1、吉林省长春市名校2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题 文考试时间:120分钟 分值:150分第卷选择题(60分)一、选择题(共12小题,每小题5分,计60分)1已知集合,则( )ABCD2复数,是虚数单位.若,则( )ABCD3 计算:( )A B C3 D 4函数的单调递增区间是( )ABCD5已知函数,若,则( )A BC D6已知为奇函数且对任意,若当时,则( )AB0C1D27已知函数,不等式的解集为( )A BC D8若函数在R上单调递增,则实数a的取值范围是( )ABCD9我国著名数学家华罗先生曾说:数缺形时少直观,形缺数时难人微,数形结合百般好,隔离分家万事休.在数学
2、的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征,函数的图象大致是( )ABCD10人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则有,一架小型飞机降落时,声音约为100dB,轻声说话时,声音约为30dB,则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的( )倍A1000B106C107D10811已知是定义在上的偶函数,那么的最大值是( )A1BCD12已知函数,若关于x的方程有四个实数根,则实数的取值范围为( )ABCD第卷非选择题(90分)一. 填空题(共4小题,每小题5分,计20分)13
3、已知函数是幂函数,则函数恒过定点_14已知,若q是p的必要不充分条件,则m的取值范围是_15观察等式:f()f()1;f()f()f();f()f()f()f()2;f()f()f()f()f();由以上几个等式的规律可猜想_.16 已知关于的方程在上有解,则实数的取值范围是_三.解答题(解答应有必要的文字说明和解题步骤,共计70分)17.(本小题10分)设函数()当时,解不等式;()若关于的不等式恒成立,求实数的取值范围18.(本小题12分)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线的极坐标方程;
4、(2)已知射线分别交曲线,于两点,若是线段的中点,求的值.19.(本小题12分)改革开放以来,我国高等教育事业有了迅速发展,尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市从2014-2018年的本科录取成绩,为了便于计算,将2014年编号为,2015年编号为,2018年编号为,如果将每年的本科录取率记作,把年份对应编号到作为自变量,记作,得到如下数据:年份20142015201620172018自变量本科录取率(1)试建立关于的回归方程;(2)已知该城市2019年本科录取率为,2020年本科录取率为.若,则认为该回归方程精确度较高,试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市
5、的本科录取率,若不能,请说明理由;若能,请预测2021年该城市的本科录取率.参考公式:,.20.(本小题12分)已知二次函数的两个零点分别是0和5,图象开口向上,且在区间上的最大值为12(1)求的解析式;(2)设函数在上的最小值为,求的解析式21.(本小题12分)已知函数.(1)当时,求证:;(2)当时,求实数的取值范围.22.(本小题12分)已知,(1)当时,求函数的单调区间;(2)是否存在实数,使在区间上的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由。长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试文科数学答案1.B 2D 3A 4D 5D 6C 7A 8A 9B 10C 11D 1
6、2C1314:1510101617(),可转化为或或,解得或或无解,所以不等式的解集为 ()依题意,问题等价于关于的不等式恒成立,即,又,当时取等号所以,解得或,所以实数的取值范围是18(1)因为曲线的普通方程为,所以曲线的极坐标方程为(写成也给分).因为曲线的普通方程为,即,所以曲线的极坐标方程为,即.(2)设,则,因为是线段的中点,所以,即,整理得,所以,因为,所以,所以,所以.19解:(1)计算得,又,关于的回归方程为.(2)当时,当时,则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.当时,预测2021年该城市的本科录取率为.20(1)因为二次函数的两个零点分别是0和5,图象开口向上
7、,所以可设,又在区间上的最大值为12,所以,(2),图象开口向上,对称轴为当即时,在上是减函数,;当即时,;当时,在上是增函数,综上所述,.21(1)证明:当时,定义域为,则,由,得,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以是 的极小值点,也是的最小值点,且,所以,(2)解:由(),得(),当时,上述不等式恒成立,当时,令 (),则,由(1)可知,当时,所以由,得,由,得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以是的极小值点,也是的最小值点,且,所以,所以实数的取值范围为22(1)当时,定义域为,当时,单调递减,当时,单调递增,综上:在单调递减,上单调递增;(2),假设存在实数,使有最小值3.当时,因为,所以,所以在上单调递减,解得(舍去);当时,在上单调递减,在上单调通增,解得,满足条件;当时,因为,所以,在上单调递减,.解得,舍去.综上,存在实数,使得当时,有最小值3.