1、4.4*数学归纳法学 习 目 标核 心 素 养1.了解数学归纳法的原理(难点、易混点)2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题(重点、难点)1.通过数学归纳法定义的学习，体现了数学抽象的核心素养.2.通过数学归纳法的应用，培养学生逻辑推理的核心素养.我们中国过去有个习俗，子女从父亲的姓氏(可以说明没有歧视妇女的意思)，如父亲姓王，其子女都姓王假设我们知道一个男子姓王，假设他每一代后代都有男子，而且严格按照我国过去的习俗，那么他的儿子姓什么？孙子呢？玄孙呢？如果他有32代孙，你能确定他的32代孙的姓吗？如果他有无限代孙呢？为了保证各代孙辈都姓王，必须严格按照中国过去的习俗，否则无法递推下去，也就
2、是说要保证第n代孙姓王能推出第n1代孙也姓王，当然还要求第1个人必须姓王了思考：通过这个例子，我们能得到什么启示呢？1数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当nn0(n0N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当nk1时命题也成立”只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立这种证明方法称为数学归纳法思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?提示不一定如证明n边形的内角和为(n2)180，第一个值n03.2数学归纳法的框图表示1判断正误(正确的打“”，错误的打“”
3、)(1)用数学归纳法证题时可以只证明归纳递推即可()(2)数学归纳法证明3nn2(n3，nN*)，第一步验证n3()(3)设Sk，则Sk1()提示(1)数学归纳法两个步骤缺一不可，(3)中，Sk1.答案(1)(2)(3)2用数学归纳法证明1aa2an1(a1，nN*)，在验证n1成立时，左边计算所得的项是()A1B1aC1aa2D1aa2a3C当n1时，左边1aa111aa2，故C正确3用数学归纳法证明123(2n1)(n1)(2n1)时，从“nk”到“nk1”，左边需增添的代数式是()A(2k1)(2k2)B(2k1)(2k1)C(2k2)(2k3)D(2k2)(2k4)C当nk时，左边是共
4、有2k1个连续自然数相加，即123(2k1)，所以当nk1时，左边共有2k3个连续自然数相加，即123(2k1)(2k2)(2k3)所以左边需增添的代数式是(2k2)(2k3)故选C.4已知f (n)1(nN*)，计算得f (2)，f (4)2，f (8)，f (16)3，f (32)，由此推测，当n2时，有_答案f (2n)5已知数列an满足a1a，2an1anan11，猜想an的通项an_.a1a，由2an1anan11得a2，a3，a4，所以可猜想an.用数学归纳法证明等式【例1】(1)用数学归纳法证明(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN*)，“从k到k1”左端增乘的代数式为
5、_(2)用数学归纳法证明：(nN*)(1)2(2k1)令f (n)(n1)(n2)(nn)，则f (k)(k1) (k2)(kk)，f (k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2)，所以2(2k1)(2)证明：当n1时，成立假设当nk(kN*)时等式成立，即有，则当nk1时，即当nk1时等式也成立由可得对于任意的nN*等式都成立用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；(3)证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形.跟进训练1用数学归纳
6、法证明等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明当n1时，左边121，右边(1)01，左边右边，等式成立；假设当nk(k1，kN*)时等式成立，即有12223242(1)k1k2(1)k1，那么，当nk1时，12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)k(k1)(1)k，所以当nk1时，等式也成立，由知，对任意nN*，都有12223242(1)n1n2(1)n1.归纳猜想证明【例2】已知数列，的前n项和为Sn，计算S1，S2，S3，S4，根据计算结果，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法进行证明解S1 ；S2 ；S3 ；S4 .可以看出，上面表示四个结
7、果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n1.于是可以猜想Sn .下面用数学归纳法证明这个猜想(1)当n1时，左边S1 ，右边 ，猜想成立(2)假设当nk(kN*)时猜想成立，即 ，则当nk1时， ，所以，当nk1时猜想也成立根据(1)和(2)，可知猜想对任意nN*都成立1“归纳猜想证明”的一般环节2“归纳猜想证明”的主要题型(1)已知数列的递推公式，求通项或前n项和(2)由一些恒等式、不等式改编的一些探究性问题，求使命题成立的参数值是否存在(3)给出一些简单的命题(n1，2，3，)，猜想并证明对任意正整数n都成立的一般性命题跟进训练2已知数列an的前n项和为Sn，且满足a13，S
8、nan1n21(n2)求a2，a3，a4的值，猜想数列an的通项公式并用数学归纳法证明解当n2时，S2a1221，即3a28，解得a25；当n3时，S3a2321，即35a315，解得a37；当n4时，S4a3421，即357a424，解得a49.猜想an2n1，下面用数学归纳法证明：当n1时，a12113，猜想成立；假设当nk(kN*)时， 猜想成立， 即ak2k1，Skk22k，则当nk1时，Sk1ak(k1)21，Skak1ak(k1)21，ak1ak(k1)21Sk，ak12k1(k1)21(k22k)2(k1)1，所以猜想成立综上所述， 对于任意nN*，an2n1均成立.用数学归纳法
9、证明不等式探究问题1你能指出下列三组数的大小关系吗？(1)n，(nN*)；(2)，(nN*，n1)；(3)，(nN*)提示(1)n；(2)；(3)，2，2.(2).(3)1 2k 1 .又1 k2k (k1)，即当nk1时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有的nN*都成立用数学归纳法证明不等式往往比证明恒等式难度更大一些，方法更灵活些，用数学归纳法证明的第二步，即已知f(k)g(k)，求证f(k1)g(k1)时应注意灵活运用证明不等式的一般方法(比较法、分析法、综合法).具体证明过程中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(2)瞄准当nk1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结
10、论.跟进训练3试用数学归纳法证明12(n2，nN*)证明(1)当n2时，12，命题成立(2)假设nk(k2，且kN*)时命题成立，即12.则当nk1时，123n23n1这一不等式时，应注意n必须为()AnN*BnN*，n2CnN*，n3DnN*，n4D当n1，n2，n3时，显然不等式不成立，当n4时，6461不等式成立，故用数学归纳法证明n33n23n1这一不等式时，应注意n必须为n4，nN*，故选D.2用数学归纳法证明12(n2)时，第一步需要证明()A12B12C12D12C用数学归纳法证明12(n2)(nN*)，第一步应验证不等式12.故选C.3用数学归纳法证明f (n)的过程中，f (k1)f (k)_。依题意f (k)，f (k1)，所以f (k1)f (k). 故答案为.4用数学归纳法证明.假设nk时，不等式成立，则当nk1时，应推证的目标不等式是_从不等式结构看，左边nk1时，最后一项为，前面的分母的底数是连续的整数，右边nk1时，式子为，即不等式为.5用数学归纳法证明：当n2，nN*时，.证明(1)当n2时，左边1，右边，n2时等式成立(2)假设当nk(k2，kN*)时等式成立，即，那么当nk1时，.当nk1时，等式也成立根据(1)和(2)知，对任意n2，nN*，等式都成立