1、要点导学各个击破直线与圆的方程例1如图,在RtABC中,A为直角,AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在直线AC上,斜边中点为M(2,0).(例1)(1) 求BC边所在直线的方程;(2) 若动圆P过点N(-2,0),且与RtABC的外接圆相交所得公共弦长为4,求动圆P中半径最小的圆的方程.【分析】第一小问中先根据直线lAB表示出直线lAC,再利用直线方程设出B,C两点的坐标,利用中点M,求出B,C两点的坐标,从而确定直线BC的方程.第二问先设出P点坐标,并用其表示圆P的方程,再利用公共弦长为4,求出横纵坐标之间的关系,最后求出半径的最小值,即可得到所求圆的方程.【解答】(1
2、) 因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,AC与AB垂直,所以直线AC的斜率为-3.故AC边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),即3x+y+2=0.设C为(x0,-3x0-2),因为M为BC中点,所以B(4-x0,3x0+2).将点B代入x-3y-6=0,解得x0=-,所以C.所以BC边所在直线方程为x+7y-2=0.(2) 因为RtABC斜边中点为M(2,0),所以M为RtABC外接圆的圆心.又AM=2,从而RtABC外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.设P(a,b),因为动圆P过点N,所以该圆的半径r=,圆P的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.由于圆P与圆M相交,则公共弦
3、所在直线的方程m为(4-2a)x-2by+a2+b2-r2+4=0.因为公共弦长为4,r=2,所以M(2,0)到直线m的距离d=2,即=2,化简得b2=3a2-4a,所以r=.当a=0时,r取最小值为2,此时b=0,圆的方程为x2+y2=4.【点评】对于直线和圆的方程的求解问题,一般都采用待定系数法,即根据所给条件特征恰当的选择方程,将几何性质转化为代数的方程,解方程即可.直线与圆、圆与圆的位置关系例2(2013江苏卷)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(例2)(1) 若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方
4、程;(2) 若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围.【分析】本题主要考查待定系数法求直线与圆的方程以及直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系等基础知识,对运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力要求较高.【解答】(1) 由得圆心C为(3,2),因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.所以=1,所以=,即2k(4k+3)=0,解得k=0或k=-.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2) 因为圆C的圆心在直线
5、l:y=2x-4上,所以圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+=1.又因为MA=2MO,所以设M(x,y),则=2,整理得x2+(y+1)2=4,设为圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以.由5a2-8a+80得aR,由5a2-12a0得0a.综上所述,a的取值范围为.【点评】本题利用条件MA=2MO求出点M的轨迹方程,发现动点M的轨迹是一个圆,从而把圆C上存在点M使MA=2MO转化为两圆有公共点是解题的关键.变式(2014南通期末)已知集合M=(x,y)|x-3yx-1,N=P|PAPB,A(-1,0),B(1,0),则MN表示的图形的面积等于.【答案】
6、+2【解析】在集合N中,设点P(x,y),由PA=PB,得(x+1)2+y22(x-1)2+y2,整理得(x-3)2+y28.所以点P的轨迹是圆心为(3,0)的圆,MN表示的图形如图阴影部分所示,由于直线y=x-3过圆心(3,0),圆心(3,0)到直线y=x-1的距离为=,直线y=x-1与圆的两个交点对圆心的张角为120,所以阴影部分面积为(2)2sin120+(2)2=2+.(变式)定点、定值问题例3在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+y2=r2和直线l:x=4(其中r为常数,且0r4),M为l上一动点,A1,A2为圆C与x轴的两个交点,直线MA1,MA2与圆C的另一个交点分别为P,Q
7、.(1) 若r=2,点M的坐标为(4,2),求直线PQ的方程;(2) 求证:直线PQ过定点,并求定点的坐标.【分析】第(1)小问只需要根据M,A1,A2这三点坐标,求出P,Q两点的坐标即可.第(2)小问先设M点坐标,再根据M,A1,A2这三点坐标,求出P,Q两点的坐标得到直线PQ,再证明该直线过定点.【解答】(1) 当r=2,M(4,2),则A1(-2,0),A2(2,0).直线MA1的方程为x-3y+2=0,联立解得P.直线MA2的方程为x-y-2=0,联立解得Q(0,-2).由两点坐标得直线PQ的方程为2x-y-2=0.(2) 由题设得A1(-r,0),A2(r,0).设M(4,t),则直
8、线MA1的方程为y=(x+r),直线MA2的方程为y=(x-r),联立解得P.联立解得Q.于是直线PQ的斜率kPQ=,直线PQ的方程为y-=.由对称性可得,定点一定在x轴上.令y=0,得x=,是一个与t无关的常数,故直线PQ过定点.【点评】直线过定点问题的处理方法有两种:一是先求出直线的方程,然后再判断定点的位置,最后根据点的位置求出定点坐标,难度在于根据点坐标表示直线方程时,带了较多的参数,对含字母等式的化简有较高要求.二是先特殊,即根据特殊的直线,求出定点坐标,再用三点共线证明两个动点的直线也过该点,第二种方法运算量较小.变式如图,在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+1)2+y2=
9、1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=1.(变式)(1) 若过点C1(-1,0)的直线l被圆C2截得的弦长为,求直线l的方程.(2) 设动圆C同时平分圆C1、圆C2的周长.求证:动圆圆心C在一条定直线上运动;动圆C是否经过定点?若经过,求出定点的坐标;若不经过,请说明理由.【分析】本题主要考查点到直线的距离、直线与圆的方程、直线被圆截得的弦长等基础知识,曲线过定点等典型的恒成立问题,以及数形结合、待定系数法等数学思想和方法.【解答】(1) 显然直线l的斜率一定存在,设直线l的方程为y=k(x+1),即kx-y+k=0.因为直线l被圆C2截得的弦长为,圆C2的半径为1,所以圆心C2(3,4)到
10、l:kx-y+k=0的距离为=,化简得12k2-25k+12=0,解得k=或k=.所以直线l的方程为4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.(2) 设圆心C(x,y),由题意,得CC1=CC2,即=,化简得x+y-3=0,即动圆圆心C在定直线x+y-3=0上运动.设圆C过定点,则C(m,3-m),动圆C的半径为=.于是动圆C的方程为(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2,整理得x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0.由得或所以定点的坐标为,.【点评】曲线过定点一般转化为恒成立问题解决,如本题中,“无论m为何值,圆(x-m)2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(
11、3-m)2过定点”转化为x2+y2-6y-2-2m(x-y+1)=0恒成立,因此只需m的系数为零即可(与m无关).1. 若直线l1:x+2y-4=0与l2:mx+(2-m)y-1=0平行,则实数m=.【答案】【解析】由直线平行的充要条件得1(2-m)-2m=0,1(-1)+4m0,解得m=.2.(2014安徽卷)若过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是.【答案】【解析】方法一:数形结合,易知直线x=-1是圆的切线,倾斜角为0,符合题意,而原点与P(-,-1)的连线与直线x=-1的夹角为,由对称性知过点P(-,-1)的另外一条切线的倾斜角为,故倾斜角的
12、取值范围是.方法二:易知直线斜率存在,设直线方程为y+1=k(x+),即kx-y+k-1=0,由题意知原点到直线的距离不大于半径,所以d=1,解得0k,所以倾斜角的取值范围是.3. 若圆x2+y2+ax+2=0与直线l相切于点A(-3,1),则直线l的方程为.【答案】x-y+4=0【解析】由题知点A(-3,1)在圆上,所以9+1-3a+2=0,得a=4,故圆的方程为(x+2)2+y2=2,圆心P(-2,0),kPA=-1,所以直线l的斜率k=1,直线方程为y-1=x+3,即x-y+4=0.4. 已知点A(a,1)和曲线C:x2+y2-x-y=0,若过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点,则实
13、数a的取值范围是.【答案】0,1【解析】圆的一般方程化为标准方程为+=,所以圆心坐标为,半径r=.当y=1时,方程x2+y2-x-y=0可化为x2-x=0,解得x=0或x=1.要使过点A的任意直线都与曲线C至少有一个交点,则点A应该在圆上或圆内,则a应满足0a1.即实数a的取值范围为0,1.5. (2014南京三模)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+y2=4,P为圆C上一点.若存在一个定圆M,过点P作圆M的两条切线PA,PB,切点分别为A,B,当点P在圆C上运动时,使得APB恒为60,则圆M的方程为.【答案】(x-1)2+y2=1【解析】由题可知M(1,0),设圆M的半径为r,因为APB=60,所以APM=30,故PM=2r=2,即r=1,所以圆M的方程为(x-1)2+y2=1.