1、4.1数列的概念第1课时数列的概念及简单表示法学 习 目 标核 心 素 养1.理解数列的概念(重点)2.掌握数列的通项公式及应用(重点)3.理解数列是一种特殊的函数理解数列与函数的关系(易混点、难点)4.能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式(难点、易错点)1.通过数列概念及数列通项的学习，体现了数学抽象及逻辑推理素养.2.借助数列通项公式的应用，培养学生的逻辑推理及数学运算素养.3.借助数列与函数关系的理解，提升学生的数学建模和直观想象素养.1一尺之棰，日取其半，万世不竭1，2三角形数3正方形数思考：这些数有什么规律？与它所表示图形的序号有什么关系？1数列的概念及一般形式思考：(1)数列的
2、项和它的项数是否相同？(2)数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与1，2，3，4，5有什么区别？提示(1)数列的项与它的项数是不同的概念数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数(2)数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合1，2，3，4，5与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性2数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的
3、数列常数列各项都相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列3数列的通项公式如果数列an的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式4数列与函数的关系从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：定义域正整数集N*(或它的有限子集1，2，3，n)解析式数列的通项公式值域自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法思考：数列的通项公式anf(n)与函数解析式yf(x)有什么异同？提示如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有
4、限子集1，2，n)为定义域的函数，anf(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)数列2，4，6，8，2n是无穷数列()(2)通项公式为ann1的数列是递增数列()(3)数列4，0，2，4，6的首项是4()(4)30是数列an2n1中的某一项()提示(1)无穷数列的末尾带有.(2)ann1对应的函数yx1是增函数，所以ann1是递增数列(3)第一个位置的项是首项(4)当2n130时，n值不是正整数答案(1)(2)(3)(4)2数列an中，an3
5、n1，则a2等于()A2B3C9D32B将n2代入通项公式，得a23213.3下列可作为数列an：1，2，1，2，1，2的通项公式的是()Aan1BanCan2DanC代入验证可知C正确4数列1，2， ，中的第26项为_2因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an，所以a262.5(一题两空)填空：2，3，_，5，2，_，2，9，2，11，27观察发现规律an数列的概念与分类【例1】(1)下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，Bsin，sin，sin，C1，D1，(2)(一题多空)已知下列数列：2 013，2 014，2 015，2 016，2 017，2 018，2019
6、，2 020；1，；1，；1，0，1，sin，；2，4，8，16，32，；1，1，1，1.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)(1)CABC为无穷数列，其中A是递减数列，B是摆动数列，C是递增数列，故选C.(2)为有穷数列且为递增数列；为无穷、递减数列；为无穷、摆动数列；是摆动数列，也是无穷数列；为递增数列，也是无穷数列；为有穷数列，也是常数列1有穷数列与无穷数列：判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项若数列是有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列2数列an的单调性：若满足anan1，则an是递增数列；若满
7、足anan1，则an是递减数列；若满足anan1，则an是常数列；若an与an1的大小不确定，则an是摆动数列跟进训练1(一题多空)给出下列数列：20132020年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；无穷多个构成数列， ， ， ，；2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，构成数列2，4，8，16，32，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，常数列是_，摆动数列是_为有穷数列；是无穷数列，同时也是递增数列；为常数列；为摆动数列由数列的前几项求通项公式【例2】已知数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式(1)1，3，7，15，
8、31，；(2)4，44，444，4 444，；(3)1，3，5，7，9，；(4)2，；(5)1，2，1，2，1，2，.思路探究观察数列前后项之间的规律，规律不明显的需将个别项进行调整，再看是否与对应的序号有规律的联系解(1)观察发现各项分别加上1后，数列变为2，4，8，16，32，新数列的通项为2n，故原数列的通项公式为an2n1.(2)各项乘，变为9，99，999，各项加上1后，数列变为10，100，1 000，新数列的通项为10n，故原数列的通项公式为an(10n1)(3)所给数列有这样几个特点：符号正、负相间；整数部分构成奇数列；分数部分的分母为从2开始的自然数的平方；分数部分的分子依次
9、大1.综合这些特点写出表达式，再化简即可由所给的几项可得数列的通项公式为an(1)n，所以an(1)n.(4)数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为4，数列变为，再把各分母分别加上1，数列又变为，所以an.(5)法一：可写成分段函数形式：an法二：an即an.1常见数列的通项公式归纳(1)数列1，2，3，4，的一个通项公式为ann；(2)数列1，3，5，7，的一个通项公式为an2n1；(3)数列2，4，6，8，的一个通项公式为an2n；(4)数列1，2，4，8，的一个通项公式为an2n1；(5)数列1，4，9，16，的一个通项公式为ann2；(6)数列1，1，1，1，的一个通项公式为an(1
10、)n；(7)数列1，的一个通项公式为an.2复杂数列的通项公式的归纳方法考察各项的结构；观察各项中的“变”与“不变”；观察“变”的规律是什么；每项符号的变化规律如何；得出通项公式跟进训练2写出下面各数列的一个通项公式：(1)9，99，999，9 999，；(2)1，3，5，7，9，；(3)，2，8，；(4)3，5，9，17，33，.解(1)各项加1后，变为10，100，1 000，10 000，新数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an10n1.(2)数列各项的绝对值为1，3，5，7，9，是连续的正奇数，其通项公式为2n1，考虑到(1)n1具有转换正、负号的作用，所以数列的一个通
11、项公式为an(1)n1(2n1)(3)数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分数再观察：，.所以，它的一个通项公式为an.(4)3可看作211，5可看作221，9可看作231，17可看作241，33可看作251，所以原数列的一个通项公式为an2n1.通项公式的应用探究问题1根据通项公式如何求数列中的第几项？怎么确定某项是否是数列的项？若是，是第几项？提示根据an，求第几项，采用的是代入法，如第5项就是令n5，求a5.判断某项是否是数列中的项，就是解方程令an等于该项，解得nN*即是，否则不是2已知数列an的通项公式为ann22n1，该数列的图象有何特点？试利用图象说明该数列的单调性及所
12、有的正数项提示由数列与函数的关系可知，数列an的图象是分布在二次函数yx22x1图象上的离散的点，如图所示，从图象上可以看出该数列是一个递减数列，且前两项为正数项，从第3项往后各项为负数项【例3】已知数列an的通项公式为an3n228n.(1)写出此数列的第4项和第6项；(2)49是否是该数列的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列的一项呢？思路探究(1)将n4，n6分别代入an求出数值即可；(2)令3n228n49和3n228n68，求得n是否为正整数并判断解(1)a434228464，a636228660.(2) 令3n228n49，解得n7或n(舍去)，所以49是该数列的第7项；令3
13、n228n68，解得n2或n，均不合题意，所以68不是该数列的项1(变结论)若本例中的条件不变，(1)试写出该数列的第3项和第8项；(2)20是不是该数列的一项？若是，是哪一项？解(1)因为an3n228n，所以a333228357，a838228832.(2)令3n228n20，解得n10或n(舍去)，所以20是该数列的第10项2(变条件，变结论)若将例题中的“an3n228n”变为“ann22n5”，试判断数列an的单调性解ann22n5，an1an(n1)22(n1)5(n22n5)n22n12n25n22n52n3.nN*，2n30，an1an.数列an是递增数列1由通项公式写出数列的
14、指定项，主要是对n进行取值，然后代入通项公式，相当于函数中，已知函数解析式和自变量的值求函数值2判断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求方程的根，根据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1，2，3，n)这一约束条件1数列的通项公式是一个函数关系式，它的定义域是N*(或它的一个子集1，2，3，n)2并非所有的数列都能写出它的通项公式例如，的不同近似值，依据精确的程度可形成一个数列3，3.1，3.14，3.141，它没有通项公式，也并不是通项公式都唯一如，1，1，1，1，既可以写成an(1)n
15、，也可以写成an3根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征，并对此进行联想、转化、归纳4数列是以正整数作为自变量的特殊函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法，即用共性来解决特殊问题1在数列1，1，2，3，5，8，x，21，34，55中，x等于()A11B12C13D14C观察可知该数列从第3项开始每一项都等于它前面相邻两项的和，故x5813.2已知数列1，则3是它的()A第22项B第23项C第24项D第28项B令3，解得n23.所以3是它的第2
16、3项，故应选B.3数列an：，3，3，9，的一个通项公式是()Aan(1)n(nN*)Ban(1)n(nN*)Can(1)n1(nN*)Dan(1)n1(nN*)B该数列的前几项可以写成，故可以归纳为an(1)n.故选B.4(一题两空)已知数列an的通项公式an4n1，则它的第7项是_，a2 020a2 019_.274a747127，a2 020a2 019(42 0201)(42 0191)4(2 0202 019)4.5已知数列an的通项公式为an(nN*)，则(1)计算a3a4的值；(2)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由解(1)an，a3，a4，a3a4.(2)是若为数列an中的项，则，n(n2)120，n22n1200，n10或n12(舍)，即是数列an的第10项