f (2)4c，故函数的极大值与极小值的差为0(4)4，故答案为4.三、解答题9已知函数f (x)x3ax2bx1，曲线yf (x)在x1处的切线方程为y8x1.(1)求函数f (x)的解析式；(2)求yf (x)在区间(1，4)上的极值解(1)因为f (x)x3ax2bx1，所以f (x)3x22axb.所以曲
7、线yf (x)在x1处的切线方程的斜率kf (x)|x1f (1)32ab.又因为k8，所以2ab11.又因为f (1)1ab1811，所以ab7，联立解得a4，b3.所以f (x)x34x23x1.(2)由(1)知，f (x)3x28x33(x3)，令f (x)0得，x1，x23.当1x，f (x)0，f (x)单调递增；当x3，f (x)0，f (x)单调递减；当3x4，f (x)0，f (x)单调递增所以f (x)在区间(1，4)上的极小值为f (3)19，极大值为f .10已知f (x)ax3bx2cx(a0)在x1处取得极值，且f (1)1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断
8、x1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由解f (x)3ax2 2bxc，(1)法一：x1是函数的极值点，x1是方程3ax22bxc0的两根由根与系数的关系知又f (1)1，abc1，由解得a，b0，c.法二：由f (1)f (1)0，得3a2bc0，3a2bc0，又f (1)1，abc1，由解得a，b0，c.(2)f (x)x3x，f (x)x2(x1)(x1)当x1或x1时f (x)0，当1x1时，f (x)0.函数f (x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1，1)上是减函数当x1时，函数取得极大值，x1为极大值点；当x1时，函数取得极小值，x1为极小值点11(多选题)定义在R上的可
9、导函数yf (x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A3是f (x)的一个极小值点B2和1都是f (x)的极大值点Cf (x)的单调递增区间是(3，)Df (x)的单调递减区间是(，3)ACD当x3时，f (x)0，x(3，)时f (x)0，3是极小值点，无极大值点，增区间是(3，)，减区间是(，3)故选ACD.12(多选题)若函数f (x)x32x2a2x1有两个极值点，则a的值可以为()A0 B1C2D3ABf (x)x32x2a2x1，f (x)3x24xa2.函数f (x)x32x2a2x1有两个极值点则f (x)3x24xa2与x轴有两个交点，即4243a20解得a，故满足
10、条件的有AB.故选AB.13(一题两空)已知函数f (x)(x2mxm)ex2m(mR，e是自然对数的底数)在x0处取得极小值，则m_，这时f (x)的极大值是_04e2由题意知f (x)x2(2m)x2mex.由f (0)2m0，解得m0.则f (x)x2ex，f (x)(x22x)ex，令f (x)0，解得x0或x2，故函数f (x)的单调递增区间是(，2)，(0，)，单调递减区间是(2，0)，所以函数f (x)在x2处取得极大值，且有f (2)4e2.14(一题两空)已知函数f (x)xe2x1，则函数f (x)的极小值为_，零点有_个11f (x)xe2x1，f (x)e2x2xe2x
11、(12x)e2x，令f (x)0，可得x，如下表所示：xf (x)0f (x)极小值所以，函数yf (x)的极小值为f 1，f (x)0e2x，则函数yf (x)的零点个数等于函数ye2x与函数y的图象的交点个数，如图所示：两个函数的图象有且只有一个交点，即函数yf (x)只有一个零点15已知函数f (x)(kR)(1)k为何值时，函数f (x)无极值？(2)试确定k的值，使f (x)的极小值为0.解(1)f (x)，f (x).要使f (x)无极值，只需f (x)0或f (x)0恒成立即可设g(x)2x2(k4)x2k，ex0，f (x)与g(x)同号g(x)的二次项系数为2，只能满足g(x)0恒成立，(k4)216k(k4)20，解得k4，当k4时，f (x)无极值(2)由(1)知k4，令f (x)0，得x12，x2.当2，即k4时，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x2(2，)f (x)00f (x)极小值极大值由题意知f 0，可得22kk0，k0，满足k4.当2，即k4时，当x变化时，f (x)，f (x)的变化情况如下表：x2f (x)00f (x)极小值极大值由题意知f (2)0，可得2222kk0，k8，满足k4.综上，当k0或k8时，f (x)有极小值0.