1、专题课堂(一)巧用抛物线的对称性解题第26章 二次函数类型一、求对称点的坐标【例1】如图，若抛物线yax2bxc上的P(3，0)，Q两点关于它的对称轴直线x1对称，则Q点的坐标为_分析：直接利用二次函数的对称性得出Q点坐标即可(1，0)对应训练1在二次函数yx2bxc中，函数值y与自变量x的部分对应值如下表，则该抛物线的顶点坐标为_，m_(1，2)1x2101234y7212m272.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的三个顶点A，B，D均在抛物线yax24ax3(ay2y3By2y1y3Cy3y1y2Dy3y2y1分析：二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线x1.根据点的横坐标距离对称轴
2、的远近来判断点的纵坐标的大小D对应训练5已知抛物线yax2bxc(a0)与x轴分别交于(1，0)，(5，0)两点，当自变量x1时，函数值为y1；当x3时，函数值为y2.下列结论正确的是()A.y1y2By1y2Cy1y2D不能确定B6已知二次函数yax2bxc中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：若A(m，y1)，B(m1，y2)两点都在该函数的图象上，当m满足_时，y1y2.m52类型五、巧用抛物线的对称性解决其他问题【例5】已知二次函数yax2bxc的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2bxc0的两个根的和为_分析：由抛物线的对称轴为直线x1，可得出b2a，再根据根与系数的关系即可得出
3、关于x的方程ax2bxc0的两个根的和2对应训练7如图是二次函数yax2bxc的部分图象，由图象可知不等式ax2bxc0的解集是_1x58如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x1，点C在抛物线上，且位于点A，B之间(点C不与点A，B重合).若ABC的周长为m，四边形AOBC的周长为_(用含m的式子表示)m29(2022泰安)若二次函数yax2bxc的图象经过点A(2，0)，B(0，4)，其对称轴为直线x1，与x轴的另一交点为C，如图.(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MNx轴于点N，如图
4、.若点N在线段OC上，且MN3NC，求点M的坐标；以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标 解：(1)二次函数 yax2bxc 的图象经过点 B(0，4)，c4，对称轴为直线 x1，经过 A(2，0)，b2a1，4a2b40，解得a12，b1.抛物线的表达式为 y12 x2x4(2)设直线 AB 的表达式为 ykxn，把 A(2，0)，B(0，4)代入，得2kn0，n4，解得k2，n4，直线 AB 的表达式为 y2x4，点 A，C 关于直线 x1 对称，C(4，0)，设 N(m，0)，MNx 轴，M(m，2m4)，NC4m，MN3NC，2m43(4m)，m85，M(85，365)如图，连结 PQ，MN 交于点 E.设 M(t，2t4)，则点 N(t，0)，四边形MPNQ 是正方形，PQMN，NEEP，NE12 MN，PQx 轴，E(t，t2)，NEt2，ONEPONNEtt22t2，P(2t2，t2)，点 P在抛物线 y12 x2x4 上，12(2t2)2(2t2)4t2，解得 t112，t22，点 P 在第四象限，t12，点 M 坐标为(12，5)
