1、第 15 单元 功和能 动能定理基础自主梳理 一、动能1.定义:物体由于运动而具有的能叫动能.2.公式:Ek=12mv2,其中 v 为瞬时速度,所以动能是状态量.3.单位:焦耳,1J=1Nm=1kgm2/s2.4.矢标性:动能是标量,只有大小,没有方向,且没有负值.5.动能的变化:末动能与初动能的变化,即 E=Ek2-Ek1.物体的动能具有相对性的原因是什么?如何求出动能的变化量?提示:计算动能的速度为物体运动的瞬时速度,与参考系的选取有关,因此动能具有相对性.同一物体对于不同的参考系,动能的大小可能不同;动能的变化量是 E=E 末-E 初,物体的末动能可能小于物体的初动能,故物体动能的变化量
2、可能为负.基础自主梳理 二、动能定理1.内容:作用在物体上的合外力的总功等于物体动能的增量.2.表达式:W 合=Ek2-Ek1=12 22 12 12.对于动能定理能否像牛顿第二定律一样,分方向列方程求解?在处理动力学问题时,如何选择这两个规律解答问题?提示:由于动能定理是标量表达式,因此不存在某个方向上的分量表达式,它不像牛顿第二定律那样,能分别在 x 轴、y 轴上列方程,动能定理只能对应某个过程列方程.在研究某一物体受到力的持续作用而发生状态改变时,如涉及位移和速度而不涉及时间时应首先考虑应用动能定理,而后考虑牛顿定律、运动学公式,如涉及加速度时,先考虑牛顿第二定律.在一般情况下,用牛顿第
3、二定律和运动学知识可以解决的问题,都可以用动能定理解决,并且方法更简捷.反之则不一定,因此应该有主动应用动能定理分析问题的意识.要点研析突破 应用动能定理解题的基本思路1.动能定理的理解与解题步骤表达式W 合=21222121mvmv W 合的意义(1)W 合是所有外力对物体做的总功,等于所有外力对物体做功的代数和.即 W 合=W1+W2+W3+.若物体所受外力为恒力.W 合=F 合xcos.(2)W 合0,则表示合外力作为动力对物体做功.物体的动能增加,即Ek0.W 合0 则表示合外力作为阻力对物体做功.物体的动能减少,即Ek0.要点一要点研析突破 解题步骤(1)选取研究对象,明确它的运动过
4、程.(2)正确分析物体的受力情况(包括重力、弹力等),确定各力的做功大小及正、负情况.(3)明确物体运动的始、末状态的速度情况,写出初、末状态的动能表达式 Ek1、Ek2.(4)列出动能定理方程 W 合=Ek2-Ek1及其必要的解题方程,进行求解.(5)检验答案,对结果进行分析和讨论.要点研析突破 注意事项(1)做功的过程是能量转化的过程,动能定理表达式中的“=”的意义是一种因果联系的数值上相等的符号,它并不意味着“功就是动能增量”,也不意味着“功转变成了动能”,而是意味着“功引起物体动能的变化”.(2)动能定理的计算式为标量式,位移x和速度v必须是相对于同一个参考系的,一般以地面为参考系.动
5、能定理应用广泛,直线运动、曲线运动、恒力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用.(3)运用动能定理解题的方法主要有整体法(全过程法)和等效法等.(4)当物体的运动是由几个物理过程所组成,又不需要研究过程的中间状态时,可以把这几个物理过程看做一个整体进行研究,从而避开每个运动过程的具体细节,具有过程简明、方法巧妙、运算量小等优点;等效法是指有时候可用动能的增量等效代换变力所做的功.(5)涉及单个物体(或可看成单个物体的物体系)的受力与位移问题时优先考虑动能定理.要点研析突破 例1(2015浙江卷)如图所示，用一块长L1=1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌面高H=0.8 m，长L2
6、=1.5 m.斜面与水平桌面的倾角可在060 间调节后固定.将质量m=0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数1=0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失.(重力加速度取g=10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)要点研析突破(1)求角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)(2)当增大到37 时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数2；(已知sin 37=0.6，cos 37=0.8)(3)继续增大角，发现=53时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离Xm.思维导引 物块在斜面受哪几个力，能否下滑的标志
7、是什么？全过程共有哪几个力做功，功的正负；落地点与墙面距离最大的条件是什么？解析：(1)为使小物块下滑mgsin 1mgcos 满足的条件tan 0.05 (2)克服摩擦力做功Wf1mgL1cos+2mg(L2-L1cos)由动能定理得mgL1sin-Wf=0 代入数据得2=0.8(3)由动能定理得mgL1sin-Wf=1/2mv2代入数据得v=1 m/s H=1/2gt2 t=0.4 s X1=vt X1=0.4 m Xm=x1+L2=1.9 m 答案：(1)tan0.05 (2)0.8 (3)1.9 m感悟提升：凡涉及功、位移、初末速度和动能等力学问题，在明确初末状态和位移的情况下，一般优
8、先考虑使用动能定理解题.要点研析突破 1.(2015全国新课标卷)如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平.一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道.质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小.用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功.则(C )A.W=1/2mgR,质点恰好可以到达Q点B.W1/2mgR，质点不能到达Q点C.W=1/2mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离D.W1/2mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离要点研析突破 解析：在N点对质点受力分析，得F-mgmv2/R，其中F
9、=F压=4mg，得1/2mv2=3/2mgR，根据动能定理有mg2R-W=1/2mv2-0，解得W1/2mgR，假设质点能够达到Q点，根据动能定理有-mgR-W=1/2mvQ2-1/2mv2，从N到Q的过程中，速度减小，与轨道间压力较小，故摩擦力较小即W0因而质点到达Q点后，继续上升一段距离.要点研析突破 2.(2016黄冈市高三年级春季期末调考)如图所示，已知物体与三块材料不同的地毯间的动摩擦因数分别为、2和3，三块材料不同的地毯长度均为l，并排铺在水平地面上，该物体以一定的初速度v0从a点滑上第一块，则物体恰好滑到第三块的末尾d点停下来，物体在运动中地毯保持静止.若让物体从d点以相同的初速
10、度水平向左运动，则物体运动到某一点时的速度大小与该物体向右运动到该位置的速度大小相等，则这一点是(C )A.a点B.b点C.c点D.d点解析：要点研析突破 动能定理的妙用(1)应用动能定理求变力的功变力的功不能直接用功的公式 W=Fxcos求解,一般情况下应用动能定理求变力的功比较容易.(2)用动能定理判断能量的改变做功的过程就是能量的转化过程.做功的数值就是能量的转化数值,这是功能关系的普遍意义.不同形式的能的转化又与不同形式的功相联系.合外力(包括重力)做功等于物体动能改变量.与势能有关的力(重力、弹簧弹力、电场力、分子力)做功等于势能的改变量.要点二要点研析突破 如图甲所示,一条轻质弹簧
11、左端固定在竖直墙面上,右端放一个可视为质点的小物块,小物块的质量为 m=1.0kg,当弹簧处于原长时,小物块静止于 O 点,现对小物块施加一个外力 F,使它缓慢移动,将弹簧压缩至 A 点,压缩量为 x=0.1m,在这一过程中,所用外力 F 与压缩量的关系如图乙所示.然后撤去 F 释放小物块,让小物块沿桌面运动,已知 O 点至桌边 B 点的距离为L=2x,水平桌面的高为 h=5.0m,计算时可认为滑动摩擦力近似等于最大静摩擦力.(g 取 10m/s2)求:(1)在压缩弹簧的过程中,弹簧的最大弹性势能;(2)小物块到达桌边 B 点时速度的大小;(3)小物块落地点与桌边 B 点的水平距离 x.要点研
12、析突破 思维导引F x 图象与 x 轴所围“面积”是什么含义?怎样计算力 F 做的功?弹簧的弹性势能与对应弹簧的弹力所做的负功有什么关系?怎样计算弹力做的功?小物块从 A 到达桌边 B 点,哪些力做了功?怎样计算 B 点速度的大小?要点研析突破 解析:(1)取向左为正方向,从 F x 图象中可以得出,x=0 时对应的 F 的值为小物块与桌面的滑动摩擦力的大小,即 Ff=1.0N设压缩过程中克服弹簧的弹力做功为 W 弹由动能定理得:WF-Ffx-W 弹=0由 F x 图象可知,WF=1.0+47.020.1J=2.4J解得,W 弹=2.3J故弹簧的最大弹性势能为 Ep=W 弹=2.3J.(2)对
13、小物块从 A 点到 B 点的运动过程,由动能定理得,W 弹-Ff(L+x)=12 2-0解得,vB=2m/s.(3)小物块从 B 点开始做平抛运动 h=12gt2解得下落时间 t=1s所以水平距离 x=vBt=2m.答案:(1)2.3J(2)2m/s(3)2m要点研析突破 感悟提升:本题以弹簧为载体,结合图象来综合考查动能、动能定理的内容.这种综合度大,但并不是太复杂、难度并不是太大的试题在高考试卷中经常出现.这类题的综合信息强,要求考生的能力也相对较高,使高考命题与新课标的要求靠得更紧密一些,是近年高考命题的基本趋势.其中弹簧弹力是变力,应用动能定理求解,这是变力做功的常见方法之一.要点研析
14、突破 3.(2016杭州市三模)质量为10 kg的物体，在变力F作用下沿x轴做直线运动，力随位移s的变化情况如图所示.物体在s=0处速度为1 m/s，一切摩擦不计，则物体运动到s=16 m处时，速度大小为(B )A.22 m/s B.3 m/sC.4 m/s D.17 m/s解析：力-位移图线与横轴所围的面积表示功，由图象可知，一部分正功与负功抵消，外力做的总功W=40 J，根据动能定理W=1/2mv2-1/2mv02，得v=3 m/s.选项B正确.要点研析突破 动能定理在求解多过程中的应用1.动力学的多过程问题:物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程(如加速、减速的过程),物体在运
15、动过程中运动性质发生变化,不同的运动过程其受力情况不同.单纯从动力学的角度分析多过程问题往往相当复杂.这时,动能定理的特性就明显地表现出来了.此时可以分段考虑,也可以对全过程考虑.利用动能定理认识这样一个过程,并不需要从细节上了解.在分析力的作用是看其做功,也只需要把所有的功累加起来而已.力是变力还是恒力,一个力是否一直在作用,这些显得更重要.2.应用动能定理求解多过程问题的思路:(1)了解由哪些过程组成,选哪个过程研究;(2)分析每个过程物体的受力情况;(3)各个力做功有何特点,对动能的变化有无贡献;(4)从总体上把握全过程,表达出总功,找出初、末状态的动能;(5)对所研究的全过程运用动能定
16、理列方程.要点三要点研析突破 例3(2016南昌市三模)如图是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径R=2 m，入口的平直轨道AC和出口的平直轨道CD均是粗糙的，质量m=2 kg的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为=0.5，加速阶段AB的长度l=3 m，小车从A点由静止开始受到水平拉力F=60 N的作用，在B点撤去拉力，试问：(1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在C点的速度为多少?(2)满足第(1)的条件下，小车能沿着出口平直轨道CD滑行多远的距离?(3)要使小车不脱离轨道，平直轨道BC段的长度范围?要点研析突破 思维导引 小车能通过轨道最高点的条件是什么？全程共有哪几个力做功，功的正负
17、如何？小车不脱离轨道意味道什么，是否是唯一情形？解析：(1)设小车恰好通过最高点的速度为v0，则有mg=mv02/R 由C点到最高点满足机械能守恒定律，有1/2mvC2=mg2R+1/2mv02解得vC=10 m/s (2)小车由最高点滑下到最终停在轨道CD上，由动能定理有mg2R-mgxCD=0-1/2mv02联立解得XCD=10 m (3)小车经过C点的速度VC10 m/s就能做完整圆周运动.小车由A到C由动能定理得Fl-mg(l+xBC)=1/2mvC2解得xBC5 m小车进入圆轨道时，上升的高度hR=2 m时，小车返回而不会脱离轨道，由动能定理有Fl-mg(l+xBC)-mgh=0解得
18、xBC11 m综上可得，xBC5 m或者xBC11 m小车不脱离轨道答案：(1)10 m/s (2)10 m (3)xBC5 m或者xBC11 m感悟提升：运用动能定理，必须明确哪些力做正功，哪些力做负功.求解临界问题时，还需知道临界条件.要点研析突破 4.(2014广东汕头一模,改编)如图,Q 为一个原来静止在水平面上的物体,其 DB 段为一半径为R 的光滑圆弧轨道,AD 段为一长度为L=R 的粗糙水平轨道,二者相切于 D 点,D 在圆心O的正下方,整个轨道位于同一竖直平面内.物块P 的质量为 m(可视为质点),P 与AD 间的动摩擦因数=0.1,物体 Q 的质量为 M=2m,重力加速度为
19、g.若 Q 固定,P 以速度v0 从A 点滑上水平轨道,冲至 C 点后返回 A 点时恰好静止,求 v0 的大小和 P 刚越过 D 点时对 Q 的压力大小.要点研析突破 解析:P 从 A 到 C 又返回 A 的过程中,只有 AD 段和 DA 段的摩擦力做功,由动能定理有-mg2L=0-12 02将 L=R 代入解得 v0=25 若 P 在 D 点的速度为 vD,从 A 到 D 的过程中,由动能定理得-mgL=12 2 12 02刚越过 D 时,若 Q 对 P 的支持力为 FD,根据牛顿定律有 FD-mg=m2 联立式解得 FD=1.2mg由牛顿第三定律可知,P 对 Q 的压力大小也为 1.2mg
20、.答案:25 1.2mg速效提升训练 1.(多选)(2016乐山市二诊)如图所示，电梯质量为M，在它的水平地板上放置一质量为m的物体.电梯在钢索的拉力作用下由静止开始竖直向上加速运动，当上升高度为H时，电梯的速度达到v，则在这个过程中，以下说法中正确的是(BD)A.电梯地板对物体的支持力所做的功等于mv2 /2B.电梯地板对物体的支持力所做的功大于mv2/2C.钢索的拉力所做的功等于mv2/2+MgHD.钢索的拉力所做的功大于mv2/2+MgH解析:以物体为研究对象，由动能定理WN-mgH=1/2mv2,即WN=mgH+1/2mv2，选项B正确，选项A错误;以系统为研究对象，由动能定理得：WT
21、-(m+M)gH=1/2(M+m)v2,即WT1/2(M+m)v2+(M+m)gHmv2/2+MgH，选项D正确，选项C错误.速效提升训练 2.如图所示，在北戴河旅游景点之一的滑沙场有两个坡度不同的滑道AB和AB(都可看作斜面).甲、乙两名旅游者分乘两个滑沙橇从插有红旗的A点由静止出发同时沿AB和AB滑下，最后都停在水平沙面BC上，设滑沙橇和沙面间的动摩擦因数处处相同，滑沙者保持一定姿势坐在滑沙橇上不动，下列说法中正确的是(D )A.甲在B点的速度等于乙在B点的速度B.甲的滑行总路程比乙的短C.甲全部滑行过程的水平位移一定比乙全部滑行过程的水平位移大D.甲、乙停止滑行后回头看A处的红旗时视线的
22、仰角一定相同解析：如图所示，设旅游者从A点滑下停在C点，由动能定理得全程：mgh-mgcos L1cos-mgL2=0 AB:mgh-mgcos L1cos=12mvB2 由得L1+L2=h与无关，故甲、乙停在水平沙面BC上的同一点，甲滑动的总路程比乙长，但水平位移相同停在同一点，看A处的红旗时仰角相同由得vB=2gh-2gL1，由于L甲2,此时小球对轨道的压力 F2=mg+m32 5mg,C、D 两项错.答案:B速效提升训练 5.(2016湖北八校第三次联考)如图甲所示，一质量为m=1 kg的物块静止在粗糙水平面上的A点，从t=0时刻开始，物块受到按如图乙所示规律变化的水平力F作用并向右运动，第3 s末物块运动到B点时速度刚好为0，第5 s末物块刚好回到A点，已知物块与粗糙水平面之间的动摩擦因数=0.2(g取10 m/s2)，求：(1)A与B间的距离；(2)水平力F在5 s内对物块所做的功.速效提升训练 解析：(1)在35 s内物块在水平恒力F作用下由B点匀加速运动到A点，设加速度为a，A与B间的距离为s，则F-mg=ma,解得a=2 m/s2s=12at2=4 m(2)设物块回到A点时的速度为vA，由vA2=2as得vA=4 m/s设整个过程中F做的功为WF，由动能定理得：WF-2mgs=12mvA2解得：WF=24 J答案：(1)4 m(2)24 J答案：