1、集合与简易逻辑【重点提醒】1. 研究集合,首先必须弄清代表元素.例如,“已知集合M=y|y=x2,xR,N=y|y=x2+1,xR,求MN”;与“已知集合M=(x,y)|y=x2,xR,N=(x,y)|y=x2+1,xR,求MN”的区别.2. 已知集合A,B,且AB=时,你是否注意到“极端”情况:A=或B=;求集合的子集AB时是否忘记A=.3. 数形结合是解集合问题的常用方法:解题时要尽可能地借助数轴和韦恩图,数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况,补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.4. 四种命题及其相互关系:(1) 互为逆
2、否关系的命题是等价命题,即原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.但原命题与逆命题、否命题都不等价.(2) 在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时,要注意“非或即且,非且即或”.(3) 注意命题pq的否定与它的否命题的区别:命题pq的否定是pq,否命题是pq;命题“p或q”的否定是“p且q”;“p且q”的否定是“p或q”.5. 充要条件的判断:(1) 定义法正、反方向推理:若pq,p就是q的充分条件,反过来q就是p的必要条件;若pq且qp,则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件).(2)利用集合间的包含关系:例如,若AB,则A是B的充分条件(B是A的必要条件);若A=
3、B,则A是B的充要条件.【经典剖析】例1设集合A=x|x2-5x+6=0,B=x|mx-1=0,若AB=B,则实数m组成的集合是.易错点分析:此题由条件AB=B易知BA,由于空集是任何集合的子集,但在解题中容易忽略这种特殊情况而产生漏解现象.答案:解析:由题意知集合A=2,3,由AB=B知BA,故有以下两种情况: 当B=时,即方程mx-1=0无解,此时m=0符合已知条件; 当B时,即方程mx-1=0的解为2或3,代入得m=或.综上,满足条件的m组成的集合为.例2已知c0,设命题p:函数y=cx在R上单调递减;命题q:不等式x+|x-2c|1的解集为R,如果p和q有且仅有一个正确,求实数c的取值
4、范围.错解:由函数y=cx在R上单调递减,得0c1的解集为R,所以2c1,解得c.如果p真,则0c.所以实数c的取值范围是(0,+).易错点分析:将p和q有且仅有一个正确,错误理解成p正确或q正确.解答:由函数y=cx在R上单调递减,得0c1的解集为R,所以2c1,解得c.如果p真q假,则0c;如果q真p假,则c1.所以实数c的取值范围是1,+).例3(2013泰州期末)设aR,命题p:数列(n-a)2是递增数列;命题q:a1,则p是q的条件.错解:充要答案:必要不充分解析:因为a1时,函数f(x)=(x-a)2在区间a,+)上是增函数,所以数列(n-a)2是递增数列;而数列(n-a)2是递增
5、数列时,a可以取(1,1.5)内的任意一个值.函数的图象与性质【重点提醒】1. 函数y=ax2+bx+c,要注意二次项系数a是否可以为零.例如,若函数y=ax2+2x-3在区间(-,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.2. 求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等等),要注意定义域优先的原则.例如,y=2x+1+的值域为.答案:3,+)解析:=t,t0.运用换元法时,特别要注意新元t的范围.3. 定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件,为此确定函数的奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y=f(x)为奇函数,但不一定有f(0)=0成立.
6、4. 函数的几个重要性质:如果函数y=f(x)对于一切xR,都有f(a+x)=f(a-x)或f(2a-x)=f(x),那么函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.函数y=f(x)与函数y=f(-x)的图象关于直线x=0对称;函数y=f(x)与函数y=-f(x)的图象关于直线y=0对称;函数y=f(x)与函数y=-f(-x)的图象关于坐标原点对称.【经典剖析】例1(2012江苏卷)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,bR)的值域为0,+),若关于x的不等式f(x)c的解集为(m,m+6),则实数c的值为.易错点分析:不能实现二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的相互转化.答案:9解析:由题
7、意知f(x)=x2+ax+b=+b-.因为f(x)的值域为0,+),所以b-=0,即b=.所以f(x)=.又由f(x)c,得0且-x-+,-=6,所以2=6,所以c=9.例2方程2x=x2的实根的个数为.(例2)答案:3解析:如图所示,由图象可知方程2x=x2的实根的个数为3.例3设,是方程x2-2kx+k+6=0的两个实根,则(-1)2+(-1)2的最小值是.错解:利用一元二次方程根与系数的关系,易得+=2k,=k+6,所以(-1)2+(-1)2=2-2+1+2-2+1=(+)2-2-2(+)+2=4-.所以最小值为-.易错点分析:忽视隐含条件=4k2-4(k+6)0,导致结果错误.答案:8
8、解析:因为原方程有两个实根,所以=4k2-4(k+6)0k-2或k3.当k3时,(-1)2+(-1)2的最小值是8;当k-2时,(-1)2+(-1)2的最小值是18.所以最小值为8.例4(2012江苏卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间-1,1上,f(x)=其中a,bR.若f=f,则a+3b的值为.易错点分析:忽视隐含条件,f(1)=f(-1).答案:-10解析:因为f=f,函数f(x)的周期为2,所以f=f=f,根据f(x)=解得3a+2b=-2,又f(1)=f(-1),解得-a+1=,即2a+b=0,结合上面的式子解得a=2,b=-4,所以a+3b=-10.例5记函数f(x)
9、=的定义域为A,g(x)=lg(x-a-1)(2a-x)(a1)的定义域为B.(1) 求A;(2) 若BA,求实数a的取值范围.错解:(1) 由2-0,得0,所以x0,得(x-a-1)(x-2a)0.当a=1时,B=,所以BA;当a2a,所以B=(2a,a+1).因为BA,所以2a1或a+1-1,即a或a-2,又a1,所以a1或a-2.综上,当BA时,实数a的取值范围是(-,-2).易错点分析:由函数的概念知函数的定义域为非空集合,所以错解中a=1时,B=,说明函数不存在,因此a=1不适合.解答:(1) 由2-0,得0,所以x0,得(x-a-1)(x-2a)0,当a=1时,B=,因为定义域为非
10、空集合,所以a1.当a2a,所以B=(2a,a+1).因为BA,所以2a1或a+1-1,即a或a-2.又a1,所以a1或a-2,故当BA时,实数a的取值范围是(-,-2).例6设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=.错解:-f(0).因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x).又f(x)的图象关于x=对称,所以f(x)=f(1-x),所以f(-x)+f(-x+1)=0,所以f(x)+f(x-1)=0.所以f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0,f(1)+f(0)=0.所以f(5)+f(
11、4)+f(3)+f(2)+f(1)=-f(0).易错点分析:上面解答忽视了奇函数性质的运用,即f(x)在x=0处有定义f(0)=0.答案:0解析:依题意f(-x)=-f(x),f(x)=f(1-x).所以f(-x)=-f(1-x),即f(-x)+f(1-x)=0,f(x)+f(x-1)=0,所以f(5)+f(4)=0,f(3)+f(2)=0.f(1)+f(0)=0.又因为f(x)在x=0处有定义,所以f(0)=0,所以f(5)+f(4)+f(3)+f(2)+f(1)=f(1)=-f(0)=0.例7已知mx2+x+1=0有且只有一个实根在区间(0,1)内,求实数m的取值范围.错解:设f(x)=mx2+x+1,因为mx2+x+1=0有且只有一个实根在区间(0,1)内,所以f(0)f(1)0,解得m-2.(例7)易错点分析:对于连续函数f(x)而言,若f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点,但不一定唯一.对于二次函数y=f(x),若f(a)f(b)0,则在区间(a,b)上存在唯一的零点,一次函数有同样的结论成立.但方程f(x)=0在区间(a,b)上有且只有一个实根时,可能f(a)f(b)0,所以有两种可能情形:i)f(1)0,得m-2;ii)f(1)=0且0-1,得m不存在.综上,实数m的取值范围为(-,-2).