1、绵阳市高中2015级第三次诊断性考试数学（文史类）第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足（是虚数单位），则=（ ）A1 B-1 C D2.已知集合，集合，则集合的子集个数是（ ）A1 B2 C3 D43.为了解某高校高中学生的数学运算能力，从编号为0001，0002，2000的2000名学生中采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，并把样本编号从小到大排列，已知抽取的第一个样本编号为0003，则最后一个样本编号是（ ）A 0047 B 1663 C1960 D1963 4.已知实数满足，则的最小
2、值是（ ）A4 B5 C. 6 D75.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（ ）A B C. D6. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，该四棱锥的俯视图如图2所示，则的长是（ ）A B C. D7. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（ ）A B C. D8. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（ ）A吉利，奇瑞 B吉利，传祺 C. 奇瑞，吉利 D奇瑞，传祺9. 双曲线的离心
3、率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（ ）A1 B2 C. D10.若曲线的一条切线是，则的最小值是（ ）A2 B C.4 D11. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出以下列结论：；，其中正确结论的个数是（ ）A0 B 1 C. 2 D312. 中，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（ ）A B C. D第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.抛物线的焦点坐标是 14.奇函数的图象关于点对称，则 15.已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为 16.四边形中，设、的面积分别为、，则当取最大
4、值时， 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知正项数列的前项和满足：（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和.18. 十九大提出，坚决打赢脱贫攻坚战，某帮扶单位为帮助定点扶贫村真脱贫，坚持扶贫同扶智相结合，帮助贫困村种植蜜柚，并利用电商进行销售，为了更好地销售，现从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，其质量分别在，（单位：克）中，其频率分布直方图如图所示.（）按分层抽样的方法从质量落在，的蜜柚中抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量均小于2000克的概率；（）以各组数据的中间数代表这组数据的平均水平，以频
5、率代表概率，已知该贫困村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚等待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以40元/千克收购；B低于2250克的蜜柚以60元/个收购，高于或等于2250克的以80元/个收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是菱形，且，点是侧棱的中点.（）求证：直线平面；（）若，三棱锥的体积是，求的值.20. 在直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且轴，直线交轴于点，为椭圆的上顶点，的面积为1.（）求椭圆的方程；（）过的直线交椭圆于，且满足，求的面积.21. 已知函数的两个极值点，满足，且，其中是自然对数的底数.（）时，求的
6、值；（）求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（）求曲线的直角坐标方程；（）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23.选修4-5：设函数.（）若的最小值是4，求的值；（）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:ABDCC 6-10:ADABC 11、12：DB二、填空题13. 14.2 15. 16.三、解答题17.
7、解：（）由已知，可得当时，可解得，或，由是正项数列，故.当时，由已知可得，两式相减得，.化简得，数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.数列的通项公式为.（），代入化简得，显然是等比数列，其前项和.18.解：（）由题得蜜柚质量在和的比例为，应分别在质量为，的蜜柚中各抽取2个和3个.记抽取质量在的蜜柚为，质量在的蜜柚为，则从这5个蜜柚中随机抽取2个的情况共有以下10种：，其中质量均小于2000克的仅有这1种情况，故所求概率为.（）方案好，理由如下：由频率分布直方图可知，蜜柚质量在的频率为，同理，蜜柚质量在，的频率依次为0.1，0.15，0.4，0.2，0.05.若按方案收购：根据题意各段蜜柚个
8、数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为（元）若按方案收购：蜜柚质量低于2250克的个数为，蜜柚质量低于2250克的个数为,收益为元.方案的收益比方案的收益高，应该选择方案.19.解：（）证明：连接，与交于点，连接.由是菱形，知点是的中点.又点是的中点，而，.（），.又，于是.由已知，得.令菱形的边长为，则由，可得，.，解得，于是.20. 解：（）设，由题意可得，即.是的中位线，且，即，整理得.又由题知，为椭圆的上顶点，的面积，整理得，即，联立可得，变形得，解得，进而.椭圆的方程为.()由可得，两边平方整理得.直线斜率不存在时，不满足.直线斜率存在时，设直线的方程为，联立，消去，得，（*）由得.将，代入整理得，展开得，将（*）式代入整理得，解得，的面积为，代入计算得，即的面积为.21. 解：（）当时，由题意知、为方程的两个根.根据韦达定理得，.于是.（），同（）由韦达定理得，于是.，由，整理得，代入得，令，于是可得，故，在上单调递减，.22.解：（）由题可变形为，.（）由已知有，设，.于是由 ，由得，于是，四边形最大值.23.解：（），由已知，知，解得.（）由题知，又是存在的，.即，变形得，.