1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十八)数列的概念与简单表示法(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1+D.数列0,2,4,6,可记为2n【解析】选C.由数列的定义可知,数列与集合不同.选项A错,数列中的数与顺序有关,选项B错,D应为2n-2,因为an=1+,所以ak=1+,故选C.2.数列,的一个通项公式是()A.an=B.an
2、=C.an=D.an=【解析】选D.因为7-3=11-7=15-11=4.即-1=4,所以=3+(n-1)4=4n-1,所以an=.故选D.3.已知数列an的通项公式为an=log2(n2+7),则5是该数列的()A.第3项B.第4项C.第5项D.第6项【解析】选C.令log2(n2+7)=5,则n2+7=25=32,所以n2=25,由nN*得n=5.4.(2015重庆模拟)已知a1=1,an=n(an+1-an)(nN*),则数列an的通项公式是()A.2n-1B.C.n2D.n【解析】选D.因为an=n(an+1-an),所以=,所以an=a1=1=n.5.(2015北京模拟)已知an=,
3、把数列an的各项排列成如图的三角形形状.a1a2a3a4a5a6a7a8a9记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)=()A.B.C.D.【解析】选A.由题意知,前9行共有1+3+5+17=81个数,因此,第10行的第1个数是a82,第12个数是a93,又因为an=,所以A(10,12)=a93=.【加固训练】(2015盐城模拟)将正偶数按下表排成5列:第1列第2列第3列第4列第5列第1行2468第2行16141210第3行18202224第4行32302826根据表中的规律,偶数2014应在第行第列.【解析】表中每一行4个数,因为都是偶数,所以201424=251余3,从表格可
4、知奇数行从第2列开始,从小到大排列,偶数行从第一列开始,从大到小排列,所以可得其在第252行,第2列.答案:2522二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知数列an满足an+2=an+1+an,若a1=1,a5=8,则a3=.【解析】由an+2=an+1+an,得an+3=an+2+an+1=2an+1+an,即当n=2时a5=2a3+a2,当n=1时,a3=a2+a1,即a2=a3-a1,两式联立得a5=2a3+a2=2a3+a3-a1,因为a1=1,a5=8,所以8=3a3-1,即a3=3.答案:3【加固训练】已知数列an对于任意p,qN*,有ap+aq=ap+q,若a1=,则a36=(
5、)A.B.C.1D.4【解析】选D.因为ap+q=ap+aq,所以a36=a32+a4=2a16+a4=4a8+a4=8a4+a4=18a2=36a1=4.7.在数列an中,若a1=,an= (n2,nN*),则a2015=.【解析】因为a1=,an=(n2,nN*),所以a2=2,a3=-1,a4=.所以an是以3为周期的数列.所以a2015=a6713+2=a2=2.答案:2【加固训练】(2015黄冈模拟)已知数列an,若a1=b(b0),an+1=-(nN*),则能使an=b成立的n的值可能是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.由已知得a1=b,a2=-=-,a3=-=-,
6、a4=-=b,a5=-=-,a6=-=-,所以数列an的周期为3,再根据a1=a4=b,观察选项可知a16=b,故选C.8.(2015郑州模拟)已知数列an的通项公式是an=则a3a4=.【解析】由已知得a3=23-5=1,a4=234-1=54,所以a3a4=154=54.答案:54三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015大连模拟)数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),求数列an的通项公式.【解析】a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3
7、)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得an=3n.当n=1时,符合上式.所以an=3n(nN*).10.若an=n2+n+3(其中为实常数),nN*,且数列an为单调递增数列,求实数的取值范围.【解析】因为an为单调递增数列,所以an+1an,即(n+1)2+(n+1)+3n2+n+3,化简为-2n-1对一切nN*都成立,所以-3.故实数的取值范围为(-3,+).【方法技巧】数列的性质的理解(1)数列的单调性与实数区间上函数的单调性是不同的,区间上函数的单调性必须对区间内的实数满足单调性的定义,而数列的单调性只要求对正整数满足单调性的定义即可,如函数f(x)=2x2-5x的单调递增区间是,
8、+),而通项公式是an=2n2-5n的数列an对任意的正整数都满足单调递增的定义.(2)数列的周期性是指存在正整数k(常数),对任意正整数n,an+k=an,在给出递推关系的数列中可以通过计算数列的前几项的值,探究其周期性.(3)在由特殊得出一般结论的时候,一定要注意特殊中体现出来的一般规律,为了保证特殊化方法得出的结论具有一般意义,可以多计算数列中几项的值,加以验证.【加固训练】已知数列an的通项an=(n+1)(nN*).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解题提示】要想判断一个数列有无最大项,可以判断数列的单调性,如果数列的前n项是递增的,从n
9、+1项开始是递减的,则an(an+1)即为数列的最大项,故我们可以判断数列an+1-an的表达式,然后进行分类讨论,给出最终的结论.【解析】因为an+1-an所以当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an;故a1a2a3a11a12.所以数列an有最大项a9或a10,其值为10,其项数为9或10.(20分钟40分)1.(5分)(2015哈尔滨模拟)数列an定义如下:a1=1,当n2时,an=若an=,则n的值等于()A.7B.8C.9D.10【解析】选C.因为a1=1,当n2时an=所以a2=1+a1=2,a3=,a4=
10、1+a2=3,a5=,a6=1+a3=,a7=,a8=1+a4=4,a9=,又已知an=,所以n=9.2.(5分)(2015郑州模拟)已知数列an的通项公式为an=n2-2n(nN*),则“0,即2n+12对任意的nN*都成立,于是有32,.由1可得,但反过来,由不能得到1,因此“an,求实数k的取值范围.【解析】(1)由n2-5n+40,解得1nan知该数列是一个递增数列,又因为通项公式an=n2+kn+4,可以看作是关于n的二次函数,考虑到nN*,所以-3.【加固训练】已知数列an的通项公式为an=n2-n-30.(1)求数列的前三项,60是此数列的第几项?(2)n为何值时,an=0,an
11、0,an0,解得n6或n6(nN*)时,an0.令n2-n-300,解得0n6.所以当0n6(nN*)时,an0.(3)Sn存在最小值,不存在最大值.由an=n2-n-30=-30,(nN*)知an是递增数列,且a1a2a5a6=0a7a8a9,故Sn存在最小值S5=S6,不存在最大值.5.(13分)在数列an中,a1=1,an+1=(nN*).(1)写出它的前五项,并归纳出通项公式.(2)判断它的单调性.【解析】(1)a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,归纳得an=.(2)方法一:因为an+1-an=-=-0,所以数列an是递减数列.方法二:因为函数f(x)=在x1,+)上单调递减,所以数列an是递减数列.关闭Word文档返回原板块
