1、集合与常用逻辑用语一、集合1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母、来表示。2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母、来表示。注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的集合，应注意区别。3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为。4、元素与集合的关系：之间只能用“”或“”符号连接。(1)属于：如果是集合的元素，就说属于集合，记作；(2)不属于：如果不是集合的元素，就说不属于
2、集合，记作。5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。集合中的元素互不相同。例：集合，则不能等于。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的无序性。例：有、等六种表示方法。6、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合。(2)无限集：含有无限个元素的集合。(
3、3)空集：不含任何元素的集合。7、常见的特殊集合：(1)正整数集或；(2)非负整数集(即自然数集，包括零)；(3)整数集(包括负整数、零和正整数)；(4)有理数集(包括整数集和分数集正负有限小数或无限循环小数)；(5)实数集(包括所有的有理数和无理数)；注意：()；()； 表示坐标轴上的点集； 表示第一、三象限的点集；表示第二、四象限的点集；对方程组解的集合应是点集，例：解的集合；例1-1判断下列说法是否正确，并说明理由。(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；(2)，这些数组成的集合有个元素；(3)由、组成的集合与由、组成的集合是同一个集合。【解析】(1)不正确，因为“年轻人”没有明确的标准，
4、不具有确定性，不能作为元素来组成集合；(2)不正确，对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由个元素组成的；(3)正确，集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合。例1-2下列说法正确的是( )。A、年上半年发生的大事能构成一个集合 B、小于的整数构成的集合是无限集C、空集中含有元素 D、自然数集中不含有元素【答案】B【解析】“大事”是不确定的对象，A错，小于的整数包括无穷个负数，B对，空集中不含有任何一个元素，C错，自然数集中含有元素，D错，故选B。例1-3若元素，但，则的值可以是( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】由题意
5、可知，元素是有理数但不是整数，是分数，故选C。例1-4已知集合中三个元素、是的三边长，那么一定不是( )。A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形【答案】D【解析】根据集合中元素的互异性，知、都不相等，故选D。例1-5下列描述的对象组成的集合是无限集的是( )。A、方程的根 B、大于且小于的实数C、小于的质数 D、倒数等于它本身的实数【答案】B【解析】A中描述的集合中只有、两个元素，B中大于且小于的实数有无限多个，C中小于的质数有个，D中描述的对象只有，故B中所描述的集合是无限集，故选B。例1-6已知集合为空集，则实数的集合是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】
6、，则，故选A。拓展：若有一个元素，则，即；若有两个元素，则或，即。二、集合的表示方式1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个花括号全部括上。(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是点集、数集还是其它集合。集合的所有元素用“”括起来，元素间用分隔号“”。(2)元素不重复，元素无顺序。(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集。需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合与表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集，就不能写成。2、自然语言描述法：用自
7、然的文字语言描述。如：昌图一高的所有团员组成的一个集合。3、特征性质描述法(简称描述法)：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号内表示集合的方法。它的一般格式为，“”前是集合元素的一般形式，“”后是集合元素的公共属性。例：、。以一个方程(组)或不等式(组)的所有解为元素的集合叫做该方程(组)或不等式(组)的解集。例：的解集就是，的解集就是，的解集是。(1)写清楚该集合代表元素的符号。例如，集合不能写成。(2)所有描述的内容都要写在花括号内。例如，这种表达方式就不符合要求，需将也写进花括号内，即。(3)不能出现未被说明的字母。(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省
8、略不写。例：方程的实数解集可表示为，也可写成。(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如，等。4、韦恩()图法：如：例2-1用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限集。(1)方程的解集；(2)大于且小于的奇数构成的集合；(3)不等式的解集；(4)抛物线上的点构成的集合；(5)方程的解集。【解析】(1)用列举法表示为，用描述法表示为，集合中有个元素，是有限集；(2)用列举法表示为，用描述法表示为，集合中有个元素，是有限集；(3)用描述法表示为，集合中有无数个元素，是无限集；(4)用描述法表示为，抛物线上的点有无数个，因此该集合是无限集；(5)方程无实数解，故该方程的解集为
9、，是有限集。例2-2由大于且小于的偶数所组成的集合是()。A、 B、C、 D、【答案】D【解析】偶数是整数，可以是正数、零或负数，故选D。例2-3若，用列举法表示集合为 。【答案】【解析】，当依次取、时，的值依次为、，故。例2-4下列正确表示集合和关系的图是( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】由知在的内部，故选B。例2-5下列集合中，不同于另外三个集合的是()。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】选项A，B，D中都只有一个元素“”，故它们都是相同的集合，而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式，而不是实数，故此集合与其他三个集合不同，故选C。例2-6设集合，试用列举法分别写出集
10、合、。【解析】集合中的元素为绝对值小于等于的正整数，集合中的元素为、时函数的取值，集合中的元素是以集合中的元素为横坐标，且在曲线上的点，。例2-7已知全集，则图中阴影部分所表示的集合等于( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】的解为，集合，是指不在集合中，但在集合中的全集中的元素，即，图中的阴影部分表示的集合等于，故选B。三、集合之间的关系1、子集、真子集和集合相等：定义符号语言图形语言(图)子集如果集合中的任意一个元素都是集合的元素，那么集合叫做集合的子集(或)真子集如果集合是集合的子集，并且中至少有一个元素不属于，那么集合叫做集合的真子集(或)集合相等如果集合的每一个元素都是集合的元
11、素，反过来，集合的每一个元素也都是集合的元素，那么就说集合等于集合2、集合之间的性质(1)任何一个集合是它本身的子集，记作。(2)空集是任何集合的子集，记作。(3)空集是任何非空集合的真子集。(4)若非空集合有个元素，则其子集个数为，真子集个数为，非空子集个数为，非空真子集个数为。(5)对于集合、，如果且，那么。对于真子集也同时成立。(6)且，则；反之，则且。3、集合之间只能用“、”，“ 、”，“ 、”等连接，不能用“”或“”符号连接。4、集合关系与其特征性质之间的关系(1)推出符号(又称双推符号)的应用：是正确的推理“因为所以”的简写形式。例如：“因为，所以”意指“由成立可得到必成立”，这时
12、用推出符号表示为：，其中命题称为条件、命题称为结论，简称“由推出”或“是的充分条件”。这时命题、的关系称为因果关系。因果关系具备自反性(即)和传递性(即“若，则”)，但不具备对称性(即若则未必有)。(2)互推符号的应用：意指“不但由可推出，而且由也可推出”，简称“等价于”或“是的充要条件”。这时命题、的关系称为等价关系。等价关系具备自反性(即)、对称性(即“若则”)和传递性(即“若，则”)。例3-1设集合，集合，则下列关系正确最准确的是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】，即：，故选A。例3-2设集合，集合，则下列关系正确最准确的是()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】， 即
13、：，故选D。例3-3已知集合，那么的真子集的个数是()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】根据子集的计算应有(个)，故选A。例3-4集合，集合，则满足条件的集合的个数为()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，、，集合的个数为，选D。例3-5设集合，若，则的取值范围为()。A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】由于，根据数形结合可知，故选A。例3-6已知集合，集合，若，则实数 。【答案】【解析】，即，。四、集合的运算1、交集的定义：一般地，由所有属于集合且属于集合的元素所组成的集合叫做集合与集合的交集。记作，读作“交”，即。注意：点集与数集的交集是，例：，则。2、并集的定义：一般
14、地，由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合，叫做集合与集合的并集。记作(读作“并”)，即。3、全集与补集(1)全集：如果所有要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用来表示。(2)补集：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集。记作：。主要性质和运算律：重要结论：，；，；，。包含关系：，；，； ，。等价关系：；集合的运算律：交换律：，；结合律：，；分配律：；求补律：，；反演律：，。注意：已知集合中的补集是一个有限集，则集合也是有限集。() 空集的补集是全集；4、有限集的元素个数(1)定义：有限集的元素的个数叫做集合的基数，记为
15、。规定。(2)基本公式：；。5、集合的运算(1)集合有三种运算关系：交集、并集和补集。在进行集合的运算时，先看清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁。(2)一般来讲，集合中的元素是离散的，则用列举法或韦恩图表示；集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心，在含有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意。遗忘空集的存在性也是常见的致误原因。例4-1设集合，则()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，故选D。例4-2已知集合，集
16、合，则下列关系中正确的是()。A、 B、C、 D、【答案】A【解析】，故选A。例4-3已知集合，集合，则下列关系正确的是()。A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】，上数轴，故选D。例4-4已知集合，则( )。A、 B、 C、 D、【答案】B【解析】，故选B。例4-5已知集合，则如图所示的图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为( )。A、 B、C、 D、【答案】B【解析】由得，由，得，根据题图可知阴影部分表示的集合为，且，阴影部分表示的集合中共有个元素，故选B。例4-6已知集合，则集合的真子集的个数为( )。A、 B、 C、 D、【答案】C【解析】联立解得或或，故，有个元素，则真子集的个数为
17、，故选C。例4-7设集合，则 。【答案】【解析】，。五、命题与量词1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的语句叫做命题。2、命题的分类：真命题：判断为真的语句叫做真命题；假命题：判断为假的语句叫做假命题。一个命题要么是真，要么是假。数学中的定义、公理、定理等都是真命题。3、全称量词：短语“所有”、 “任意”、 “每一个”、 “一切”等在陈述中表示所述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示，读作“对任意”。含有全称量词的命题称为全称命题。4、存在量词与存在性命题：短语“有一个”、 “存在一个”、 “至少有一个”、 “有的”、 “有些”、 “某个”
18、等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做存在量词，并用符号“”表示，读作“存在”。存在量词的命题称为存在性命题。5、命题的否定：若一个命题为“若则”，则它的否定为若则非”，即命题的否定不否定条件，只否定结论，注意当条件有量词时必须更改量词，即“”改作“”，“” 改作“”。 命题的否定记住“”，读作“非”。例5-1“关于的不等式有解”等价于( )。A、，使得成立 B、，使得成立C、，使得成立 D、，成立【答案】A【解析】“关于的不等式有解”等价于“存在实数，使得成立”，故选A。例5-2命题“，”的否定是( )。A、， B、， C、， D、，【答案】D【解析】全称命题的否定，需要把全称量词
19、改为特称量词，并否定结论，故选D。例5-3若命题：，则该命题的否定是( )。A、， B、，C、， D、，【答案】B【解析】命题p的否命题为：，故选B。六、充分条件与必要条件1、定义：对于“若则”形式的命题：从逻辑观点上，关于充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于区分命题的条件与结论之间的关系。(1)若，则是的充分条件，是的必要条件；(2)若但，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件；(3)若且，则是成立的必要不充分条件；(4)若既有，又有，记作，则是的充分必要条件(充要条件)。(5)若且，则是成立的既不充分也不必要条件。2、从集合的观点上，关于充分不必要
20、条件、必要不充分条件、充分必要条件、既不充分也不必要条件的判定在于判断、相应的集合关系。建立与、相应的集合，即：，：。(1)若，则是的充分条件，若，则是q成立的充分不必要条件；(2)若，则是的必要条件，若，则是成立的必要不充分条件；(3)若，则是成立的充要条件；(4)若且，则是成立的既不充分也不必要条件。例6-1“”是“”的 ( )。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】或，故“”是“”的充分不必要条件，故选A。例6-2设：或；：或，则是的( )。A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】：，：，但，是的充分不必要条件。例6-3圆与直线有公共点的充分不必要条件是( )。A、或 B、 C、 D、或【答案】B【解析】圆与直线有公共点或， “”是“圆与直线有公共点的充分不必要条件”，故选B。例6-4“”是“函数在上单调递减”的( )。A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“函数在上单调递减”，“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件，故选B。