1、2021-2022学年吉林省长春外国语学校高三（上）期初数学试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）. 1已知集合Ax|1x1，Bx|x25x+60，则下列结论中正确的是（）AABBBABACABDRAB2已知两非零向量，则“|”是“与共线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件3命题p：y|sinx|是偶函数，命题q：ysin|x|是周期为的周期函数，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q4已知数列an的前n项和为Sn，当Snn2n时，a5（）A20B12C8D45下列函数中，图象不关于原点对称的是（）AyexexBy1
2、CDylnsinx6设z是纯虚数，若是实数，则（）A2iBiCiD2i7若曲线yx2aln（x+1）在x1处取极值，则实数a的值为（）A1B2C3D48已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）AB2CD49某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+1610函数yf（x）为定义域R上的奇函数，在R上是单调函数，函数g（x）f（x5）；数列an为等差数列，公差不为0，若g（a1）+g（a9）0，则a1+a2+a9（）A45B15C45D011过圆x2+y24外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则ABP的外接圆方程是（）A（x4）2+（y
3、2）21Bx2+（y2）24C（x+2）2+（y+1）25D（x2）2+（y1）2512已知函数f（x），若关于x的方程ff（x）0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0）（0，1）C（0，1）D（0，1）（1，+）二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.13从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为 14某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本若样本数据x1，x2，x100的方差为16，则数据2x11，2x21，2x1001的方差为 15已知直线kxy+2k10恒过定点A，点A也在直线mx+ny+10上
4、，其中m，n均为正数，则的最小值为 16已知菱形ABCD的边长为2，BAD，若沿对角线BD将BCD折起，使得AC3，则A，B，C，D四点所在球的表面积为 三、解答题：本题共5小题，1718题每题10分，1921题每题12分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知Sn是数列an的前n项和，满足Snn（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量（a+b，ac），（sinC，sinAsinB），且（1）求B的大小（2）若a1，b，求ABC的面积19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，
5、ABBC，AA12AB4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1BNG（）求证：A1BGM；（）求点A1到平面MNG的距离20支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如图（1）记A表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；支付人数50千人支付人数50千人总计微信支付支付宝支付总计（3）根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进
6、行比较附：P（K2K）0.0500.0100.001K3.8416.63510.828K221设函数f（x）x2a（lnx+1）（a0）（1）证明：当a时，f（x）0；（2）若对任意的x（1，e），都有f（x）x，求a的取值范围参考答案一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）. 1已知集合Ax|1x1，Bx|x25x+60，则下列结论中正确的是（）AABBBABACABDRAB解：由x25x+60，化为（x2）（x3）0，解得x3，x2，Bx|x3，x2，AB，故选：C2已知两非零向量，则“|”是“与共线”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：两非零向
7、量，由“|”，可得cos1，0，与共线，故充分性成立当 与共线时，0 或，cos1，|，或 |，故必要性不成立故“|”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A3命题p：y|sinx|是偶函数，命题q：ysin|x|是周期为的周期函数，则下列命题中为真命题的是（）ApqBpqC（p）qD（p）q解：由于命题p：y|sinx|是偶函数，为真命题，命题q：ysin|x|是周期为的周期函数，为假命题，故pq为真命题，故选：B4已知数列an的前n项和为Sn，当Snn2n时，a5（）A20B12C8D4解：Snn2n，当n2时，anSnSn1n2n（n1）2（n1）2n2a52528故选：C5下列函数中，图
8、象不关于原点对称的是（）AyexexBy1CDylnsinx解：若ylnsinx，则由sinx0得2kx2k+，kZ，定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数，其余都为奇函数，故选：D6设z是纯虚数，若是实数，则（）A2iBiCiD2i解：z是纯虚数，zai（a0），是实数，2a0，解得a2，z2i，故选：D7若曲线yx2aln（x+1）在x1处取极值，则实数a的值为（）A1B2C3D4解：定义域为（1，+）y2x，当x1时，20，得a4，当a4时，函数在（1，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，即a4时符合题意故选：D8已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为（）AB2CD4解：作出实
9、数x，y满足约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）由的得yx+z，平移直线yx+z，由图象可知当直线yx+z经过点A时，直线yx+z的截距最大，此时z最大由解得A（2，2）代入目标函数zx+y得z+2即的最大值为：故选：C9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16解：根据几何体的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，半圆柱的体积为：2248；长方体的长宽高分别为4，2，2，长方体的体积为42216，该几何体的体积为V16+8故选：A10函数yf（x）为定义域R上的奇函数，在R上是单调函数，函数g
10、（x）f（x5）；数列an为等差数列，公差不为0，若g（a1）+g（a9）0，则a1+a2+a9（）A45B15C45D0解：函数yf（x）为定义域R上的奇函数，f（x）关于原点对称g（x）f（x5），若g（a1）+g（a9）0，即f（a15）+f（a95）0，即f（a15）f（a95）f（5a9），f（x）在R上是单调函数，a155a9，即a1+a910，在等差数列中，a1+a9102a5，即a55，则a1+a2+a99a545，故选：A11过圆x2+y24外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则ABP的外接圆方程是（）A（x4）2+（y2）21Bx2+（y2）24C（x+2）
11、2+（y+1）25D（x2）2+（y1）25解：由圆x2+y24，得到圆心O坐标为（0，0），ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），外接圆的直径为|OP|2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则ABP的外接圆方程是（x2）2+（y1）25故选：D12已知函数f（x），若关于x的方程ff（x）0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是（）A（，0）B（，0）（0，1）C（0，1）D（0，1）（1，+）解：令f（x）t，则方程ff（x）0等价为f（t）0，由选项知a0，当a0时，当x0，f（x）a2x0，当x0时，由f（x）log2x0得x1，即t1，作
12、出f（x）的图象如图：若a0，则t1与yf（x）只有一个交点，恒满足条件，若a0，要使t1与yf（x）只有一个交点，则只需要当x0，t1与f（x）a2x，没有交点，即此时f（x）a2x1，即f（0）1，即a201，解得0a1，综上0a1或a0，即实数a的取值范围是（，0）（0，1），故选：B二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，共16分.13从正五边形的对角线中任意取出两条，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰的概率为解：从正五边形的对角线中任意取出两条，基本事件总数为10，取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两腰包含的基本事件m5，则取出的两条对角线为图中同一个等腰三角形的两
13、腰的概率为p故答案为：14某工厂为了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本若样本数据x1，x2，x100的方差为16，则数据2x11，2x21，2x1001的方差为64解：样本数据x1，x2，x100的方差为s216，则数据2x11，2x21，2x1001的方差为s222s241664故答案为：6415已知直线kxy+2k10恒过定点A，点A也在直线mx+ny+10上，其中m，n均为正数，则的最小值为 8解：直线kxy+2k10，即 k（x+2）y10，令x+20，求得x2，y1，可得它的图象恒过定点A（2，1）点A也在直线mx+ny+10上，其中m，n均为正数，2mn+10，即2m+n1则
14、（+）（2m+n）2+24+24+48，当且仅当n2m时，等号成立，的最小值为8，故答案为：816已知菱形ABCD的边长为2，BAD，若沿对角线BD将BCD折起，使得AC3，则A，B，C，D四点所在球的表面积为 28解：如图所示，取BD的中点F，连接AF，CF，则AFCF3，AC3，cos，AFC，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E在CF的延长线上，且AFE，AEAFsin，EF，设四面体ABCD外接球的球心为O，三角形BCD的外心为O，OOx，由OB2，OF1，由勾股定理可得R2x2+4（+1）2+（x）2，解得R27，四面体的外接球的表面积为4R228，故答案为：28三、解答题：本题共
15、5小题，1718题每题10分，1921题每题12分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.17已知Sn是数列an的前n项和，满足Snn（1）求an的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn解：（1）n2时，anSnSn1n（n1）2+（n1）n+1n1时，a1S12，对于上式也成立，ann+1（2）由，Tn2（）+（）+（），得18已知ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量（a+b，ac），（sinC，sinAsinB），且（1）求B的大小（2）若a1，b，求ABC的面积解：（1）由题意结合向量共线可得（a+b）（sinAsinB）（ac）sinC，由正弦定理可得（a+
16、b）（ab）（ac）c，整理可得a2b2acc2，即a2+c2b2ac，由余弦定理可得cosB，B为三角形的内角，B60；（2）由余弦定理可得b2a2+c22accosB，代值可得31+c2c，解方程可得c2，ABC的面积SacsinB19如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，ABBC，AA12AB4，M，N分别为CC1，BB1的中点，G为棱AA1上一点，若A1BNG（）求证：A1BGM；（）求点A1到平面MNG的距离解：（1）证明：ABBC，BCBB1，可得CB平面ABB1A1，M，N分别为CC1，BB1的中点，可得MNBC，可得MN平面ABB1A1，又A1BNG
17、，由三垂线定理可得A1BGM；（）设A1B与GN交于点E，由（）可得A1B平面MNG，在BNE中，AA12AB4，tanEBN，则cosEBN，可得，由BA12，则，可知A1到平面MNG的距离为A1E20支付宝和微信支付是目前市场占有率较高的支付方式，某第三方调研机构对使用这两种支付方式的人数作了对比从全国随机抽取了100个地区作为研究样本，计算了各个地区样本的使用人数，其频率分布直方图如图（1）记A表示事件“微信支付人数低于50千人”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；支付人数50千人支付人数50千人总计微信支付支付宝支付总计（
18、3）根据支付人数的频率分布直方图，对两种支付方式的优劣进行比较附：P（K2K）0.0500.0100.001K3.8416.63510.828K2解：（1）根据题意，由微信支付人数的频率分布直方图可得：5P（A）（0.012+0.014+0.025+0.034+0.040）50.62；（2）根据题意，补全列联表可得：支付人50千人支付人50千人总计微信支付6238100支付宝支付3466100总计96104200则有K215.7056.635，故有99%的把握认为支付人数与支付方式有关；（3）由频率分布直方图可得，微信支付100个地区支付人数的平均数为：（27.50.012+32.50.014
19、+37.50.024+42.50.034+47.50.040+52.50.032+57.50.020+62.50.012+67.50.012）559.4247.1；支付宝支付100个地区支付人数的平均数为：（37.50.004+42.50.020+47.50.044+52.50.068+57.50.046+62.50.010+67.50.008）5510.4752.35，比较可得，故支付宝支付更加优于微信支付21设函数f（x）x2a（lnx+1）（a0）（1）证明：当a时，f（x）0；（2）若对任意的x（1，e），都有f（x）x，求a的取值范围解：（1）证明：由题意得f（x）的定义域为（0，+），令f（x）0可得所以当时，f（x）0，当时，f（x）0故f（x）在上单调递减，在上单调递增所以f（x）的最小值，所以，故，所以当时，f（x）0（2）对任意的x（1，e），都有f（x）x0，f（x）x0在（1，e）上恒成立，（分离参数）故在（1，e）上恒成立，ag（x）max令，在（1，e）上恒大于0，g（x）在（1，e）上单调递增，g（x）的最大值为，