1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学 习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列前n项和的性质的应用(重点)2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点)3.能用分组转化法求数列的和(重点、易错点)1.通过等比数列前n项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养.2.借助等比数列前n项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养.在等比数列an中，若q1时，Sn.可以把Sn写成SnAqnA的形式，那么等比数列的前n项和还有其它哪些性质？等比数列前n项和的性质(1)性质一：若Sn表示数列an的前n项和，且SnAqnA(Aq0，q1)，则数列an是等比数列(2)性质二：若数列an是公比为q的等比数
2、列，则在等比数列中，若项数为2n(nN*)，则q.在等比数列中，若项数为2n1(nN*)，则q.Sm，S2mSm，S3mS2m，成等比数列思考：在数列an中，an1can(c为非零常数)且前n项和Sn3n1k，则实数k的取值是什么？提示由题知an是等比数列，3n的系数与常数项互为相反数，而3n的系数为，k.1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)等比数列an共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q2()(2)已知等比数列an的前n项和Sna3n11，则a1()(3)若数列an为等比数列，则a1a2，a3a4，a5a6也成等比数列()(4)若Sn为等比数列
3、的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列()提示(1)q；(2)由等比数列前n项和的特点知a1得a3；(4)由S3，S6S3，S9S6成等比数列知(4)错误答案(1)(2)(3)(4)2设Sn为等比数列an的前n项和且Sn3n1A，则A()ABC3D3D根据等比数列an的前n项和公式知Snqn(q1)，又Sn3n1A33nA，得3A，故选D.3设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9()AB CDA法一：由等比数列前n项和的性质知S3，S6S3，S9S6成等比数列，又a7a8a9S9S6，则S3，S6S3，a7a8a9成等比数列，从而a7a8a9.故选A.法二：因为S
4、6S3S3q3，所以q3，所以a7a8a9S9S6S3q68.故选A.4已知数列an为等比数列，且前n项和S33，S627，则公比q_.2q38，所以q2.5在14与之间插入n个数，组成所有项的和为的等比数列，则此数列的项数为_5设此数列的公比为q，则故此数列共有5项等比数列前n项和性质的应用探究问题1在等差数列中，我们知道Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等差数列在等比数列an中，若连续m项的和不等于0，那么Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列吗？为什么？提示Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列在等比数列an中有amnamqn，Sma1a2am，S2mSmam1am2
5、a2ma1qma2qmamqm(a1a2am)qmSmqm.同理S3mS2mSmq2m，在Sm0时，Sm，S2mSm，S3mS2m，仍组成等比数列2若数列an为项数为偶数的等比数列，且S奇a1a3a5，S偶a2a4a6，那么等于何值？提示由等比数列的通项公式可知q.【例1】(1)等比数列an的前n项和为Sn，S27，S691，则S4为()A28 B32C21D28或21(2)等比数列an中，公比q3，S8032，则a2a4a6a80_.思路探究(1)由S2，S4S2，S6S4成等比数列求解(2)利用 q，及S2nS奇S偶求解(1)A(2)24(1)an为等比数列，S2，S4S2，S6S4也为等
6、比数列，即7，S47，91S4成等比数列，(S47)27(91S4)，解得S428或S421.S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2(1q2)S2，S428.(2)设S1a2a4a6a80，S2a1a3a5a79.则q3，即S13S2.又S1S2S8032，S132，解得S124.即a2a4a6a8024.1(变条件)将例题(1)中的条件“S27，S691”改为“正数等比数列中Sn2，S3n14”，求S4n的值解设S2nx，S4ny，则2，x2，14x，y14成等比数列，所以所以或(舍去)，所以S4n30.2(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S27，S691
7、”改为“公比q2，S9956”，求a3a6a9a99的值解法一：S9956，q2，a3a6a9a99a3(1q3q6q96)a1q232.法二：设b1a1a4a7a97，b2a2a5a8a98，b3a3a6a9a99，则b1qb2，b2qb3，且b1b2b356，b1(1qq2)56.b18，b3b1q282232.即a3a6a9a9932.1在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑对其差或比进行简化运算若项数为2n，则q(S奇0)；若项数为2n1，则q(S偶0)2等比数列前n项和为Sn(且Sn0)，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn(q1)分组求和法【例2】在各项均
8、为正数的等比数列中，已知a12，8a22a4a6.(1)求数列的通项公式；(2)设bnan2n，求数列的前n项和Tn.思路探究(1)利用等比数列的基本运算求出an的通项公式(2)根据bnan2n的特点，an和2n分别是等比数列和等差数列，所以可用分组求和法求数列前n项和解(1)设等比数列的公比为q(q0)，8a22a4a6，8a1q2a1q3a1q5，又a12，82q2q4.解得：q24，q2.ana1qn12n，nN*.(2)由(1)知：bn2n2n，Tn22n1n2n2.数列bn的前n项和为Tn2n1n2n2，nN*.分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若
9、干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成(2)解题步骤跟进训练1求数列2，4，6，2n，的前n项和Sn.解Sn246(2462n)n(n1)n2n.等差数列与等比数列的综合应用【例3】已知Sn是等比数列an的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2a3a418.(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在正整数n，使得Sn2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由思路探究(1)根据已知条件得出关于a1，q的方程组，求解即可；(2)只需表示出前n项和，解指数不等式解(1)设等比数列an的公比为q，则a10，q0.由题意得即解得故数列an的通项公式为an3(
10、2)n1.(2)由(1)有Sn1(2)n.若存在n，使得Sn2 013，则1(2)n2 013，即(2)n2 012.当n为偶数时，(2)n0，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.综上，存在符合条件的正整数n，且n的集合为n|n2k1，kN*，k5与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.跟进训练2已知数列an
11、的前n项和为Sn，且Snan53n3，bn.(1)证明：数列an23n为常数列；(2)求数列bn的前n项和Tn.解(1)当n1时，S1a153312，所以a16；当n2时，由Snan53n3，得Sn1an153n13，得，2anan1103n1，所以an23n(an123n1)，因为a16，所以a12310，所以an23n0，故数列an23n为常数列(2)由(1)知，an23n，所以bn，所以Tnb1b2b3bn1.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数
12、列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a10，q1或a10，0q1时为递增数列；当a11或a10，0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解1已知等比数列an的各项均为正数，前n项和为Sn，若a22，S6S46a4，则a5()A4 B10C16D32C由S6S4a6a56a4得，(q2q6)a40，q2q60，解得q2或q3(舍去)，从而a5a2232816，故选C.2设等比数列an的前n项和为
13、Sn，若S10S512，则S15S5()A34 B23 C12 D13A在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为S10S512，所以S52S10，S15S5，得S15S534，故选A.3记Sn为数列an的前n项和若Sn2an1，则S6_.63法一：因为Sn2an1，所以当n1时，a12a11，解得a11，当n2时，anSnSn12an1(2an11)，所以an2an1，所以数列an是以1为首项，2为公比的等比数列，所以an2n1，所以S663.法二：n2时，由Sn2an1得Sn2(SnSn1)1，Sn2Sn11，可得Sn12(Sn11)又S112.Sn1是首项为2，公
14、比为2的等比数列，S6122564，即S663.4一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为_8设该等比数列的项数为2n，依题意得S奇a1a3a5a2n1，S偶a2a4a6a2na1qa3qa2n1qqS奇S偶2S奇，q2.又中间两项为an和an1，则anan1a1qn1a1qn2n12n32n124，2n1823，n13，解得n4，2n8.5设等比数列an的前n项和为Sn，已知S42，S86，求a17a18a19a20的值解由等比数列前n项和的性质，可知S4，S8S4，S12S8，S4nS4n4，成等比数列由题意可知上面数列的首项为S42，公比为2，故S4nS4n42n(n2)，所以a17a18a19a20S20S162532.