1、高2014级数学（理）试题第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合M=x|y=x2+1，N=y|y=，则MN=（）A（0，1）Bx|x1Cx|x0Dx|x12实数（a为实数）的共轭复数为（）A1B5C1Di3等比数列an中，a2=9，a5=243，则a1与a7的等比中项为（）A81B81C81D274以下四个命题中其中真命题个数是（）为了了解800名学生的成绩，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为40；线性回归直线=x+恒过样本点的中心（，）；随机变量服从正态分布N
2、（2，2）（0），若在（，1）内取值的概率为0.1，则在（2，3）内的概率为0.4；若事件和满足关系，则事件和互斥A0B1C2D35执行如图所示的程序框图，输出的n的值为（）A10B11C12D13 第5题图 第8题图6将函数f（x）=sin（+x）（cosx2sinx）+sin2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g（x），则g（x）具有性质（）A在（0，）上单调递增，为奇函数 B周期为，图象关于（）对称C最大值为，图象关于直线x=对称 D在（）上单调递增，为偶函数7某中学早上8点开始上课,若学生小典与小方均在早上7:40至8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小典
3、比小方至少早5分钟到校的概率为（ ）ABCD8一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A3 B C4 D9已知正项等比数列an满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得，则的最小值为（）A B C D10在某市记者招待会上，需要接受本市甲、乙两家电视台记者的提问，两家电视台均有记者5人，主持人需要从这10名记者中选出4名记者提问，且这4人中，既有甲电视台记者，又有乙电视台记者，且甲电视台的记者不可以连续提问，则不同的提问方式的种数为（ ）A1200 B2400 C3000 D360011抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一
4、象限，PMl于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）ABCD12定义在（1，+）上的单调函数f（x），对于任意的x（1，+），ff（x）xex=0恒成立，则方程f（x）f（x）=x的解所在的区间是（）A（1，）B（0，）C（，0）D（）第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)14设F1、F2分别是双曲线C：=1（a0，b0）的左右焦点，点M（a，b）若MF1F2=30，则双曲线的离心率为_15若x，y满足约束条件，则的最小值为_16已知函数f（x）=，若曲线y=f（x）在点Pi（x
5、i，f（xi）（i=1，2，3，其中x1，x2，x3互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C所对的边，且满足（2ba）cosC=ccosA（）求角C的大小；（）设，求y的最大值并判断当y取得最大值时ABC的形状18在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DAB=60，AD=2，AM=1，E为AB的中点（）求证：AN平面MEC；（）在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；若不存在，请说
6、明理由194月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读纸质书还是喜爱读电子书，来了解在校高一学生的读书习惯，得到如表列联表：喜欢读纸质书不喜欢读纸质书合计男16420女81220合计241640（）根据如表，能否有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系？（）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数的分布列及其数学期望E（）参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d下
7、列的临界值表供参考：P（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820已知椭圆C： +=1（ab0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线xy=0截得的弦长为2（）求椭圆C的标准方程；（）已知点A、B为动直线y=k（x1），k0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=ex（其中e为自然对数的底数），g（x）=x+m（m，nR）（1）若T（x）=f（x）g（x），m=1，求T（x）在0，1上的最大值；
8、（2）若m=，nN*，求使f（x）的图象恒在g（x）图象上方的最大正整数n注意：7e2请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为=2sin，直线l的参数方程为（t为参数）（）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程（）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值23已知函数f（x）=|2x+|+a|x|（）当a=1时，解不等式f（x）3x；（）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1|1b|的解集为空集，求实数b的取值范
9、围数学(理)参考答案一、选择题题号123456789101112答案CCACCAADDBBA二、填空题13、10 14、2 15、 16、（1，2）三、解答题17.解：（I）（2ba）cosC=ccosA，由正弦定理可得：（2sinBsinA）cosC=sinCcosA，化为：2sinBcosC=sin（C+A）=sinB，sinB0，cosC=，C（0，），C=（II）y=4sin2+2sin（CB）=（1cosA）+2sin=sinA+cosA2=22，A，当A+=，即A=时，y确定最大值22，此时B=，因此ABC为直角三角形18.解：（I）CM与BN交于F，连接EF由已知可得四边形BCN
10、M是平行四边形，所以F是BN的中点因为E是AB的中点，所以ANEF又EF平面MEC，AN平面MEC，所以AN平面MEC（II）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB又四边形ADNM是矩形，面ADNM面ABCD，DN面ABCD，如图建立空间直角坐标系Dxyz，则D（0，0，0），E（，0，0），C（0，2，0），P（，1，h），=（，2，0），=（0，1，h），设平面PEC的法向量为=（x，y，z）则，令y=h，=（2h， h，），又平面ADE的法向量=（0，0，1），cos，=，解得h=，在线段AM上是否存在点P，当h=时使二面角PECD的大小为19.解：（）根据表中数据，计算
11、随机变量K2=6.6676.635，所以能有99%的把握认为是否喜欢读纸质书籍与性别有关系；（）的可能取值为0、1、2，则P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=；所以的分布列为012P所以的数学期望为E=0+1+2=20.解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线xy=0的距离d=1，2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b椭圆C的标准方程为： +y2=1（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得为定值设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x24k2x+2k22=0，则x1+x2=，x1x2=（x1m，y1）（x2m，
12、y2）=（x1m）（x2m）+y1y2=（x1m）（x2m）+k2（x11）（x21）=（1+k2）x1x2（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）（m+k2）+m2+k2=，令2m24m+1=2（m22），解得m=因此在x轴上存在定点M（，0），使得为定值21解：（1）T（x）=f（x）g（x）=ex（x+m）=ex（x+1）；故T（x）=ex（x+1）；则当n2时，T（x）0；故T（x）在0，1上的最大值为T（1）=e；当n2时，x0，）时，T（x）0；x（，1时，T（x）0；T（x）在0，1上的最大值为T（）=；（2）由题意，f（x）=ex，g（x）=x；故f（x）的图象恒在
13、g（x）图象上方可化为F（x）=f（x）g（x）=exx+0恒成立；F（x）=ex；故F（x）在（，ln）上是减函数，在（ln，+）上是增函数；故可化为F（ln）0；即（1ln）+0；令G（n）=（1ln）+；故G（n）=（ln+1）0；故G（n）=（1ln）+是1，+）上的减函数，而G（2e2）=e2+0；G（14）=7（1ln7）+0；G（15）=7.5（1ln7.5）+0；故最大正整数n为1422.解：（I）曲线C的极坐标方程为=2sin，即2=2sin，可得直角坐标方程：x2+y22y=0直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t可得普通方程：x+y3=0（II）把直线l的方程代入圆的方程可得：t23t+4=0，则t1+t2=3，t1t2=4|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=323.解：（）当a=1时，不等式f（x）=|2x+|x|3x，等价于；或；或解求得x，解求得x，解求得x，故原不等式的解集为x|x（）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1|1b|，即 2（|2x+|+2|x|）+1|1b|，即|4x+1|+|4x6|+1|1b|由于|4x+1|+|4x6|（4x+1）（4x6）|=7，|1b|7+1的解集为，即|1b|8恒成立，8b18，即7b9，即要求的实数b的取值范围为7，9
