1、2020-2021学年上学期高三期末考试文数试题考试时间：120分钟注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)一、单选题1已知复数，则等于（ ）ABCD2已知集合，集合，则（ ）A B CD3已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）AB1CD24在ABC中，“”是“AB”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5已知下表为与之间的一组数据，若与线性相关，则与的回归直线必过点( )x0123y1357A(2,2)B(1.5,0)C(1,2)D(1.5,4)6已知直线、经过圆的圆心，则 的最小值是A9 B8 C4 D
2、27已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是 ABCD8如图所示，在正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）A B CD9函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（ ）ABCD102019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款（德国4款，法国8款、荷兰4款），其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国，地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区一婴幼儿用品商店在售某品牌的奶粉共6袋，这6袋奶粉中有4袋含有芳香矿物油成分，则随机
3、抽取3袋恰有2袋含有芳香经矿物油成分的概率为（ ）ABCD11已知为双曲线右支上任意一点，与关于轴对称，为双曲线的左、右焦点，则（）A1B-1C2D-212已知偶函数f（x）的导函数是f（x），当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（2）0，则f（x）0的解集为（ ）A（，2）（2，+）B（2，0）（0，2）C（2，0）（2，+）D（，2）（0，2）第II卷（非选择题)二、填空题13三角形中，边的长为，则边的长为_.14设，满足约束条件，则的最小值是_.15正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点 A到侧面PBC的距离是 16给出下列不等式:则按此规律可猜想第个不等式为_三、解答题
4、17(12分)已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和18（12分）为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，得到如图所示的频率分布直方图（）求的值；（）记表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；（）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生女生合计参考公式及数据：，
5、19（12分）如图，直三棱柱中，点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求点到平面的距离.20（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为.（）求椭圆的的标准方程；（）已知过点的直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.21（12分）已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围22（10分）已知直线的参数方程是（为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.高中数学
6、2020-2021年度期末考试试卷一、单选题1已知复数，则等于（ ）ABCD【答案】B【解析】复数故选B2已知集合，集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】对集合进行整理，然后根据集合的交集运算，得到答案.【详解】集合，集合，所以，故选：C.【点睛】本题考查解对数不等式，集合的交集运算，属于简单题.3已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）AB1CD2【答案】C【解析】【分析】根据等差数列前项和公式得，又由等差数列性质，综合可得的值.【详解】解：由已知，得，故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式，关键是等差数列性质的应用，是基础题.4在ABC中，“”是“AB”的()A充分不必要
7、条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先利用大角对大边得到，进而利用正弦定理将边边关系得到，即证明了必要性，再同理得到充分性【详解】在三角形中，若AB，则边ab，由正弦定理，得若，则由正弦定理，得ab，根据大边对大角，可知AB，即是AB的充要条件故选C.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定以及正弦定理，意在考查学生的逻辑推理能力，属于基础题解决此题的关键是利用“大边对大角，大角对大边”进行与的转化.5已知下表为与之间的一组数据，若与线性相关，则与的回归直线必过点( )x0123y1357A(2,2)B(1.5,0)C(1,2)D(1.5,4)【答
8、案】D【解析】【分析】根据表格先求出和，再由公式，求得和即可得回归方程，再将4个点分别代回，可知必过点。【详解】由题可得，则回归方程为，将A，B，C，D四项分别代入方程，只有（1.5，4）这个点在直线上，故选D。【点睛】本题考查回归直线，属于基础题。6已知直线、经过圆的圆心，则的最小值是A9 B8 C4 D2【答案】A【解析】【分析】由圆的一般方程得圆的标准方程为，所以圆心坐标为，由直线过圆心，将圆心坐标代入得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以最小值为9【详解】圆化成标准方程，得，圆的圆心为，半径直线经过圆心C，即，因此，、，当且仅当时等号成立由此可得当，即且时，的最小值为9故选：A【点
9、睛】若圆的一般方程为 ，则圆心坐标为，半径7已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是ABCD【答案】D【解析】函数f（x）=是R上的增函数，解得：a4，8），故选：D点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在身上单调递增.8如图所示，在正方体中，分别是，的中点，则直线与所成角的余弦值是（ ）ABCD【答案】C【解析】【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E，得到
10、的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可【详解】如图，取AD的中点G，连接EG，GF，GEF为直线AD1与EF所成的角设棱长为2，则EG=，GF=1，EF=cosGEF=，故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题9函数图象向右平移个单位长度，所得图象关于原点对称，则在上的单调递增区间为（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据三角函数的图象平移关系结合函数关于原点对称的性质求出的值，结合函数的单调性进行求解即可【详解】解：函数图象向右平移个单位长度，得到，所得图象关于原点对称，则，得，当时，则，由，得，
11、即的单调递增区间为，当时，即，即在上的单调递增区间为，故选：A【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的解析式结合三角函数的单调性是解决本题的关键102019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款（德国4款，法国8款、荷兰4款），其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国，地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区一婴幼儿用品商店在售某品牌的奶粉共6袋，这6袋奶粉中有4袋含有芳香矿物油成分，则随机抽取3袋恰有2袋含有芳香经矿物油成分的概率为（ ）ABCD【答案】D
12、【解析】【分析】先列出6袋奶粉中随机抽取3袋的基本事件空间，确定基本事件总数为20，再确定满足条件的事件数为12，根据古典概型的计算公式求解，即可.【详解】记6袋奶粉中，不含芳香烃矿物油成分的奶粉为、，含芳香烃矿物油成分的奶粉为、，任取3袋，所有的情况为，共20种，其中满足条件的为，共12种，故所求概率.故选：D【点睛】本题考查古典概型，属于较易题11已知为双曲线右支上任意一点，与关于轴对称，为双曲线的左、右焦点，则（）A1B-1C2D-2【答案】B【解析】【分析】设出P的坐标，求出Q坐标，求出焦点坐标，利用向量的数量积求解即可【详解】P为双曲线x2y21右支上任意一点，Q与P关于x轴对称，F
13、1（，0），F2（，0）为双曲线的左，右焦点，设P（t，m），则Q（t，m），根据点P在双曲线上得到：t2m21，则（t，m）（t，-m）t2m22121故选：B【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，向量的数量积的求法，考查计算能力12已知偶函数f（x）的导函数是f（x），当x0时，f（x）+xf（x）0，且f（2）0，则f（x）0的解集为（ ）A（，2）（2，+）B（2，0）（0，2）C（2，0）（2，+）D（，2）（0，2）【详解】构造函数，则，当x0时，恒成立，即恒成立，在内单调递增，在内恒有；在内恒有 又是定义在上的偶函数，在内恒有；在内恒有不等式的解集为（，2）（2，+）. 故选：
14、A二、填空题13三角形中，边的长为，则边的长为_.【答案】4【解析】【分析】利用三角形内角和定理先求的值，再根据正弦定理求得【详解】，又，由正弦定理：，可得：故答案为：4【点睛】本题考查三角形内角和定理，正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题14设，满足约束条件，则的最小值是_.【答案】0【解析】【分析】画出可行域，平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知当平移到过点时，.【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.15正三棱锥PABC高为2，侧棱与底面所成角为45，则点 A到侧面PBC的距离是 【答案】【解析】
15、【分析】考点：点、线、面间的距离计算；直线与平面所成的角分析：在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段设P在底面ABC上的射影为O，则PO=2，且O是三角形ABC的中心，设底面边长为a，?a=2a=2设侧棱为b，则b=2斜高h=由面积法求A到侧面PBC的距离h=解：如图所示：设P在底面ABC上的射影为O，则PO平面ABC，PO=2，且O是三角形ABC的中心，BCAM，BCPO，POAM=0BC
16、平面APM又BC在平面ABC内，平面ABC平面APM，又平面ABC平面APM=PM，A到侧面PBC的距离即为APM的高设底面边长为a，则.a=2a=2设侧棱为b，则b=2斜高h=由面积法求A到侧面PBC的距离h=故答案为点评：本小题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力【详解】请在此输入详解！16给出下列不等式:则按此规律可猜想第个不等式为_【答案】【解析】观察各式左边为的和的形式，项数分别为3,7,15，可猜想第n个式子中左边应有2n11项，不等式右边分别写成，猜想第n个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：1
17、 (nN*)三、解答题17已知数列满足，（1）证明是等比数列，（2）求数列的前项和【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用定义法证明是一个与n无关的非零常数，从而得出结论；（2）由（1）求出，利用分组求和法求【详解】（1）由得，所以，所以是首项为，公比为的等比数列,，所以，（2）由（1）知的通项公式为；则所以【点睛】本题主要考查等比数列的证明以及分组求和法，属于基础题18为迎接年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取了名学生，将他们的比赛成绩（满分为分）分为组：，得到如图所示的频率分布直方图（）求的值；（）记
18、表示事件“从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生，该学生的比赛成绩不低于分”，估计的概率；（）在抽取的名学生中，规定：比赛成绩不低于分为“优秀”，比赛成绩低于分为“非优秀”请将下面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生女生合计参考公式及数据：，【答案】（）（） （）见解析【解析】【分析】（）利用频率分布直方图小长方形的面积之和是1可得；（）由题意利用频率近似概率可得；（）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论.【详解】（）由题可得，解得（）由（）知，则比赛成绩不低于分的频率为，故从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取一名学生
19、，该学生的比赛成绩不低于分的概率约为（）由（）知，在抽取的名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计所以的观测值，所以没有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”【点睛】本题考查了频率分布直方图和独立性检验的应用问题，考查学生分析和解决问题的能力，是基础题。19如图，直三棱柱中，点是棱的中点，.（）求证：平面；（）求点到平面的距离.【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（）要想证明平面，只需证明与平面内的一条直线平行即可。（）求点到平面的距离可以采用等积法来求解，利用，进行求解。【详解】解：（）证明：连接，交于点，则为中点，连接，又是中点，平面，平面，平面
20、.（）解：由已知，取中点，则，平面，平面，平面.又， .，则点到平面的距离为.【点睛】本题考查了线面平行的证法，一般有二种方法：一种是证明线线平行；一种是证明面面平行。同时本题也重点考查了点到面的距离的求解，如果直接法困难时，往往采用等积法来求解。20已知椭圆：（）的离心率为，且过点，椭圆的右顶点为.（）求椭圆的的标准方程；（）已知过点的直线交椭圆于，两点，且线段的中点为，求直线的斜率的取值范围.【答案】（）；（）.【解析】【详解】试题分析：（1）由椭圆的离心率为，且过点，列方程组，求解，即可；（2）依题意，直线过点，当直线的斜率不为0时，可设其方程为，联立消去得，由韦达定理、中点坐标公式，结
21、合已知条件能求出直线的斜率的取值范围，当直线的斜率为0时，线段的中点与坐标原点重合，的斜率为0.试题解析：（）依题意，解得，故椭圆的标准方程为.（）依题意，直线过点.当直线的斜率不为0时，可设其方程为，联立消去得，设点，直线的斜率为，故，当时，当时，因为 ，故，当且仅当，即时等号成立.故，故且.当直线的斜率为0时，线段的中点与坐标原点重合，的斜率为0.综上所述，直线的斜率的取值范围为.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决
22、圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用21已知函数在与时都取得极值（1）求的值与函数的单调区间；（2）若对,不等式恒成立，求的取值范围【答案】解：（1），递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2）【解析】【分析】（1）求出f（x），由题意得f（）0且f（1）0联立解得与b的值，然后把、b的值代入求得f（x）及f（x），讨论导函数的正负得到函数的增减区间；（2）根据（1）函数的单调性，由于x1，2恒成立求出函数的最大值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）c2列出不等式，求出c的范围即可【详解】（1），f（x）3
23、x2+2ax+b由解得，f（x）3x2x2（3x+2）（x1），函数f（x）的单调区间如下表：x（,） （，1）1（1，+）f（x）+00+f（x）极大值极小值所以函数f（x）的递增区间是（，）和（1，+），递减区间是（，1）（2）因为，根据（1）函数f（x）的单调性，得f（x）在（1，）上递增，在（，1）上递减，在（1，2）上递增，所以当x时，f（x）为极大值，而f（2），所以f（2）2+c为最大值要使f（x）对x1，2恒成立，须且只需f（2）2+c解得c1或c2【点睛】本题考查了函数的单调性、极值、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题22已知直线的参数方程是（为参数），在
24、平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，直线的参数方程化为直角坐标方程；（2）求直线被曲线截得的弦长.【答案】（1）曲线的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程是；（2）【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换（2）利用（1）的结论，进一步利用点到直线的距离公式和垂径定理求出结果【详解】解：（1）直线的参数方程是（为参数），转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程是，转换为直角坐标方程为，（2）圆心到直线的距离.所以圆被直线所截的弦长.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，垂径定理的应用，主要考查学生的运算能力，是基础题