1、上海市青浦高级中学2019-2020学年高一数学上学期十月质量检测试题（含解析）一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)1.已知集合且，则用列举法表示集合_【答案】【解析】【分析】当时，必不是自然数，依次代入，可验证是否是自然数，从而得到结果.【详解】当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，当且时， 故答案为：【点睛】本题考查列举法表示集合，关键是明确常用数集的含义，属于基础题.2.已知集合,若，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】将代入不等式即可求得的范围.【详解】 ，解得： 的取值范围为故答案为：【点睛】本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题.3
2、.已知，则_【答案】【解析】【分析】根据不等式的性质可求得，进而得到，不等式左右两端同时乘以一个负数，不等号方向改变，从而得到结果.【详解】 ，又 故答案为：【点睛】本题考查利用不等式的性质比较大小的问题，属于基础题.4.已知集合，集合，则_【答案】【解析】【分析】根据函数定义域和值域求解方法可求得集合和集合，由并集定义得到结果.【详解】，故答案为：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，关键是能够通过函数定义域和值域的知识求得两个集合，属于基础题.5.命题“已知，如果，那么或.”是_命题.（填“真”或“假”）【答案】真【解析】【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两
3、个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知，如果，那么或” 的逆否命题为“已知，如果且，那么” 为真命題，故命题“已知，如果，那么或” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.6.如果全集，_【答案】【解析】【分析】此题考查了集合的交、并、补的运算,结合韦恩图逐步填空可得解.【详解】解：,依题意填充韦恩图如图所示:故答案为：【点睛】本题考查了此题考查了集合的交、并、补的运算,熟练掌握各自的定义是解题的关键,借助韦恩图解题更简单.7.写出的一个必
4、要非充分条件_【答案】【解析】【分析】将必要非充分条件转化为集合之间的关系，即可求解.【详解】令，根据题意将问题转化为写出一个集合使，所以可以写集合.故答案为：（不唯一）【点睛】本题主要考查充分、必要条件与集合之间的关系，属于基础题.8.已知集合，且，则实数组成的集合为_【答案】【解析】【分析】解方程求得集合；分别在和两种情况下，根据交集结果构造方程，从而求得结果.【详解】当时，满足当时， 或，解得：或实数组成的集合为故答案为：【点睛】本题考查根据交集运算结果求解参数值问题，易错点是忽略集合为空集的情况，造成求解错误.9.已知集合中的所有元素之和为，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】
5、首先确定集合中包含元素；分别在无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为，综合可求得结果.【详解】令，解得：若无实根，即，解得：此时集合只有一个元素，满足题意若有两个相等实根，即，解得：，解得： 集合为，不满足元素之和为若有两个不等实根，即，解得：设此时方程的两根为，则若，此时集合为，不满足元素之和为若，则，此时集合为，满足元素之和为 综上所述：故答案为：【点睛】本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为的情况，造成求解错误.10.规定与是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数有:,.若
6、且,则用列举法表示集合_【答案】【解析】【分析】根据所定义运算可知，根据取值范围可分别在和两种情况下确定的取值，进而求得的不同取值，得到所求集合.【详解】由题意得：且当时，此时；当时，此时集合故答案为：【点睛】本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.11.已知，则下列结论中正确的序号是_；若，则；若且，则；若，则.【答案】【解析】【分析】中分母有理化后即可判断出正确；中令即可得到，正确；中，可知满足，正确；中通过反例，即可验证出错误；根据展开式通项，可判断出，可得正确【详解】中，正确；当时，可知，正确；令，则 ，
7、，正确；令，满足，则，错误；，展开式通项为：当为偶数时，；当为奇数时，又 ，即，正确故答案为：【点睛】本题考查元素与集合关系、集合之间的包含关系等知识，属于集合部分知识的综合应用，属于中档题.12.关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为_【答案】【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系可得，且，由此可将所求不等式化为，解不等式即可得到结果.【详解】的解集为或为方程的两根且 ，则不等式可化为： 即 解得：或 不等式解集为：故答案为：【点睛】本题考查一元二次不等式的求解，涉及到一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系、韦达定理的运用等知识，关键是能够通过解集确定方程的两根
8、及二次函数开口方向.二、选择题(每题5分) 13.如果，那么下列不等式中正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通过反例，可排除；利用不等式的性质可证得正确.【详解】若，则，则，错误；若，则，则错误； ，又 ，则正确.故选：【点睛】本题考查根据不等式的性质比较大小的问题，对于此类问题通常采用排除法来进行排除，属于基础题.14.下列命题中为真命题是( ) A. “若，则”的否命题B. “若，则”的逆命题.C. “若，则”的否命题D. “若，则”的逆否命题【答案】B【解析】【分析】选项：由其逆命题为假，可知否命题为假；选项：写出原命题的逆命题，分类讨论后可判断真假；选项：
9、写出原命题的否命题，可通过反例得到否命题为假；选项：通过判断原命题假，可知其逆否命题为假.【详解】中，“若，则”的逆命题为“若，则”当时，或，可知逆命题为假逆命题与否命题互为逆否命题，同真假 原命题的否命题为假，错误；中，原命题的逆命题为“若，则”当时，则，命题成立；当时，又 ，命题成立原命题的逆命题为真，正确；中，原命题的否命题为“若，则”当时， 原命题的否命题为假，错误；中，若，则或，可知原命题为假原命题与其逆否命题同真假 原命题的逆否命题为假，错误.故选：【点睛】本题考查四种命题之间的关系及真假性的判断，需明确原命题与其逆否命题同真假；逆命题与否命题同真假，从而在判断真假性时灵活转化.1
10、5.设全集，集合,，则方程的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由方程有意义可知分母不等于零，得到解集为；由分子等于零可得且，解集为；上述条件需同时成立，取交集即可得到结果.【详解】方程有意义 ，解集为 需且即且，解集为综上所述：方程的解集为：故选：【点睛】本题考查方程组解集的求解、集合的基本运算，关键是明确本题中方程成立的基本要求，即分母不为零且分子为零，从而利用交集运算求得结果.16.已知均为非零实数，则“”是“关于的不等式与解集相同”的( ) A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】通过可知所得
11、两个不等式不等价，充分性不成立；通过反例与解集均为，可知必要性不成立，从而得到最终结论.【详解】若，则，即与的解集不同，故充分性不成立若，不等式解集均为，此时，故必要性不成立综上所述：“”是“关于的不等式与解集相同”的既不充分也不必要条件故选：【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，证明充分性或必要性不成立时，常采用特殊值的方式，找到反例来进行说明.三、解答题17.设集合，若,试求与.【答案】，【解析】【分析】根据交集结果可令中元素、分别等于，求得后，计算出集合，舍掉交集结果不符的情况，得到；再根据并集运算求得.【详解】若，则此时， ，满足题意若，则此时， ，不满足题意综上所述：，【点睛】本
12、题考查集合运算中的根据交集运算结果求解参数值、并集运算等知识；此类型题易错点是忽略集合中元素的互异性、交集运算结果的一致性，导致求解错误.18.已知命题:关于方程有两个不等的负根，命题:关于的方程无实根.若命题中有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根的分布得到不等关系，求解出命题分别为真时的取值范围；令真假、假真分别求得结果，取并集得到最终结果.【详解】若命题为真，则，解得：若命题为真，则，解得：若真假，则；若假真，则的取值范围为：【点睛】本题考查根据命题的真假性求解参数范围的问题，涉及到根据一元二次方程根的情况求解参数范围的问题，属于常考题型.19.
13、关于的不等式组的解集为，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】将不等式组解集为转化为两个不等式均恒成立的问题；可通过和开口方向得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式组解集为 和恒成立若恒成立，则，解得：若恒成立当时，恒成立，满足题意当时，不恒成立，不合题意当且时，解得：若恒成立，若不等式组解集为，【点睛】本题考查一元二次不等式在实数集上恒成立问题的求解，关键是能够明确一元二次不等式恒成立实际是与开口方向和判别式有关；易错点是忽略对二次项系数是否为零的讨论.20.不等式的解集为，关于的不等式的解集为.(1)求集合、集合;(2)若集合中有个元素，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【
14、解析】分析】（1）利用一元二次不等式的解法可求得集合；分别在、和三种情况下，根据一元二次不等式解法求得集合；（2）将问题转化为则中包含个整数；分别在、和四种情况下，确定中整数个数，由此得到的范围.【详解】（1），解得：或当，即时，；当时，不等式解集为；当，即时，（2）若有个元素，则中包含个整数当时，即当时，则中不包含个整数，不合题意当，即时，则中不包含个整数，不合题意当，即时，包含个整数 需包含个整数，即综上所述：【点睛】本题考查一元二次不等式的求解、根据集合中元素个数求解参数范围、集合运算中的交集运算以及常用数集等知识，属于中档题.21.已知由自然数组成的元集合，非空集合,且对任意的，都有.
15、(1)当时，求所有满足条件的集合;(2)当时，求所有满足条件的集合的元素总和;(3)定义一个集合的“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该集合的元素，然后从最大数开始交替地减、加后继的数.例如集合的交替和是，集合的交替和为.当时，求所有满足条件的集合的“交替和”的总和.【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）确定后可知有偶数个元素，分别讨论两个元素和四个元素的情况即可得到结果；（2）确定可知有偶数个元素，分别在两个、四个、六个和八个元素的情况下求解元素之和，加和得到结果；（3）由、和时交替和总和的规律可得到当时，交替和总和为，代入即可求得结果.【详解】（1）当时，是的非空子集，且时， 中有偶数个元素中有两个元素时，或；中有四个元素时，所有满足条件的集合有：，（2）当时，是的非空子集，且时， 中有偶数个元素当中有两个元素时，元素之和为：当中有四个元素时，元素之和为：当中有六个元素时，元素之和为：当中有八个元素时，元素之和为：所有满足条件的集合的元素总和为：（3）当时，交替和的总和为：当时，由（1）知，交替和的总和为：当时，或或或或或或，交替和的总和为：以此类推，当时，交替和的总和为：当时， 所求交替和的总和为：【点睛】本题考查集合运算中的新定义运算的问题，关键是能够根据新定义确定集合中元素的特点，从而得到规律；考查了学生归纳与总结的能力，属于较难题.