1、基本初等函数一、指数与指数函数(一)指数式的化简与求值1、化简原则：化根式为分数指数幂；化负指数幂为正指数幂；化小数为分数；注意运算的先后顺序。提醒：有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算。2、结果要求：题目以根式形式给出，则结果用根式表示；题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂形式表示；结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂。例1-1已知，则化简的结果是( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故选D。变式1-1化简的结果是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，则，故选B。变式1-2已知，求下列各式的值：(1)；(2
2、)；(3)。【解析】(1)， 又由得，； (2)；(3)。(二)指数函数的图像和性质1、定义：一般地，函数(且)叫做指数函数，其中是自变量。2、图象和性质：图象共性必过第一、二象限及轴正半轴 必过点，渐近线为轴图形都是下凹的，都是无界函数 定义域为，值域为异性在上是增函数在上是减函数(1)单调性是指数函数的重要性质，特别是函数图像的无限伸展性，轴是函数图像的渐近线。当时，； 的值越小，图像越靠近轴，递减的速度越快。当时，； 的值越大，图像越靠近轴，递增的速度越快。(2)画指数函数(且)的图像，应抓住三个关键点：、。注意：与指数函数有关的函数的图象问题的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移
3、、对称变换得到其图象。一些指数方程、不等式问题的求解，往往结合相应的指数型函数图象利用数形结合求解。(3)熟记指数函数、在同一坐标系中图像的相对位置，由此掌握指数函数图像的位置与底数大小的关系。(4)在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解。(5)比较指数幂值的大小时，要注意区分底数相同还是指数相等。是用指数函数的单调性，还是用幂函数的单调性。要注意指数函数图象和幂函数的图象的应用，指数函数的图象在第一象限内“底大图高(逆时针方向底数依次变大)”。还应注意中间量、等的运用。注意：(1)指数函数的定义域为所有实数的
4、集合，值域为大于的实数集合，这里的前提是大于，对于不大于的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。(2)可以看到一个显然的规律，就是当从趋向于无穷大的过程中(当然不能等于)，函数的曲线从分别接近于轴与轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于轴的正半轴与轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线是从递减到递增的一个过渡位置。例1-2函数(且)的图象可能是( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】必过定点，由可知选C。例1-3函数(且)必过 点。【答案】【解析】，则必过点。变式1-3函数(且)必过 点。【答案】【解析】，则必过点。变式1-4函数(且)必过 点。
5、【答案】【解析】，则必过点。例1-4函数的单调递增区间是( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】令，得函数的定义域为，在上递增，在上递减，又为减，根据同增异减的单调增区间为，故选D。例1-5求下列函数的定义域、值域：(1)；(2)；(3)；(4)(且)。【解析】(1)，则，原函数的定义域是，令，则，(，)得且，原函数的值域是；(2)，则，原函数的定义域是；令()，则，在是增函数，原函数的值域是；(3)原函数定义域是，令，则，在是为为增，原函数值域是；(4)原函数定义域是，由(且)得，解得，原函数值域是。(三)指数函数的综合应用例1-6设，则、的大小关系为( )。A、 B、 C、 D、【
6、答案】B【解析】，在上是单调递增函数，故选B。例1-7已知，那么、的大小关系是( )。A、 B、 C、 D、无法确定【答案】B【解析】，故选B。例1-8设函数(且)，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，故选A。例1-9当时，证明函数是奇函数。【解析】由得，故函数定义域关于原点对称，又，函数是奇函数。二、对数与对数函数(一)对数及其运算1、一般地，对于指数式，我们把“以为底的对数”记作(且)。其中叫做对数的底数，叫做真数。对数函数的一般形式为(且)，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于的规定，同样适用于对数函数。注意：(且)的关系是解决有关指数、对数问题的有效方法，在
7、运算中要注意灵活运用。下图给出对于不同大小所表示的指数函数和对数函数的图形：图像指数函数：与对数函数：与可以看到对数函数的图形只不过是指数函数的图形关于直线的对称图形，因为它们互为反函数。2、对数的运算规律： (且，)(1)，；(2)，；(3)，；(4)；推广。注意：在运用时，在无的条件下应为(且为偶数)。3、几种常见对数对数形式特点记法一般对数底数为(且)常用对数底数为自然对数底数为4、对数式的化简与求值对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此，经常会用到换底公式及其推论；在对含有字母的对数式化简时，必须保证恒等变形。利用对数运算法则，在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化。例
8、2-1求值：(1)；(2)；(3)。【解析】(1)原式；(2)原式；(3)法一：原式；法二：原式。例2-2求值：(1)若，求的值；(2)若，求的值。【解析】(1)由已知，则；(2)由已知，则。变式2-1关于的方程的解为 。【答案】【解析】原式化简为，即，解得(负值舍去)，。变式2-2已知函数，若，则 。【答案】【解析】由得，则。(二)对数函数的图像及其性质1、对数函数的图像图像共性必过第一、四象限及轴正半轴 必过点，渐近线为轴都是无界函数 定义域为，值域为异性在上是增函数，图形都是上凸的在上是减函数，图形都是下凹的2、对数函数比较大小对数函数值大小的比较一般有三种方法：单调性法，在同底的情况下
9、直接得到大小关系，若不同底，先化为同底。中间值过渡法，即寻找中间数联系要比较的两个数，一般是用“”、“”或其他特殊值进行“比较传递”。图像法，根据图像观察得出大小关系。作差或作商法。3、对数函数与指数函数的关系指数函数互为反函数对数函数(且)，(且)若指数函数转化成对数函数，但这么写不符合函数形式，就把命名为 指数函数的图像与对数函数的图像关于直线轴对称，即互为反函数的图像关于直线轴对称例2-3设，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】法一：， ，而，综上，故选C。法二：，故选C。变式2-3设，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故选D。4、对数函数的图像与性质及应
10、用研究对数型函数的图像时，一般从最基本的对数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到对数型函数的图像。例2-4作出下列函数的图像：，；。【解析】 例2-5已知函数(且)，若当时，则在定义域上是()。A、减函数 B、增函数 C、常数函数 D、不单调的函数【答案】B【解析】，即时，在上是增函数，故选B。例2-6求下列函数的定义域、值域及单调区间：(1)；(2)；(3)；(4)。【解析】(1)由得，定义域为，值域是，又，单调递增区间是，无单调递减区间；(2)由得，定义域为，值域是，又，单调递增区间是，单调递减区间是；(3)且，定义域为，值域是，根据复合函数单调性性质可知无单调递增区间，单调递减区
11、间是；(4)，定义域为，值域是，根据复合函数单调性性质可知无单调递减区间，单调递增区间是。变式2-4求函数的定义域。【解析】由得，由且得且，定义域为。变式2-5已知，(且)，若，则与在同一坐标系内的图像可能是()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】，故选C。变式2-6已知(且)，求的定义域并判断的单调性。【解析】由得，当时，当时，当时的定义域为，当时的定义域为，当时在上任取、，设，则，当时在上为单调递增函数。同理，当时，在上为单调递增函数。三、幂函数(一)幂函数的定义：一般地，形如()的函数称为幂函数，其中为常数。1、判断幂函数需：系数为，底数为变量，指数为一常数，后面不加任何项。例如：
12、，均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：是幂函数，是指数函数。2、由于幂函数的解析式中只含有一个参数，因此只需一个独立的条件即可确定其解析式，当已知幂函数经过某一点时，可采用待定系数法求出解析式。例3-1已知点在幂函数的图像上，求的解析式。【解析】设，则，解得，。变式3-1已知函数是幂函数，求的解析式。【解析】，可求或，或。例3-2已知幂函数在上是增函数，则()。A、 B、 C、或 D、【答案】A【解析】，解得或，当时在上是减函数，当时在上是增函数，故选A。变式3-2已知函数，当为何值时，：是幂函数；是幂函数，且在上的减函数；是正比例函数；是反比例函数；是二次函数。【解析】幂函数：则，
13、解得或，或；幂函数：或；又在上为减函数，则，；正比例函数：，解得，；反比例函数：，解得，；二次函数：，解得，。(二)幂函数的图像和性质1、图像分类：直线型：或；抛物线型：或；双曲线型：。2、幂函数的图像特征：、都是奇数是奇数、是偶数是偶数、是奇数共性必经过点，必经过第一象限，必不经过第四象限。除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交。任何两个幂函数最多有三个公共点。异性的幂函数在区间上的性质：必经过点；都是递减函数；图像向上与轴正向无限接近，向右与轴正向无限接近。和的幂函数在区间上的性质：必经过两个点和；都是递增函数；幂函数与直线有如下关系：在的下方在的上方在的上方在的下方3、幂函数规律总结(
14、1)在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；(2)对于幂函数，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图像的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即，和三种情况下曲线的基本形状，还要注意，三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图像的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即()时图像是抛物线型；时图像是双曲线型；时图像是竖直抛物线型；时图像是横卧抛物线型。(3)曲线在第一象限的凹凸性：时，曲线下凸；时，曲线上凸；时，曲线下凸。例3-3已知幂函数()的图像与轴、轴都无交点，且关于原点对称，则()。A、或 B、或 C、或 D、【
15、答案】C【解析】原函数图像与轴、轴都无交点，即，又函数图像关于原点对称，是奇数，或，故选C。变式3-3已知函数，当为何值时，在第一象限内的图像是上升曲线。【答案】且，解得：。例3-4请把相应的幂函数图像代号填入表格。；。【解析】利用上述规律，可很快地得出答案：、。例3-5分别画出：，的大致图像。【解析】；。变式3-4分别画出：；，的大致图像。【解析】分段函数；先作的图像，再向右平移个单位，在向上平移个单位；先作的图像，再将其图像向下平移个单位，保留轴上方的部分，将轴下方的图像翻折到轴上方；先作出的图像，保留部分，再关于轴对称得到图像，然后右移一个单位。变式3-5作函数的大致图像，求的定义域、值
16、域、单调区间，并求当时，函数的值域。【解析】，先作图像，再向右平移个单位，在向上平移个单位，的定义域为，值域为，单调递减区间为和，当时，函数的值域。三、幂函数的大小比较1、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数。借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键。2、比较两个幂值的大小：(1)若指数相同(或能化为同指数)，则利用幂函数的单调性；(2)若底数相同(或能化为同底数)，则利用指数函数的单调性；(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作桥梁来比较大小。3、幂函数性质的综合应用(1)要明确幂函数中，幂指数的正负与函数单调性的关系，幂指数的奇偶性与函数的奇偶性间的关系。(2)要注意将得到的结果对照条件进行检验，合理取舍。例3-6比较大小：，；，；，；【解析】在上是递增函数，；在上是递减函数，；在上是递增函数，。变式3-6比较大小：，；，；，。【解析】在上递减，是增函数，综上，；，；，则。变式3-7若，求的取值范围。【解析】在上减，函数值，在上单调递减，函数值，则有或或，的范围为。