1、数学试题第卷（共 60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1设复数满足，则（ ）ABCD2.对某自行车赛手在相同条件下进行了12次测试，测得其最大速度（单位：）的数据如下：27，38，30，36，35，31，33，29，38，34，28，36，则他的最大速度的第一四分位数是（ ）A29 B29.5 C30 D363已知为两条不同直线，为两个不同的平面，给出以下四个命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则其中真命题的个数是（ ）A0 B1 C2 D34天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为，用数字0，1，2，3表示下雨，数
2、字4，5，6，7，8，9表示不下雨，由计算机产生如下20组随机数：977，864，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，394，027，556，488，730，113，537，908.由此估计今后三天中至少有一天下雨的概率为（ ）A0.6B0.7C0.75D0.85已知是边长为2的等边三角形，为的中点，且，则（）AB1CD36已知复数为虚数单位在复平面内对应的点为，复数满足，则下列结论不正确的是（ ）A点的坐标为BC的最大值为D的最小值为7已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（ ）ABCD8已知菱形，将沿折起，使二面角的
3、大小为，则三棱锥的体积为（ ）ABCD9ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则C=（ ）A30B22.5C15D4510魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”，则海岛的高（ ）A BC D11.任何一个复数（其中、，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（ ）（1） （2）当，时，（3）当，时，（4）
4、当，时，若为偶数，则复数为纯虚数A1B2C3D412.在四面体中， ，二面角 的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（ ）ABCD第卷（共70分）二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是_14.如图，三棱锥中， ，点分别是中点，则异面直线所成的角的余弦值是_15.在对某工厂甲乙两车间某零件尺寸的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了甲车间10个零件，其尺寸的平均数和方差分别为12和4.5，抽取了乙车间30个零件，其平均数和方差分别为16和3.5，则该工厂这种零件的方差估计值为_.（精确到0.1）C1
5、D1D116.已知正方体的棱长为2，分别是棱，的中点，点在四边形内（包括边界）运动，则下列说法中正确的是_若是线段的中点，则平面平面A1CDB1若在线段上，则与所成角的取值范围为若平面，则点的轨迹的长度为BAA若平面，则线段长度的最小值为三、解答题：本题共6小题,共50分.17.（本小题满分6分）如图，为了测量河对岸、两点的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、；找到一个点，从点可以观察到点、并测量得到以下数据，米，米求、两点的距离18.（本小题满分8分）某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了
6、x人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，其中第一组有6人.（1）求x；（2）估计抽取的x人的年龄的第80百分位数；（3）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第五组的概率.19.（本小题满分8分）已知向量.（1） 若，求 的值； （2） 若，且，求角.20.（本小题满分8分）进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会经济生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中
7、只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.（1）求和的值；（2）试求两人共答对3道题的概率.21.（本小题满分10分）如图，且，且，且CD=2FG，（1） 若为的中点，为的中点，求证:；（2）若点在线段DG上，且直线与平面所成的角为60，求线段的长22.附加题（本小题满分10分）如图，在梯形中，现将沿翻折成直二面角.（）证明：；（）若异面直线与所成角的余弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.数 学 试 题 答 案一选择题题号123456789101112答案CBABDDCACABA
8、二填空题13. 14. 15. 6.8 16.三解答题17.（满分6分）由题意可知，在中，由正弦定理得，所以米，在中，米，在中，由余弦定理得，所以，米.18. （满分8分）（1）由频率分布直方图可知，第一组的概率为 所以，解得.（2）设第80百分位数为，则，解得，故第80百分位数的估计值为为.（3）由频率分布直方图可知第四五组的抽取比例为，抽取6人，则第四组抽取人，记 第五组抽取人，记，随机抽取两人，,，共种，至少1人来自第五组，共种，所以至少1人来自第五组的概率为.19. （满分8分）（1）因为，所以，所以，即，因为，所以.（2），得，即，即，整理得，又因为，所以，所以或，即或.20.（本小
9、题满分8分）解：（1）设甲同学答对第一题，乙同学答对第一题，则，.设甲、乙二人均答对第一题，甲、乙二人中恰有一人答对第一题，则，.由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，.由题意可得即解得或由于，所以，.（2）设甲同学答对了道题，乙同学答对了道题，1，2.由题意得，.设甲乙二人共答对3道题，则.由于和相互独立，与相互互斥，所.所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.21（满分8分）（1）依题意=（0，2，0），=（2，0，2）设n0=(x，y，z)为平面CDE的法向量，则 即 不妨令z=1，可得n0=（1，0，1）又=（1，1），可得，因为直线MN平面CDE，所以MN平面CDE（2）设线段DP的长为h（h0，2），则点P的坐标为（0，0，h），可得易知，=（0，2，0）为平面ADGE的一个法向量，故，由题意，可得=sin60=，解得h=0，2所以线段的长为22.（满分10分）（）取的中点，连结.，四边形是平行四边形，即.又平面平面，且两平面的交线为，平面，又平面，.（）取的中点，连结，则.，且，两两互相垂直.以为原点，为，轴的正方向建立空间直角坐标系.设，则，.由异面直线与所成角的余弦值为，得，解得.易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，又，由，得，取，得，故，平面与平面夹角的余弦值为
