1、增城中学2015-2016学年度第一学期高三年级综合测试（二）数学(理科)命题人：钟康生 审题人：李勋说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。第卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分1. 已知是实数，若是纯虚数，则（ ）A2 BCD2. 设cos() ()，那么的值为（ ）A B. C D3. 由直线，曲线，轴和轴所围成的封闭图形的面积是（ ）A. B. C. D. 4. 已知两向量、满足，则与的夹角为（ ）A. B. C. D. 5. 执行右边的程序框图，若0.8，则输出的（ ）A4 B5 C6 D36. “成等差数列”是“”成立的（ ）
2、A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件7. 设已知数列对任意的，满足，且，那么等于（ ） A.3 B.5 C.7 D.9 8. 设变量，满足约束条件：则的最大值为（ ）A2 B C4 D3 9某几何体的三视图如下图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的表面积是（ ） A96 B80 C D10函数的大致图象是（ ） A B C D 11球的球面上有四点、，其中、四点共面，为球心，是边长为2的正三角形，不在所在的平面上，则棱锥的体积的最大值为（ ）A. B. C. D. 12若满足，满足，函数，则关于的方程解的个
3、数是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。13. 等差数列中，该数列前项和为，则= 14. 的展开式的常数项是 15已知双曲线的半焦距为，直线过,两点，若直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为 16. 已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的是 （填上正确的序号）； ； ； 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）的三个内角对应的三条边长分
4、别是,且满足（I）求的值；（II）若, ，求和的值18.（本小题满分12分）某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量1152天数102515频率02 若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立 （I）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为15吨的概率； （II）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望19.（本小题满分12分）如图,正方形与梯形所在平面互相垂直,点在线段上且不与,重合.（I）当点是中点时,求证:平面.（II）当三棱锥的体积为时,求平面与平面夹角的余弦值.20.（本小题满分
5、12分）已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（I）求椭圆C的标准方程. （II）若直线L：与椭圆C相交于A、B两点，且，求证：的面积为定值.21.(本小题满分12分) 已知函数（I）若在处取得极值，求的值（II）求函数在上的最大值请考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分做答时请写清题号。22.（本小题满分10分） 选修41：几何证明选讲如图，四边形是圆内接四边形，、的延长线交于点，且， （I）求证：； （II）当，时，求的长23.（本小题满分10分） 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）
6、，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为（I）求曲线与交点的极坐标（）；（II）若点是曲线上一动点，求点到曲线的最短距离24.（本小题满分10分） 选修45：不等式选讲设函数（I）求不等式的解集；（II）若关于的不等式在上无解，求实数的取值范围学校： 班级： 姓名： 学号：_试室号： 座位号： 密封线内不得答题增城中学2015-2016学年度第一学期高三年级综合测试（二）数学(理科) 答题卷题号选择题填空题17题18题19题20题21题（22，23，24）题总分得分二、填空题：13 14 15. . 16 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明
7、过程或演算步骤17（本小题满分12分）座位号18（本小题满分12分）19(本小题满分12分)20(本小题满分12分) 21（本小题满分12分）密封线内不得答题22题（ ）， 23题（ ）， 24题（ ）（本小题满分10分）（请在选做题号括号内打“” , 如果多做，则按所做的第一题计分）增城中学2015-2016学年度第一学期高三年级综合测试（二）数学(理科)参考答案一、选择题1-5 ABDCA 6-10 ABDCB 11-12 AC二、填空题1336 14 15 16 三、解答题：（17）解：（）因为，由正弦定理：由 3分所以，； 6分（）由，则， 8分 10分由， 12分18解：（）， 2分
8、依题意，随机选取一天，销售量为吨的概率，设5天中该种商品有天的销售量为1.5吨，则，5分（）的可能取值为，6分 则：， ，, ,， 所以的分布列为：456780.040.20.370.30.0910分 的数学期望12分19解：（）(解法一)以,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图,则,所以=, 2分平面的一个法向量=.因为,所以,即平面.5分(解法二)取的中点,连接和,，且，则四边形为平行四边形. 3分从而,又， 所以平面. 5分（）因为,所以.6分又求得,所以,所以.8分设平面的法向量,又,则,.令,则, 10分平面的法向量,=,所以平面与平面夹角的余弦值为.12分(解法二)因为,所以.
9、6分又求得,所以,过点作，垂足为，可知，再过点作，垂足为，连接，由三垂线定理，可知就是平面与平面的夹角. 8分过点作，垂足为，=，又，所以，则10分在中，故=，所以平面与平面夹角的余弦值为.12分20解：（）由题意得，又联立解得，椭圆的方程为. 4分（）设，则A,B的坐标满足消去y化简得， ， ，得 7分=。，即 即 9分=。O到直线的距离10分=为定值. 12分21解：(1)因为，所以函数的定义域为，所以=，2分因为在处取得极值，即，所以. 3分当时，在内，在内， 所以是函数的极小值点，所以. 4分(2)因为，所以，5分= ，因为，所以，所以在上是增加的；在上是减少的.当时，在上是增加的，所
10、以. 7分当，即时，在上是增加的，在上是减少的，所以;9分当，即时，在上是减少的，所以.11分综上所述，时，函数在上的最大值是;当时，函数在上的最大值是;当时，函数在上的最大值是. 12分考生在第22、23、24题中任选一题做答。如果多做，则按所做的第一题计分，评卷时请注意看清题号。22（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲【解】()证明： 因为四边形为圆内接四边形,所以1分 又所以，则.3分 而，所以.4分又，从而 5分 ()由条件得 .6分 设，根据割线定理得 ，即 所以，解得 ,即.10分 23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程【解】（）曲线与的普通方程分别为 （）， 2分 解方程组，得 , （舍去） 4分 曲线与交点的极坐标分别为 6分（）曲线的普通方程为，即， 圆心为，半径， 7分 圆心到直线：的距离为 9分 曲线上的动点到曲线的最短距离为 10分24（本小题满分10分）选修45：不等式选讲【解】（）2分所以原不等式转化为，3分所以原不等式的解集为 5分（）因为关于的不等式在上无解，转化为当时， 6分由（）知，当时，最大值为；当时，最大值为当时， 8分由，解得或 10分
