1、专题研究 运动图象 追及与相遇问题基础自主梳理 一、两种常见运动图象1.对 x t 图象的理解(1)物理意义:反映了做直线运动的物体位移随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义图线上某点切线的斜率大小表示物体的速度.图线上某点切线的斜率正负表示物体的运动方向.(3)两种特殊的 x t 图象若 x t 图象是一条倾斜的直线,说明物体在做匀速直线运动.若 x t 图象是一条平行于时间轴的直线,说明物体处于静止状态.基础自主梳理 如图,图线与横轴和纵轴的截距各表示什么物理意义?提示:与横轴的截距表示该时刻质点位移为零;与纵轴的截距表示计时起点的位置坐标.基础自主梳理 2.对 v t 图象的理解(1)物
2、理意义:反映了做直线运动的物体速度随时间变化的规律.(2)图线斜率的意义图线上某点切线的斜率大小表示物体运动的加速度.图线上某点切线的斜率正负表示加速度的方向正负.(3)图象与坐标轴围成的“面积”的意义图象与坐标轴围成的面积表示位移.若此面积在时间轴的上方,表示这段时间内的位移方向为正;若此面积在时间轴的下方,表示这段时间内的位移方向为负.基础自主梳理 如图中,图线与横轴和纵轴的截距,各表示什么物理意义?提示:图线与横轴的交点表示该时刻物体速度为零;与纵轴的交点表示计时起点的速度值.基础自主梳理 二、追及与相遇问题1.追及与相遇问题的概述当两个物体在同一条直线上运动时,由于两物体的运动情况不同
3、,所以两物体之间的距离会不断发生变化,两物体间距离越来越大或越来越小,这时就会涉及追及、相遇或避免碰撞等问题.2.追及问题的两类情况(1)若后者能追上前者,则追上时,两者处于同一位置,后者的速度一定不小于前者的速度.(2)若后者追不上前者,则当后者的速度与前者相等时,两者相距最近.3.相遇问题的常见情况(1)同向运动的两物体追及即相遇.(2)相向运动的物体,当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇.要点研析突破 两种图象的比较比较问题x t 图象v t 图象图象其中为抛物线其中为抛物线物理意义反映的是位移随时间的变化规律反映的是速度随时间的变化规律要点一要点研析突破 表示从正位移
4、处开始一直做匀速直线运动并越过零位移处表示先做正向匀减速运动,再做反向匀加速运动表示物体静止不动表示物体做正向匀速直线运动表示物体从零位移开始做正向匀速运动表示物体从静止做正向匀加速直线运动表示物体做匀加速直线运动表示物体做加速度增大的加速运动 要点研析突破 比较问题x t 图象v t 图象斜率的意义斜率的大小表示速度的大小斜率的正负表示速度的方向斜率的大小表示加速度的大小斜率的正负表示加速度的方向图象与坐标轴围成“面积”的意义无实际意义表示相应时间内的位移(1)速度图象向上倾斜时,物体不一定做加速运动,向下倾斜也不一定做减速运动,物体做加速还是减速运动,取决于 v 和 a 的符号,v、a 同
5、正或同负则加速,v、a 一正一负则减速.(2)位移图象与时间轴的交点表示距参考点的位移为零,运动方向不发生改变;速度图象与时间轴交点表示速度为零,运动方向发生改变.要点研析突破 例1(2015广东卷)甲、乙两人同时同地出发骑自行车做直线运动，前1小时内的位移时间图像如图所示，下列表述正确的是（)A.0.20.5小时内，甲的加速度比乙的大 B.0.20.5小时内，甲的速度比乙的大 C.0.60.8小时内，甲的位移比乙的小 D.0.8小时内，甲、乙骑行的路程相等 思维导引 s-t图像的斜率表示速度；s-t图像的交点表示两物体相遇；物体位移可以增大也可减小，但只要运动，其路程只能增加.要点研析突破
6、解析：由图像可知0.20.5小时内甲、乙均做匀速运动，加速度为零，A项错误;位移图像的斜率为速度，由图可知，0.20.5小时内甲的速度比乙的速度大，B项正确；0.60.8小时内，甲的位移大小为10 km-5 km=5 km，而乙的位移大小为8 km-5 km=3 km，C项错误；0.8小时内，甲的路程为10 km+5 km=15 km，而乙的路程为8 km+3 km=11 km，D项错误.答案：B 感悟提升：本题中两人在0.8小时内运动的初末位置相同，两人的位移相同，但不能认为两人的路程也相同，因为两人折返的位置不同.要点研析突破 1.(多选)(2015扬州市学业水平测试)甲乙两物体在t0时刻
7、经过同一位置沿x轴运动，其v-t图象如图所示，则()A.甲、乙在t0到t1 s之间沿同一方向运动 B.乙在t0到t7 s之间的位移为零 C.甲在t0到t4 s之间做往复运动 D.甲、乙在t6 s时的加速度方向相同 要点研析突破 解析：根据题给v-t图象可知：在00.5 s时间内，甲、乙的速度一正一负，表示甲、乙的运动方向相反，A项错误;由几何关系可知，在07 s时间内，乙图象与时间轴所包围的总面积为零，所以位移为零，B项正确;在04 s时间内，甲的速度始终为正，即始终沿正方向运动，C项错误;在t=6 s时，甲、乙图线的斜率均为负，表示甲、乙的加速度方向相同，D项正确.答案：BD 要点研析突破
8、2.如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a 和 b 的位置时间(x t)图线.由图可知()A.在时刻 t1,a 车追上 b 车B.在时刻 t2,a、b 两车运动方向相反C.在 t1 到 t2 这段时间内,b 车的速率先减少后增加D.在 t1 到 t2 这段时间内,b 车的速率一直比 a 车的大解析:t1时刻,两车都在沿 x 正方向运动,该时刻前,b 车的位置坐标小,b 车在 a车的后面,所以 t1 时刻是 b 追上 a,A 项错;t2 时刻,a 车继续沿 x 正方向运动,而 b 车向 x 负方向运动,二者运动方向相反,B 项正确;在位移时间图象中,图线斜率的大小表示速度的大小,t1
9、到 t2时间内,b 的斜率先减小后增大,故 b车的速率先减小后增大,C 项正确;t1到 t2时间内,曲线 b 的斜率大小存在比 a的斜率大的时间段,也存在比 a 斜率小的时间段,D 项错.答案:BC要点研析突破 3.(2014全国新课标卷)甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在 t0 到 tt1 的时间内，它们的 v-t 图象如图所示.在这段时间内（）A.汽车甲的平均速度比乙的大B.汽车乙的平均速度等于221vv C.甲乙两汽车的位移相同D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大解析:v-t 图象中图线与横轴围成的面积代表位移，可知甲的位移大于乙的位移，而时间相同，故甲的平均速度
10、比乙的大，A 正确，C 错误；匀变速直线运动的平均速度可以用221vv 来表示，乙的运动不是匀变速直线运动，所以 B 错误；图象的斜率的绝对值代表加速度的大小，则甲、乙的加速度均减小，D 错误.答案:A要点研析突破 追及与相遇问题1.讨论追及、相遇的问题,其实质就是分析讨论两物体在相同时间内能否到达相同的空间位置问题.(1)两个关系:即时间关系和位移关系,这两个关系可通过画草图得到.(2)一个条件:即两者速度相等,它往往是物体间能否追上及追不上,两者间距离最大、最小的临界条件,也是分析判断的切入点.2.常见的情况物体 A 追物体 B,开始时,两个物体相距 x0.(1)A 追上 B 时,必有 x
11、A-xB=x0,且 vAvB.(2)要使两物体恰好不相撞,必有 xA-xB=x0,且 vA=vB.3.解题思路和方法要点二要点研析突破(1)在解决追及、相遇类问题时,要紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式,最后还要注意对结果的讨论分析.(2)分析追及、相遇类问题时,要注意抓住题目中的关键字眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件.要点研析突破 感悟提升:追及相遇问题的求解方法(1)解题思路(2)解题技巧紧抓“一图三式”,即:过程示意图,时间关系式、速度关系式和位移关系式.审题应抓住题目中的关键字
12、眼,充分挖掘题目中的隐含条件,如“刚好”“恰好”“最多”“至少”等,往往对应一个临界状态,满足相应的临界条件.若被追赶的物体做匀减速运动,一定要注意追上前该物体是否已经停止运动,另外还要注意最后对解的讨论分析.要点研析突破 例2(2016长沙市高三年级教学质检)一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以v06 m/s的速度匀速驶来，从后边超过汽车，试问：(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远?最远距离是多大?(2)当汽车与自行车距离最近时汽车的速度是多大?思维导引 分析追及问题时，两物体相距最大或最小时，两物体的速
13、度相等；画出两物体运动的v-t图像及运动过程图有助于列式求解.要点研析突破 解析：法一 用临界条件求解.(1)当汽车的速度为v=6 m/s时，二者相距最远，所用时间为t=v/a=2 s，最远距离为 xv0t-1/2at2=6 m(2)两车距离最近时有v0t1/2at2，解得t=4 s 汽车的速度为v=at=12 m/s.法二 用图象法求解.(1)汽车和自行车的v-t图象如图所示，由图象可得t=2 s时，二者相距最远，最远距离等于图中阴影部分的面积，即 x=1/262 m=6 m(2)两车距离最近时，即两个v-t图线下方面积相等时，由图象得此时汽车的速度为v=12 m/s 法三 用数学方法求解(
14、1)由题意知自行车与汽车的位移之差为 x=v0t-1/2at2 因二次项系数小于零，当t=2 s时，x有最大值，最大值 xm=v0t-1/2at2=62 m-1/2322 m=6 m.(2)当 x=v0t-1/2at2=0时相遇 得t=4 s，汽车的速度为v=at=12 m/s.答案：(1)2 s 6 m (2)12 m/s 感悟提升：若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动，另外还要注意最后对解的讨论分析.要点研析突破 4.如图所示,A、B 两物体相距x=7m 时,A 在水平拉力和摩擦力作用下,正以vA=4m/s的速度向右匀速运动,而物体 B 此时正从静止开始向右匀
15、加速运动,加速度 a=0.5m/s2,则 A 追上 B 所经历的时间是()A.2sB.8sC.14sD.10s解析:物体 B 做初速度为零的匀加速直线运动,物体 A 做匀速运动,设 t 时间内追上 B,根据位移关系可得,vAt=21 at2+x,解得 t=2s,t=14s,t=14s 时,表示 B又从后面追上 A,故 A 项正确.答案:A要点研析突破 5.(多选)(2015九江市二模)两辆游戏赛车在两条平行的水平直道上行驶时，若两车并行时开始计时，它们在四次比赛中的v-t图象如图所示.则选项图对应的比赛能表示一辆赛车追上了另一辆的是()解析：本题可通过图象与坐标轴围成的面积表示位移来处理.对A
16、图，t=20 s时，b车追上a车，A项对；B图由于b车速度一直大于a车速度，不可能相遇，B项错；C图中a车先在b车前面，t=10 s后b车开始与a车距离缩短，当t=20 s时b车追上a车，C项对；D图中前15 s，b车一直在a车前面，以后b车速度一直比a车速度大，故不可能相遇，D项错 答案：AC 要点研析突破 6.(2016曲靖四十九中三模)甲、乙两汽车沿同一平直公路同向匀速运动，速度均为16 m/s.在前面的甲车紧急刹车，加速度为a13 m/s2，乙车由于司机的反应时间为0.5 s而晚刹车，已知乙的加速度为a24 m/s2，为了确保乙车不与甲车相撞，原来至少应保持多大的车距?解析:由题意v0
17、=16 m/s，t0=0.5 s，不相撞的临界条件是乙追上甲时，二者的速度刚好相等，设为v，作出二者运动的过程示意图：如图，设甲车刹车的时间为t 则vv0-a1t vv0-a2(t-t0)由得t=2 s v=10 m/s 因此甲乙应保持的车距：代入数据得s1.5 m 答案:1.5 m 速效提升训练 1.(2014天津卷)质点做直线运动的速度-时间图象如图所示，该质点()A.在第1秒末速度方向发生了改变 B.在第2秒末加速度方向发生了改变 C.在前2秒内发生的位移为零 D.第3秒末和第5秒末的位置相同 解析：由题图可知02 s内，速度为正，运动方向未改变，2 s末时，位移最大，v-t图线斜率表示
18、加速度，13 s图线斜率未改变，故第2 s末加速度方向没有变化，A、B、C三项错误；由v-t图线与时间轴所围面积表示位移知，第3 s末和第5 s末质点位置相同，D项正确.答案：D 速效提升训练 2.(2013海南单科,4)一物体做直线运动,其加速度随时间变化的 a t 图象如图所示.下列 v t 图象中,可能正确描述此物体运动的是()速效提升训练 速效提升训练 解析:由 a t 图象知,在 T2T 时间内的加速度跟 02时间内的加速度大小相等,方向相反,从而排除 A、B、C 三项,故 D 项正确.答案:D速效提升训练 3.(2016黄石二中元月调研)一摩托车先由静止开始以2516 m/s2的加
19、速度做匀加速运动，后以最大行驶速度25 m/s做匀速运动，追赶前方以15 m/s的速度同向匀速行驶的卡车.已知摩托车开始运动时与卡车的距离为1 000 m，则：(1)追上卡车前二者的最大间距是多少?(2)摩托车经过多长时间才能追上卡车?解析：(1)由题意得，摩托车匀加速运动的最长时间为t1=vmax/a=16 s，位移为x1=v2max/2a=200 mx0=1 000 m，所以摩托车在达到最大速度之前没有追上卡车，则追上卡车前两者速度相等时间距最大.设从开始经过t2时间二者速度相等，最大间距为xmax，则有at2=v摩托，即t2=v摩托/a=9.6 s,故xmax=x0+v摩托t2-1/2at22=1 072 m.(2)设摩托车经过t时间追上卡车，则有v2max/2a+vmax(t-t1)=x0+v摩托t,解得t=120 s.答案：(1)1 072 m (2)120 s