1、2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|y=log2（x1），B=x|x2m1，且ARB，那么m的最大值是（）A1B2C3D42下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）ABCf（x）=lnx2，g（x）=2lnxD3幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）AB1CD24某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+165设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则m
2、nCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则6设a=log36，b=log510，c=log714，则（）AcbaBbcaCacbDabc7若函数y=f（x）的定义域为1，2，则y=f（x+1）的定义域为（）A2，3B0，1C1，0D3，28若xlog23=1，则3x+9x的值为（）A3B6C2D9函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（1，3）C（1，3D3，+）10已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）ABCD11已知函数f（x）是R上
3、的增函数，A（0，1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|1的解集是（）A（1，4）B（1，2）C（，14，+）D（，12，+）12如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A48B18C24D36二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡对应题号后的横线上）13正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为14已知函数f（n）=，其中nN，则f（8）等于15若定义域为a2，a+4的函数f（x）=（a+2）x2
4、+（k1）xa是偶函数，则y=|f（x）|的递减区间是16已知函数f（x）=logax+xb（a0，且a1）当2a3b4时，函数f（x）的零点x0（n，n+1），nN*，则n=三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17若函数f（x）=x2+2，g（x）=4x1的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T（）若A=1，2，求ST；（）若A=1，m（m1），且S=T，求实数m的值18在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，PA面ABCD，PA=，E，F分别为BC，PA的中点（I）求证：BF面PDE；（）求二面角DPEA
5、的大小的正弦值；（）求点C到面PDE的距离19已知函数f（x）=2|x2|+ax（xR）有最小值（1）求实常数a的取值范围；（2）设g（x）为定义在R上的奇函数，且当x0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式20如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（）证明：A1C平面BED；（）连结A1B，求二面角A1DBE的正弦值21已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2x1，且f（0）=3（1）求f（x）的解析式；（2）若x1，1时，f（x）2mx恒成立，求实数m的取值集合22已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数
6、（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围2015-2016学年广西柳州市铁路一中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|y=log2（x1），B=x|x2m1，且ARB，那么m的最大值是（）A1B2C3D4【考点】集合的包含关系判断及应用；集合的表示法【分析】确定集合A，求集合RB，根据集合的基本运算即可求ARB，再根据范围确定m的最大值【解答】解：集合A=x|y=log2（x1）=x|x1，B
7、=x|x2m1，RB=x|x2m1由题意：ARB，2m11解得：m1因此m的最大值为1故选A：2下列四组函数中，表示同一函数的一组是（）ABCf（x）=lnx2，g（x）=2lnxD【考点】判断两个函数是否为同一函数【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否一致，否则不是同一函数【解答】解：A函数f（x）=|x|，两个函数的对应法则不一致，不是同一函数B函数g（x）=x，x0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数C函数y=2lnx的定义域为x|x0，y=lnx2的定义域为x|x0，两个函数的定义域不相同，不表示同一函数D函数f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为R，两个函数的定义域相同，
8、对应法则相同，表示同一函数故选：D3幂函数f（x）=kx的图象过点，则k+=（）AB1CD2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】由函数f（x）=kx是幂函数，根据幂函数的定义可知，其系数k=1，再将点的坐标代入可得值，从而得到幂函数的解析式【解答】解：函数f（x）=kx是幂函数，k=1，幂函数f（x）=x的图象过点，（）=，得=，则k+=1+=故选C4某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A16+8B8+8C16+16D8+16【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，由此求出它的体积【解答】解：根据几何体
9、的三视图，得；该几何体是下面为半圆柱，上面为长方体的组合体，半圆柱的底面半径为2，高为4，半圆柱的体积为：224=8；长方体的长宽高分别为4，2，2，长方体的体积为422=16，该几何体的体积为V=16+8故选：A5设m，n是两条不同直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是（）Am，n且，则mnBm，n且，则mnCm，n，mn，则Dm，n，m，n，则【考点】平面与平面垂直的性质【分析】对于A、由面面平行的判定定理，得A是假命题对于B、由m，n且，可知m与n不平行，借助于直线平移先得到一个与m或n都平行的平面，则所得平面与、都相交，根据m与n所成角与二面角平面角互补的结论对于C、通过直线与平面平
10、行的判定定理以及平面与平面平行的性质定理，判断正误即可；对于D、利用平面与平面平行的判定定理推出结果即可【解答】解：对于A，若m，n且，说明m、n是分别在平行平面内的直线，它们的位置关系应该是平行或异面，故A错；对于B，由m，n且，则m与n一定不平行，否则有，与已知矛盾，通过平移使得m与n相交，且设m与n确定的平面为，则与和的交线所成的角即为与所成的角，因为，所以m与n所成的角为90，故命题B正确对于C，根据面面垂直的性质，可知m，n，mn，n，也可能=l，也可能，故C不正确；对于D，若“m，n，m，n”，则“”也可能=l，所以D不成立故选B6设a=log36，b=log510，c=log71
11、4，则（）AcbaBbcaCacbDabc【考点】对数值大小的比较；不等关系与不等式【分析】利用loga（xy）=logax+logay（x、y0），化简a，b，c然后比较log32，log52，log72大小即可【解答】解：因为a=log36=1+log32，b=log510=1+log52，c=log714=1+log72，因为y=log2x是增函数，所以log27log25log23，所以log32log52log72，所以abc，故选D7若函数y=f（x）的定义域为1，2，则y=f（x+1）的定义域为（）A2，3B0，1C1，0D3，2【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数的定义
12、域的定义，自变量的取值范围为函数的定义域由函数y=f（x）的定义域为1，2，得到1x+12求解【解答】解：函数y=f（x）的定义域为1，2，1x+120x1y=f（x+1）的定义域为0，1故选B8若xlog23=1，则3x+9x的值为（）A3B6C2D【考点】指数式与对数式的互化【分析】有对数的换底公式知x=，再由对数恒等式即可求解【解答】解：由题意x=，所以3x=2，所以9x=4，所以3x+9x=6故选B9函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则a的取值范围是（）A（0，1）B（1，3）C（1，3D3，+）【考点】复合函数的单调性【分析】由已知中f（x）=loga（6ax）在0
13、，2上为减函数，结合底数的范围，可得内函数为减函数，则外函数必为增函数，再由真数必为正，可得a的取值范围【解答】解：若函数f（x）=loga（6ax）在0，2上为减函数，则解得a（1，3）故选B10已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面A1B1C1所成角的大小为（）ABCD【考点】直线与平面所成的角【分析】利用三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，即为APA1为PA与平面ABC所成角利用三棱锥的体积计算公式可得AA1，再利用正三角形的性质可得A1P，在
14、RtAA1P中，利用tanAPA1=即可得出【解答】解：如图所示，AA1底面A1B1C1，APA1为PA与平面A1B1C1所成角，平面ABC平面A1B1C1，APA1为PA与平面ABC所成角=V三棱柱ABCA1B1C1=，解得又P为底面正三角形A1B1C1的中心，=1，在RtAA1P中，故选B11已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，1）、B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|1的解集是（）A（1，4）B（1，2）C（，14，+）D（，12，+）【考点】绝对值不等式的解法【分析】由题意得|f（x+1）|11f（x+1）1，即f（0）f（x+1）f（3）根据f（x）为R上的增函数，
15、可得0x+13，解出x【解答】解：由题意知f（0）=1，f（3）=1又|f（x+1）|11f（x+1）1，即f（0）f（x+1）f（3）又f（x）为R上的增函数，0x+131x2，故选 B12如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（）A48B18C24D36【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱的结构特征【分析】根据题目中：“正交线面对”的含义的正确理解，只要找出正方体中多少对线面垂直即可，分棱和面对角线进行讨论即得【解答】解：如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平
16、面构成一个“正交线面对”在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”，分情况讨论：对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有212=24个；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个；所以正方体中“正交线面对”共有36个选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡对应题号后的横线上）13正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为【考点】球内接多面体；球的体积和表面积【分析】正四棱锥PABCD的外接球的球心在它的高PE上，求出球的半
17、径，求出球的表面积【解答】解：如图，正四棱锥PABCD中，PE为正四棱锥的高，根据球的相关知识可知，正四棱锥的外接球的球心O必在正四棱锥的高线PE所在的直线上，延长PE交球面于一点F，连接AE，AF，由球的性质可知PAF为直角三角形且AEPF，根据平面几何中的射影定理可得PA2=PFPE，因为，所以侧棱长，PF=2R，所以18=2R4，所以R=，所以S=4R2=故答案为：14已知函数f（n）=，其中nN，则f（8）等于7【考点】函数的值【分析】根据解析式先求出f（8）=ff（13），依次再求出f（13）和ff（13），即得到所求的函数值【解答】解：函数f（n）=，f（8）=ff（13），则f（
18、13）=133=10，f（8）=ff（13）=103=7，故答案为：715若定义域为a2，a+4的函数f（x）=（a+2）x2+（k1）xa是偶函数，则y=|f（x）|的递减区间是（3，1），（0，1）【考点】函数奇偶性的性质【分析】定义域为a2，a+4的函数f（x）=（a+2）x2+（k1）xa是偶函数，得出a2+a+4=0，k=1，可得a，即可求出y=|f（x）|的递减区间【解答】解：定义域为a2，a+4的函数f（x）=（a+2）x2+（k1）xa是偶函数，a2+a+4=0，k=1，a=1，f（x）=x2+1（x3，3）y=|f（x）|的递减区间是（3，1），（0，1）故答案为（3，1），
19、（0，1）16已知函数f（x）=logax+xb（a0，且a1）当2a3b4时，函数f（x）的零点x0（n，n+1），nN*，则n=2【考点】函数零点的判定定理【分析】把要求零点的函数，变成两个基本初等函数，根据所给的a，b的值，可以判断两个函数的交点的所在的位置，同所给的区间进行比较，得到n的值【解答】解：设函数y=logax，m=x+b根据2a3b4，对于函数y=logax 在x=2时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，函数f（x）的零点x0（n，n+1）时，n=2，故答案为：2三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文
20、字说明，证明过程或演算步骤）17若函数f（x）=x2+2，g（x）=4x1的定义域都是集合A，函数f（x）和g（x）的值域分别为S和T（）若A=1，2，求ST；（）若A=1，m（m1），且S=T，求实数m的值【考点】集合的相等；交集及其运算【分析】（）若A=1，3，分别利用二次函数，一次函数的性质，求出S，T，再计算ST（）若A=1，m，同样地分别利用二次函数，一次函数的性质，求出S，T，根据集合相等的定义，求实数m的值【解答】解：（）由题意可得，S=3，6，T=3，7，所以ST=3，6；（）由题意可得，S=3，m2+2，T=3，4m1，因为S=T，所以m2+2=4m1，所以m24m+3=0
21、可得m=3 或m=1；又m1，所以m=318在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，PA面ABCD，PA=，E，F分别为BC，PA的中点（I）求证：BF面PDE；（）求二面角DPEA的大小的正弦值；（）求点C到面PDE的距离【考点】点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法【分析】（）取PD中点G，连结GF，由已知得四边形BEGF是平行四边形，从而BFEG，由此能证明BF面PDE（）作DHAE于H点，作HIPE于I点，连DI，由三垂线定理得DIH是二面角DPEA的平面角，由此能求出二面角DPEA的大小的正弦值（）以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂
22、线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到面PDE的距离【解答】（）证明：取PD中点G，连结GF，E，F分别为BC，PA的中点，底面ABCD是边长为2的菱形，GFBE，四边形BEGF是平行四边形，BFEG，BF平面PDE，EG平面PDE，BF面PDE（）解：作DHAE于H点，作HIPE于I点，连DI在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，BAD=60，PA面ABCD，PA=，DH平面PAE，由三垂线定理得DIH是二面角DPEA的平面角，AE=，DE=，cosAED=，sinAED=，SAED=，DH=，PD=，PE=，cosPED=，sinPED=，SPED
23、=，DI=，二面角DPEA的大小的正弦值为（）解：以A为原点，AD为x轴，在平面ABCD中过A作AD的垂线为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，），D（2，0，0），E（2，0），C（3，0），=（2，0，），=（2，），=（3，），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得，点C到面PDE的距离：d=19已知函数f（x）=2|x2|+ax（xR）有最小值（1）求实常数a的取值范围；（2）设g（x）为定义在R上的奇函数，且当x0时，g（x）=f（x），求g（x）的解析式【考点】带绝对值的函数；函数奇偶性的性质【分析】（1）分x2与x2讨论，将绝对值符号去掉，结合题
24、意f（x）有最小值，即可求得常数a的取值范围；（2）设x0，则x0，由题意可求得g（x）=（a2）x4，而当x0时，g（x）=f（x），从而可得g（x）的解析式【解答】解：（1）f（x）=2|x2|+ax，又函数f（x）=2|x2|+ax（xR）有最小值，2a2，即当2a2 f（x）有最小值；（2）g（x）为R上的奇函数，g（0）=g（0），得g（0）=0，设x0，则x0，由g（x） 为奇函数，得g（x）=g（x）=（a2）x4 g（x）=，20如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=4，点E在CC1上且C1E=3EC（）证明：A1C平面BED；（）连结A1B，求二面角A1D
25、BE的正弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定【分析】（）连结AC交BD于点F，推导出BDAC，BDA1C，连结EF交A1C于点G，推导出RtA1ACRtFCE，由此能证明A1C平面BED（）连结A1B，连结A1F，得到A1FE是二面角A1DBE的平面角，由此能求出二面角A1DBE的正弦值【解答】证明：（）依题设，AB=2，CE=1连结AC交BD于点F，则BDAC由三垂线定理知，BDA1C在平面A1CA内，连结EF交A1C于点G，RtA1ACRtFCE，AA1C=CFE，CFE与FCA1互余于是A1CEFA1C与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，A1C平面BED解：（）
26、连结A1B，连结A1F，A1B=A1D，DF=FB，A1FBD，又DC=BC，EFBD，A1FE是二面角A1DBE的平面角，又，二面角A1DBE的正弦值为21已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2x1，且f（0）=3（1）求f（x）的解析式；（2）若x1，1时，f（x）2mx恒成立，求实数m的取值集合【考点】二次函数的性质【分析】（1）设f（x）=ax2+bx+c（a0），由f（0）=3，f（x+1）f（x）=2ax+a+b=2x1，可求a，b，c，进而可求函数f（x）；（2）由m1，1时，不等式f（x）2mx恒成立，可得x22x+32mx0在x1，1上恒成立，令g（x）=x2（2m
27、+2）x+3，或，或，解得m的范围【解答】解：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a0），.1 分f（0）=3，c=3，又f（x+1）f（x）=2ax+a+b=2x1，a=1，b=2，故f（x）=x22x+3（2）因为m1，1时，不等式f（x）2mx恒成立，即x22x+32mx0在x1，1上恒成立令g（x）=x2（2m+2）x+3，或，或解得：m3，），故实数m的取值范围为：3，）22已知函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数（1）求k的值；（2）设g（x）=log4（a2xa），若函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围【考点】函数的图象【分析
28、】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论【解答】解（1）函数f（x）=log4（4x+1）+kx（kR）是偶函数f（x）=log4（4x+1）kx）=log4（）kx=log4（4x+1）+kx（kR）恒成立（k+1）=k，则k=（2）g（x）=log4（a2xa），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）=g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x=log4（a2xa），log4（）=log4（a2xa），方程等价于，设2x=t，t0，则（a1）t21=0有一解若a10，设h（t）=（a1）t21，h（0）=10，恰好有一正解a1满足题意若a1=0，即a=1时，h（t）=1，由h（t）=0，得t=0，不满足题意若a10，即a1时，由，得a=3或a=，当a=3时，t=满足题意当a=时，t=2（舍去）综上所述实数a的取值范围是a|a1或a=32016年12月7日
