1、2018-2019学年广西桂林市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题）1.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（）A. y2=-4x B. y2=4x C. x2=-4y D. x2=4y【答案】B【解析】【分析】由题意设抛物线方程为y2=2px（p0），结合焦点坐标求得p，则答案可求【详解】由题意可设抛物线方程为y2=2px（p0），由焦点坐标为（1，0），得，即p=2抛物的标准方程是y2=4x故选：B【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。2.若ab，xy，则
2、下列不等式正确的是（）A. a+xb+y B. a-xb-y C. axby D. 【答案】A【解析】【分析】根据不等式性质的同向相加性质，即可作出判断，得到答案。【详解】由题意，因为ab，xy，根据不等式同向相加性质可得a+xb+y，故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质的应用，其中解答中熟记不等式的基本性质是解答此类问题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。3.等差数列an中，a2=6，a4=8，则a6=（）A. 4 B. 7 C. 10 D. 14【答案】C【解析】【分析】利用等差数列通项公式列方程组，求出首项和公差，由此能求出第6项，得到答案【详解】由题意，因
3、为等差数列an中，a2=6，a4=8，解得a1=5，d=1，a6=a1+5d=5+5=10故选：C【点睛】本题主要考查了等差通项公式的求解及应用，其中解答中熟练应用题设条件，列出方程组，求出等差数列的首项和公差是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题。4.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2-b2-c2=bc，则A=（）A. 30 B. 60 C. 120 D. 150【答案】C【解析】【分析】由题意，根据题设条件，利用余弦定理，求得的值，即可求解A角的大小，得到答案。【详解】由题意知：a2-c2=b2+bc，可化为b2+c2-a2=-bc，两边同除以2bc，得，由余
4、弦定理，得cosA=-，又因为,A=120，故选：C【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，其中解答中对余弦定理的内容要做到“正用、逆用、变形用”是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。5.已知命题p：xR，x2+2x+3=0，则p是（）A. xR，x2+2x+30 B. xR，x2+2x+3=0C. xR，x2+2x+30 D. xR，x2+2x+3=0【答案】A【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果，即可得到答案【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：xR，x2+2x+3=0，则p是：xR，x2+2x+30故选：A【点睛】本题主要考查了含有量词的否定
5、，其中解答中熟记全面命题与特称命题的关系，准确书写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。6.设x，y满足约束条件则z=x+y的最大值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数经过时z取得最大值，故，故选D点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围7. 设p：x3，q：-1x3，则p是
6、q成立的（ ）A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，但，是成立的必要不充分条件，故选C.考点：本题主要考查充分、必要条件的判断.【此处有视频，请去附件查看】8.如果椭圆=1的弦被点（1，1）平分，则这条弦所在的直线方程是（）A. x+2y-3=0 B. 2x-y-3=0 C. 2x+y-3=0 D. x+2y+3=0【答案】A【解析】 设过点的直线与椭圆相交于两点， 由中点坐标公式可得，则，两式相减得，所以，所以直线的斜率，所以直线的方程为，整理得，故选A9.已知命题p：xR，2mx2+mx-0，命题q：2m+11若“pq”
7、为假，“pq”为真，则实数m的取值范围是（）A. （-3，-1）0，+） B. （-3，-10，+）C. （-3，-1）（0，+） D. （-3，-1（0，+）【答案】D【解析】【分析】根据不等式的解法分别求出命题p，q为真命题的等价条件，再结合复合命题真假关系分类讨论进行求解，即可得到答案【详解】由题意，当m=0时，2mx2+mx-0等价为-0，则不等式恒成立，当m0时，要使2mx2+mx-0恒成立，则即，得-3m0，综上-3m0，即p：-3m0，又由2m+11得m+10，得m-1，即q：m-1若“pq”为假，“pq”为真，则p，q一个为真命题一个为假命题，若p真q假，则，得-3m-1，若p
8、假q真，则，即m0，综上-3m-1或m0，即实数m的取值范围是（-3，-1（0，+），故选：D【点睛】本题主要考查了复合命题真假关系的应用，其中解答中正确求出命题p，q为真命题的等价条件是解决本题的关键，同时注意要对p，q的真假进行分类讨论，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。10.在数列中，（），则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：由，所以，故选C考点：数列的通项公式【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式，其中解答中涉及到数列的递推关系式的应用、数列的叠加法求和、对数的运算等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中
9、把数列的递推关系转化为是解答的关键，试题属于中档试题11.已知双曲线C：=1（a0，b0）的右项点为A，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，且该直线与另一条渐近线交于点M，若（+）=0，则C的离心率为（）A. B. C. 2 D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意，联立方程组求得M（，-），由（+）=0，可得，进而利用勾股定理求得，由离心率的定义，即可求解离心率【详解】由题意，如图所示，过A作双曲线C的一条渐近线的平行线，则该平行线的方程为：y=联立，可得M（，-）（+），即，得，即，所以，整理得，则C的离心率为故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答
10、中联立方程组，求得点M的坐标，再根据向量的运算和勾股定理求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，bc，则=（）A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B【解析】由及正弦定理可得 ，由余弦定理可得 ，又，故.故选B.二、填空题（本大题共4小题）13.函数y=x+，x0的最小值是_【答案】2【解析】【分析】由题意，注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式，即可求得函数的最小值【详解】由题意，因为，所以y=x+，当且仅当x=1 取等号故函数y=x+，x0的最小值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了函数的最
11、值问题，以及基本不等式的应用，其中解答中注意到两项的积为定值，且为正数，利用基本不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。14.正项等比数列an，若3a1，2a2成等差数列，则an的公比q=_【答案】3【解析】【分析】利用等比数列的通项公式、等差数列的性质列出方程，由此能求出an的公比【详解】由题意，正项等比数列an，3a1，2a2成等差数列，解得，即的公比故答案为：3【点睛】本题主要考查了等差数列性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等差数列的性质和等比数列的通项公式，列出方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。15.一货轮航行到M处，测得灯塔S
12、在货轮的北偏东15，与灯塔S相距20海里，随后货轮继续沿正西方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的北偏东45，则货轮的速度为_海里/时【答案】20【解析】【分析】根据题意，画出示意图，利用正弦定理求出MN的长，即可求解货轮的速度，得到答案【详解】由题意，如图所示，可知SMN=15+90=105，SNM=45，SM=20，NSM=30，在SMN中，由正弦定理可得：，即，解得：MN=，货轮的速度为=海里/时故答案为：【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用问题，其中解答中根据题设条件画出示意图，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。16
13、.已知点A（0，-1），B（0，1），以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径作圆，圆在B处的切线为直线l，过点A作圆的一条切线与l交于点M，则|MA|+|MB|=_【答案】4【解析】【分析】根据条件作出图象，结合两条切线交点的性质，转化为|MA|+|MB|=|AC|，利用勾股定理进行求解即可【详解】如图所示，设过点A作圆的一条切线与圆相切于C点，M是两条切线的交点，MB=MC，即|MA|+|MB|=|MA|+|MC|=|AC|=，圆是以点P（m，4）为圆心，|PB|为半径半径|PC|=|PB|=，|PA|=，则|AC|=则|MA|+|MB|=4，故答案为：4。【点睛】本题主要考查了直线和圆相切
14、的性质的应用，其中解答中利用数形结合转化为直角三角形，利用勾股定理是解决本题的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题。三、解答题（本大题共6小题）17.记Sn为等差数列an的前n项和，已知a5=3，S3=（1）求an的通项公式；（2）若Sm=27，求m【答案】（1）=（n+1）（2）m=9【解析】【分析】（1）设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出的值，由此能求出an的通项公式（2）利用等差数列点求和公式，求出Sm=27，由此能求出m【详解】（1）设等差数列an的公差为d，则，解得a1=1，d=，数列的通项公式为=（n+1）（2）由（
15、1），根据等差数列的求和公式，得Sm=27，整理，得m2+3m-108=0，由mN*，解得m=9【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式的应用，其中解中熟记等差数列的通项公式和求和公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题。18.在ABC中，已知BC=7，AB=3，A=60（1）求cosC的值；（2）求ABC的面积【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinC的值，利用大边对大角可求C为锐角，根据同角三角函数基本关系式可求cosC的值（2）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求sinB的值，根据三角形的面积公
16、式即可计算得解【详解】（1）由题意，BC=7，AB=3，A=60由正弦定理可得：sinC= BCAB，C为锐角，cosC=， （2）因为A+B+C=，A=60，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=+=， SABC=BCABsinB=【点睛】本题主要考查了正弦定理，大边对大角，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题19.设抛物线C：y2=4x焦点为F，直线l与C交于A，B两点（1）若l过F且斜率为1，求|AB|；（2）若不过坐标原点O，且OAOB，证明：直线l过定点【
17、答案】（1）8（2）见证明【解析】【分析】（1）由题意写出直线的方程，与抛物线方程联立消去y，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系和抛物线的定义求出|AB|的值；（2）可设直线的方程为x=my+a，A（x1，y1），B（x2，y2），由得关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的坐标运算法则求出a的值，再判断直线l恒过定点【详解】（1）由题意，抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），直线l过点F且斜率为1，则的方程为y=x-1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去y，得x2-6x+1=0，又=（-6）2-411=320，且x1+x2=6，|AB|=x1+x2+2=8
18、；（2）直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=my+a（a0），设A（x1，y1），B（x2，y2）；由，消去x，得y2-4my-4a=0，则y1y2=-4a；又x1=,x2=，x1x2=a2，又OAOB，=x1x2+y1y2=0，即a2-4a=0，又a0，a=4，直线l：x=my+4恒过定点M（4，0）【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。2
19、0.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（1）求A；（2）若D为边BC上一点，且，b=6，AD=2，求a【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得2sinCcosA=sinC，又sinC0，即可得，即可求得A的大小（2）过点D作DEAC交AB与E，可求DEA=，DE=AC=2，在ADE中，由余弦定理可解得AE，可求AB，在ABC中，由余弦定理可得BC的值【详解】（1）由题意，知，可得：（2c-b）cosA=acosB，由正弦定理知，（2sinC-sinB）cosA=sinAcosB，2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB，2sinCc
20、osA=sin（A+B）=sinC，在ABC中，sinC0cosA=，A=（2）过点D作DEAC交AB与E，则DEA=，则DE=AC=2，在ADE中，由余弦定理可得：AD2=AE2+DE2-2AD，12=AE2+22-2AE，即：AE2+2AE-8=0，解得：AE=2，AB=3， 在ABC中，由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB，BC2=32+62-2=27，BC=3 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角. 其中正、余弦定理解三角形问题是高
21、考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.21.已知数列an满足a1=2，an+1=2（Sn+n+1）（nN*），令bn=an+1（1）求数列bn的通项公式；（2）证明：【答案】（1）bn=3n；（2）见证明【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式，可得所求；（2）由an+1=3n，可得=，再由裂项相消求和，结合不等式的性质可得证明【详解】（1）由题意，可知a1=2，an+1=2（Sn+n+1）n=1时，a2=2（2+1+1）=8，n2时，an=2（Sn-1+n）相减整理可得an+1=3an+2，可得an+1+1=3（an+1），n=1时，上
22、式也成立，即有bn+1=3bn，所以数列的通项公式为bn=b13n-1=3n；（2）由an+1=3n，可得=即有=，【点睛】本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中根据数列的递推公式准确求解数列的通项公式，以及合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。22.设点A，B的坐标分别为（-2，0），（2，0）直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是-（1）求点M的轨迹E的方程；（2）设直线l：y=kx与E交于C，D两点，F1（-1，0），F2（1，0），若E上存在点P，使得，求实数k的取值范围【答案
23、】（1），（x2）（2）k的取值范围是-）（0，【解析】【分析】（1）设M（x，y），由题意得 ，由此能求出点M的轨迹E的方程（2）设C（x1，y1），P（2cos，），则=2，点P到直线l的距离d=，|CD|=2|y1|，k0，从而SPCD=|y1|从而只需4|y1|y1|，由此能求出k的取值范围【详解】（1）设M（x，y），由题意得： （x2），化简，得点M的轨迹E的方程为，（x2）（2）设C（x1，y1），P（2cos，），=2=，点P到直线l的距离d=，|CD|=2|y1|，k0，SPCD=|y1|=|y1|E上存在点P，使得，只需4|y1|y1|，解得k2k0，k的取值范围是-）（0，【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，考查直线的斜率的取值范围及直线方程、椭圆、点到直线的距离公式等基础知识综合应用，着重考查了运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档试题