1、5.1导数的概念及其意义5.1.1变化率问题学 习 目 标核 心 素 养1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.会求函数在某一点附近的平均变化率(重点)3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念(易混点)1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象的核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)4.9t26.5t10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？2很多人都
2、吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？1平均变化率对于函数yf (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：xx2x1.(2)函数值的改变量：yf (x2)f (x1)(3)平均变化率.思考：x，y以及平均变化率一定为正值吗？提示x，y可正可负，y也可以为零，但x不能为零，平均变化率可正可负可为零2瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)函数f (x)在xx0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 .3曲线的切线斜率(1)设P0(x0，f (x0)，
3、P(x，f (x)是曲线yf (x)上任意不同两点，则平均变化率为割线P0P的斜率(2)当P点逐渐靠近P0点，即x逐渐变小，当x0时，瞬时变化率 就是yf (x)在x0处的切线的斜率即k .思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？提示不是二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在xx0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x趋近于零时表示x0()(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等()(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况()(4)函数yf (x)在某xx0的切线斜率可写成k ()答案(1)(
4、2)(3)(4)2函数yf (x)，自变量x由x0改变到x0x时，函数的改变量y为()Af (x0x)Bf (x0)xCf (x0)xDf (x0x)f (x0)Dyf (x0x)f (x0)，故选D.3若一质点按规律s8t2运动，则在一小段时间2，2.1内的平均速度是()A4B4.1C0.41D1.1B4.1，故选B.4一辆汽车运动的速度为v(t)t22，则该汽车在t3时的加速度为_66t，当t0时，6，即汽车在t3时加速度为6.5(教材P61练习T2改编)火箭发射t s后，其高度(单位：m)为h(t)0.9t2.那么t_ s时火箭的瞬时速度为3.6 m/s.20.9t1.8t0.当t0时1
5、.8 t0.即tt0时的瞬时速度为1.8t0，由1.8t03.6得t02.求平均变化率【例1】(1)如图，函数yf (x)在1，5上的平均变化率为()A BC2D2(2)函数y2x21在区间1，1x内的平均变化率为_(1)B(2)42x(1).故选B.(2)y2(1x)21(2121)2x(2x)，所以平均变化率为42x.1求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的改变量xx2x1；第二步，求函数值的改变量yf (x2)f (x1)；第三步，求平均变化率.2求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用的形式跟进训练1函数yx2从x0到x0x(x0)的平均变化率为k1，从x0x到x0
6、的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是()Ak1k2Bk1k2Ck1k2Dk1与k2的大小关系不确定A函数yf (x)x2从x0到x0x的改变量为y1f (x0x)f (x0)(x0x)2xx(2x0x)，k12x0x.函数yf (x)x2从x0x到x0的改变量为y2f (x0)f (x0x)x(x0x)2x(2x0x)，k22x0x.k1k22x，而x0，k1k2.求瞬时速度探究问题1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2，如何计算物体在1，1t这段时间内的平均速度？提示s5(1t)2510t5(t)2，105t.2当t趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提
7、示当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度【例2】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)t2t1表示，求物体在t1 s时的瞬时速度思路探究解3t， (3t)3.物体在t1处的瞬时变化率为3.即物体在t1 s时的瞬时速度为3 m/s.1(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度解求物体的初速度，即求物体在t0时的瞬时速度1t， (1t)1.物体在t0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.2(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.解设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又(2t01)t
8、. (2t01t)2t01.则2t019，t04.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为ss(t)，则求物体在tt0时刻的瞬时速度的步骤如下：(1)写出时间改变量t，位移改变量s(ss(t0t)s(t0).(2)求平均速度：.(3)求瞬时速度v：当t0时，v(常数).求函数在某点的切线斜率及方程【例3】(1)已知函数yx，则该函数在点x1处的切线斜率为_(2)求曲线f (x)x21在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程思路探究(1)x1处的瞬时变化率即为斜率(2)(1)2y(1x)x1x，1，斜率k 112.(
9、2)解显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k (x2)2.故切线方程为y22(x1)，即y2x.求函数yf (x)在点x0处的导数的三个步骤跟进训练2求函数y在x2处的切线方程解y1，k 1.又x2时y1.切线方程为y11(x2)，即xy30.1函数yf (x)在xx0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况即：k .2瞬时速度与平均速度的区别和联系区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值1一物体的运动方
10、程是s32t，则在2，2.1这段时间内的平均速度是()A0.4B2C0.3D0.2B2.2物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若v 9.8 m/s，那么下列说法中正确的是()A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率C结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C正确3已知函数f (x)2x21的图象上一点(1，1)及其附近一点(1x，f (1x)，则等于_42xyf (1x)f (1)2(1x)21(2121)4x2(x)2，2x4.4设函数f (x)在x1处切线斜率为2，则 _.根据条件知k 2， .5已知函数f (x)3x25，求f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间x0，x0x上的平均变化率解(1)因为f (x)3x25，所以从0.1到0.2的平均变化率为0.9.(2)f (x0x)f (x0)3(x0x)25(3x5)3x6x0x3(x)253x56x0x3(x)2.函数f (x)在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.