1、第7讲 解三角形的实际应用举例一、选择题1有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20，现高不变，将倾斜角改为10，则斜坡长为 ()A1 B2sin 10C2cos 10 Dcos 20解析如图，ABC20，AB1，ADC10，ABD160.在ABD中，由正弦定理得，ADAB2cos 10.答案C2某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为 ()A. B2 C.或2 D3解析如图所示，设此人从A出发，则ABx，BC3，AC，ABC30，由余弦定理得()2x2322x3cos 30，整理得x23x60，解得x或2.答案C3线段AB外有一点C，
2、ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始几小时后，两车的距离最小()A. B1C. D2解析 如图所示，设过x h后两车距离为y，则BD20080x，BE50x，y2(20080x)2(50x)22(20080x)50xcos 60，整理得y212 900x242 000x40 000(0x2.5)，当x时y2最小，即y最小答案 C4. 如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()A30 B45 C60 D75解析依题意
3、可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.答案B5如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A、B两点间的距离为60 m，则树的高度为()A(3030)m B(3015)mC(1530)m D(1515)m解析 在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30，由正弦定理得：，PB30()，树的高度为PBsin 4530()(3030)m
4、.答案 A6. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30，测得湖中之影的俯角为45，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) ()A2.7 m B17.3 mC37.3 m D373 m解析在ACE中，tan 30.AE(m)在AED中，tan 45，AE(m)，CM10(2)37.3(m)答案C二、填空题7在相距2千米的A，B两点处测量目标点C，若CAB75，CBA60，则A，C两点之间的距离为_千米解析由已知条件CAB75，CBA60，得ACB45.结合正弦定理得，即，解得AC(千米)答案8. 如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀
5、速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile.此船的航速是_ n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在ABS中，ABv，BS8 n mile，BSA45，由正弦定理得：，v32 n mile/h.答案329某人站在60米高的楼顶A处测量不可到达的电视塔高，测得塔顶C的仰角为30，塔底B的俯角为15，已知楼底部D和电视塔的底部B在同一水平面上，则电视塔的高为_米解析：如图，用AD表示楼高，AE与水平面平行，E在线段BC上，设塔高为h，因为CAE30，BAE15，ADBE60，则AE12060，在RtAEC中，CEAEtan 30(1
6、2060)6040，所以塔高为604060(12040)米答案：1204010. 如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当与满足条件_时，该船没有触礁危险解析由题可知，在ABM中，根据正弦定理得，解得BM，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90)n，所以当与的关系满足mcos cos nsin()时，该船没有触礁危险答案mcos cos nsin()三、解答题11如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信
7、息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，求cos 的值解如题图所示，在ABC中，AB40海里，AC20海里，BAC120，由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcos 1202 800，故BC20(海里)由正弦定理得，所以sinACBsinBAC.由BAC120，知ACB为锐角，则cosACB.易知ACB30，故cos cos(ACB30)cosACBcos 30sinACBsin 30.12如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A，B之间的距离，她在西江南岸找到一个点C，从C点可以观察到点A，B；找到一个点D，从D
8、点可以观察到点A，C；找到一个点E，从E点可以观察到点B，C；并测量得到数据：ACD90，ADC60，ACB15，BCE105，CEB45，DCCE1百米(1)求CDE的面积；(2)求A，B之间的距离解(1)在CDE中，DCE3609015105150，SCDEDCCEsin 150sin 30(平方百米)(2)连接AB，依题意知，在RtACD中，ACDCtanADC1tan 60(百米)，在BCE中，CBE180BCECEB1801054530，由正弦定理，得BCsinCEBsin 45(百米)cos 15cos(6045)cos 60cos 45sin 60sin 45，在ABC中，由余弦
9、定理AB2AC2BC22ACBCcosACB，可得AB2()2()222，AB百米13某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇解(1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S .故当t时，Smin10(海里
10、)，此时v30(海里/时)即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2400900t222030tcos(9030)，故v2900，0v30，900900，即0，解得t.又t时，v30海里/时故v30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.此时，在OAB中，有OAOBAB20海里，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇.14如图，某人在塔的正东方向上的C处在与塔垂直的水平 面内沿南偏西60的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D处望见塔的底端B在东北方向上，已知沿途塔的仰角AE
11、B，的最大值为60.(1)求该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了几分钟；(2)求塔的高AB解 (1)依题意知：在DBC中，BCD30，DBC18045135，CD6 000100(m)，D1801353015，由正弦定理得，BC50(1)(m)在RtABE中，tan .来源:学*科*网Z*X*X*KAB为定长，当BE的长最小时，取最大值60，这时BECD，当BECD时，在RtBEC中，ECBCcosBCE50(1)25(3)(m)，设该人沿南偏西60的方向走到仰角最大时，走了t分钟，则t6060(分钟)(2)由(1)知当取得最大值60时，BECD，在RtBEC中，BEBCsinBCE，ABBEtan 60BCsinBCEtan 6050(1)25(3)(m)，即所求塔高为25(3)m.