1、阶段回扣练3导数及其应用(建议用时：90分钟)一、选择题1已知曲线y3ln x的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为 ()A3 B2C1 D.解析由题意y，设切点P(x0，y0)，x00，则，解得x03或x02(舍)，故选A.答案A2(2015南昌模拟)曲线yx2ln x在点(1，1)处的切线方程为()A3xy20 Bx3y20C3xy40 Dx3y40解析y2x，故y|x13，故在点(1，1)处的切线方程为y13(x1)，化简整理得3xy20.答案A3若函数f(x)在x1处取极值，则a()A1 B2C3 D4解析f(x)，x1为函数的极值点，f(1)0，即121a0，解得a3，故选C.答案C4
2、函数f(x)，ab1，则()Af(a)f(b)Bf(a)f(b)Cf(a)f(b)Df(a)，f(b)大小关系不能确定解析f(x)，所以f(x)，当x1时，f(x)0，所以函数f(x)在(，1)上是减函数，又ab1，故f(a)f(b)答案C5函数f(x)mx3x在(，)上是减函数，则m的取值范围是()A(，0) B(，1)C(，0 D(，1解析由题意知，f(x)3mx210在(，)上恒成立，x0时，10恒成立，即mR；x0时，有m在R上恒成立，0，m0，综上m0，故选C.答案C6设函数f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析如图所示，当x(，x0)
3、时，函数f(x)为增函数，当x(x0，0)和x(0，)时，函数f(x)为减函数，xx0是函数f(x)的极大值点，可得f(x0)0，且当x(，x0)时，f(x)0，当x(x0，0)和x(0，)时，f(x)0.由此对照各个选项，可得函数yf(x)的图象只有A项符合答案A7用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多0.5 m，要使它的容积最大，则容器底面的宽为()A0.5 m B0.7 m C1 m D1.5 m解析设容器底面的宽为x m，则长为(x0.5)m，高为(3.22x)m.由3.22x0和x0，得0x1.6.设容器的容积为y m3，则有yx(x0.5)(3.22
4、x)，其中0x1.6，整理得y2x32.2x21.6x，所以y6x24.4x1.6.令y0，得x1.从而在定义域(0，1.6)内只有当x1时y取得最大值，即容器底面的宽为1 m时，容器的容积最大答案C8(2015青岛一模)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于 ()A. B. C. D.解析由题图可知f(1)0，f(2)0，解得f(x)x33x22x，f(x)3x26x2.由图可知x1，x2为f(x)的极值点，x1x22，x1x2.xx(x1x2)22x1x24.答案C9函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为(
5、)Ax|x0 Bx|x0Cx|x1或x1 Dx|x1或0x1解析构造函数g(x)exf(x)ex.因为g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.答案A10(2014石家庄模拟)若不等式2xln xx2ax3对x(0，)恒成立，则实数a的取值范围是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)解析2xln xx2ax3，则a2ln xx，设h(x)2ln xx(x0)，则h(x).当x(0，1)时，h(x)0，函数h(x)单调递减；当x(1，)时，h
6、(x)0，函数h(x)单调递增，所以h(x)minh(1)4.所以ah(x)min4.故a的取值范围是(，4答案B二、填空题11已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x，则f(e)_解析f(x)2f(e)，取xe，得f(e)2f(e)，由此解得f(e)e1.答案e112已知2(kx1)dx4，则实数k的取值范围是_2k14，k2.答案13设f(x)ln xa，若f(x)x2在x(1，)上恒成立，则实数a的范围为_解析函数f(x)ln xa，且f(x)x2在(1，)上恒成立，函数f(x)ln xax2在(1，)上恒成立，aln xx2.令h(x)ln xx2，有h(
7、x)2x.x1，2x0，h(x)在(1，)上为减函数，当x(1，)时，h(x)h(1)1，a1.答案1，)14已知函数f(x)的定义域为1，5，部分对应值如下表：x1045f(x)1221f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示下列关于f(x)的命题：函数f(x)的极大值点为0，4；函数f(x)在区间0，2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的序号是_解析由导函数的图象得：为真命题；为真命题，因为在区间0，2上导函数为负，故原函数递减；为假命题，当t5，x1，t时，f(x)的最大值是2；为假命题，当1a2时，y
8、f(x)a可以有2个零点，可以有3个零点，也可以有4个零点综上，真命题只有.答案15设函数f(x)，g(x)，对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，则正数k的取值范围是_解析因为对任意x1，x2(0，)，不等式恒成立，所以.因为g(x)xe2x，所以g(x)(xe2x)e2xxe2x(1)e2x(1x)当0x0；当x1时，g(x)0)当且仅当e2x，即x时取等号，故f(x)min2e.所以，应有，又k0，所以k1.答案1，)三、解答题16已知f(x)ax2(a2)xln x.(1)a1时，求yf(x)在(1，f(1)处的切线方程(2)当a0时，若f(x)在区间1，e上最小值为2，求实数a的范
9、围解(1)当a1时，f(x)x23xln x，f(x)2x3.因为f(1)0，f(1)2，所以曲线yf(x)在点(1，2)处的切线方程是y2.(2)函数f(x)ax2(a2)xln x的定义域是(0，)当a0时，f(x)2ax(a2)，令f(x)0，所以x或x.当01，即a1时，f(x)在1，e上单调递增，所以f(x)在1，e上的最小值是f(1)2；当1e时，f(x)在1，e上的最小值f f(1)2，不合题意；当e时，f(x)在1，e上单调递减，此时f(x)在1，e上的最小值f(e)f(1)2，不合题意综上，实数a的取值范围为1，)17(2015天津模拟)已知函数f(x)ln xa2x2ax(
10、aR)(1)求f(x)的单调区间与极值(2)若函数在区间(1，)上单调递减，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)ln xa2x2ax的定义域为(0，)，f(x)2a2xa.()当a0时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，此时f(x)无极值()当a0时，令f(x)0，得x或x(舍去)f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，所以f(x)有极大值为f ln a，无极小值()当a0时，令f(x)0，得x(舍去)或x，所以f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为，所以f(x)有极大值为f lnln(2a)，无极小值(2)由(1)可知：()当a0时，f(x)在区间(1，)上单调递增，不
11、合题意()当a0时，f(x)的单调递减区间为，依题意，得得a1.()当a0时，f(x)的单调递减区间为，依题意，得即a.综上，实数a的取值范围是1，)18已知函数f(x)x2aln x.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0得x1或x1(舍去)，当x(0，1)时，函数f(x)单调递减，当x(1，)时，函数f(x)单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值为.
12、(2)解当a1时，易知函数f(x)在1，e上为增函数，f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明设F(x)f(x)g(x)x2ln xx3，则F(x)x2x2，当x1时，F(x)0，故f(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)0，在区间1，)上，F(x)0恒成立即f(x)g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图象在函数g(x)图象的下方19已知函数f(x)aln xbx(a，bR)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为x2y20.(1)求a，b的值；(2)当x1时，f(x)0恒成立，求实数k的取值范围；(3)证明：当nN*，且n2时，.(1)解f(x
13、)aln xbx，f(x)b.直线x2y20的斜率为，且过点，即解得(2)解法一由(1)得f(x)ln x.当x1时，f(x)0恒成立，即ln x0恒成立，等价于kxln x恒成立令g(x)xln x，则g(x)x(ln x1)x1ln x.令h(x)x1ln x，则h(x)1.当x1时，h(x)0，函数h(x)在(1，)上单调递增，故h(x)h(1)0.从而，当x1时，g(x)0，即函数g(x)在(1，)上单调递增，故g(x)g(1).又当x1时，kxln x恒成立，故k.所求k的取值范围是.(3)证明由(2)得，当x1时，ln x0，即xln x，又xln x0，.把x2，3，4，n分别代入上述不等式，并相加得，1.