1、高考资源网（） 您身边的高考专家平面向量、三角函数与解三角形授课提示：对应学生用书第99页（一）三角形中的范围（最值）问题任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围（或最值）问题也不例外三角形中的范围（或最值）问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法1与边或角有关的范围（最值）问题例1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S，b4，accos BS（1）若a，b，c成等差数列，试判断ABC的形状；（2）求ac的取值范围解析（1）由已知得a
2、ccos Bacsin B，得tan B，因为0B，所以B因为a，b，c成等差数列，b4，所以ac2b8，由余弦定理，得16a2c22accos ，所以16（ac）23ac，得ac16，所以acb4，所以ABC是等边三角形（2）法一：由（1）得（ac）23ac16（ac）23（当且仅当ac时取等号），解得0ac8又acb4，所以4ac8，所以ac的取值范围是（4，8法二：根据正弦定理，得，所以asin A，csin C，所以ac（sin Asin C）因为ABC，B，所以AC，所以ac8sin，因为0A，所以A，所以sin，则ac（4，8所以ac的取值范围是（4，8三角形中边或角范围问题的解决
3、方法求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有：要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果范围过大题组突破1（2021佛山调研）在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是（）ABC D解析：因为2bac，所以cos B1由基本不等式知，所以cos B41，所以角B的取值范围是答案：B2（2020高考全国卷）ABC中，sin2Asin2Bsi
4、n2Csin Bsin C（1）求A；（2）若BC3，求ABC周长的最大值解析：（1）由正弦定理和已知条件得BC2AC2AB2ACAB由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcos A由得cos A因为0A，所以A（2）由正弦定理及（1）得2，从而AC2sin B，AB2sin（AB）3cos BsinB故BCACAB3sin B3cos B32sin又0B，所以当B时，ABC周长取得最大值322与面积有关的范围或最值问题例2（2021绵阳第一次诊断）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B3atan A（1）求的值；（2）若a2，求ABC面积的最大值解析（1）2cs
5、in B3atan A，2csin Bcos A3asin A，由正弦定理得2cbcos A3a2，由余弦定理得b2c2a23a2，化简得b2c24a2，4（2）a2，由（1）知b2c24a216，由余弦定理得cos A根据基本不等式知b2c22bc，即8bc，当且仅当bc时“”成立，cos A由cos A，得bc，且A，ABC的面积Sbcsin Asin A3tan A1tan2A1，tan A ，S3tan AABC的面积的最大值为求解三角形中面积的范围（或最值）问题的方法一般要由题目已知条件（三角恒等关系式、边角大小等）结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最
6、值等方法求得面积的最值或范围对点训练如图所示，已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，acosACBccosCABbsin B，且CAB若D是ABC外一点，DC2，DA3，则当四边形ABCD的面积最大时，sin D_解析：因为acosACBccosCABbsin B，所以由正弦定理可得sinCABcosACBsinACBcosCABsin（CABACB）sin Bsin2B，因为sin B0，所以sin B1，所以B又CAB，所以BCAC，ABAC，由余弦定理可得cos D，即AC21312cos D，四边形ABCD的面积S23sin DACAC3sin D（1312cos D）3si
7、n Dcos Dsin（D），其中tan 当sin（D）1，即D时，四边形ABCD的面积最大，此时tan Dtan，可得sin D答案：（二）平面向量模的范围或最值问题平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强1平面向量模的最值或范围问题例3已知向量a，b为单位向量，且ab，向量c与ab共线，则|ac|的最小值为（）A1BC D（2）在平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，3），O为坐标原点，且（1），N（1，0），则|的最小值为（）A BC D解析（1）向量c与ab共线，可设ct（ab）（tR），ac（t1）atb，（ac）2（t1）2a22t（
8、t1）abt2b2向量a，b为单位向量，且ab，（ac）2（t1）2t（t1）t2t2t1，|ac|，|ac|的最小值为（2）（1），A，B，M三点共线，A（2，0），B（1，3），直线AB的方程为xy20，N（1，0），设点N到直线AB的距离为d，d，|的最小值为点N到直线AB的距离答案（1）D（2）B求向量模的最值（范围）的两种方法（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解题组突破1已知向量a，b满足|ab|ab|5，则|a|b|的取值范围是（）A0，5 B5，5C5，7 D5，10解析：
9、依题意，注意到|a|b|ab|5，当b0或a0时取得等号，因此|a|b|的最小值是5；又注意到（ab）2（ab）22（a2b2），即|ab|2|ab|22（|a|2|b|2），于是有2（|a|2|b|2）50，|a|b|5，当且仅当|a|b|时取等号，|a|b|的最大值是5因此，|a|b|的取值范围是5，5答案：B2（2021广元模拟）在ABC中，AB2AC6，|2，点P是ABC所在平面内一点，则当|2|2|2取得最小值时，（）A BC9 D9解析：|cos B|2，|cos B|6，即A以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（6，0），C（0，3）设P（x，y），则|2|2|2x2
10、y2（x6）2y2x2（y3）23x212x3y26y453（x2）2（y1）210，当x2，y1时，|2|2|2取得最小值，此时（2，1）（6，3）9答案：D2数量积的最值（范围）问题 例4（1）如图所示，在正方形ABCD中，|3，CE与BD交于点F，P是线段AF上任意一点，则的最小值为（）A BC1 D1（2）用mina，b表示实数a，b中的较小者已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，ab0，cab（221），则当minca，cb取得最大值时，|c|（）A BC D解析（1）以A为原点，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系（图略），则A（0，0），B（3，0），C（3，3），
11、D（0，3），E（2，0）又直线lBD：xy3和lCE：3xy60相交，所以易得点F的坐标为由P是线段AF上任意一点，可设P（3y，y），则（3y，y）（3y，y3）10y23y10，所以当y时，取得最小值（2）ca（ab）aa2ba，cb（ab）babb24，因为221，所以当4时，不妨令01，01，解得0，所以minca，cb设f（）则f（）在上单调递增，在上单调递减，所以当时，f（）取得最大值，此时cab，所以|c|2（16a2b28ab），所以|c|答案（1）B（2）A数量积的最值或范围问题的两种求解方法（1）临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围（2）目标函数法：将数量
12、积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围题组突破1（2021安阳模拟）已知在OAB中，OAOB2，AB2，动点P位于线段AB上，则当取最小值时，向量与的夹角的余弦值为_解析：易知AOB120，记a，b，则ab2，设ab（01），则（1）ab，则（ab）（1）ab1226，当时，取最小值，此时，|，ab（3ab），|3ab|，所以向量与的夹角的余弦值为答案：2已知圆C：（x2）2y24，圆M：（x25cos ）2（y5sin ）21（R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是_解析：圆C：（
13、x2）2y24的圆心C（2，0），半径为2，圆M（x25cos ）2（y5sin ）21，圆心M（25cos ，5sin ），半径为1，因为CM521，故两圆外离如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则的最小值是，HCCM1514，HFHE2，sinCHE，所以CHE30，所以EHF60，所以|cosEHF226所以的最小值是6答案：6（三）三角函数与平面向量的综合例5（2021龙岩模拟）已知向量a（，1），b（sin 2x，2sin2x1），xR（1）若ab，且x0，求x的值；（2）记f（x）ab（xR），若将函数f（x）的图像上的所有点向左平移个单位长度得到函数g（x）的图像当x时，求
14、函数g（x）的值域解析（1）因为ab，所以（2sin2x1）sin 2x0，即sin 2xcos 2x若cos 2x0，则sin 2x0，与sin22xcos22x1矛盾，故cos 2x0所以tan 2x，又x0，所以2x0，2，所以2x或2x，即x或x，即x的值为或（2）因为f（x）ab（，1）（sin 2x，cos 2x）sin 2xcos 2x2sin，所以g（x）2sin2sin，当x时，2x，所以sin，所以2sin1，2，即当x时，函数g（x）的值域为1，21题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解2给出用三角函数表
15、示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性、求得值域等对点训练（2021德州模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m（cos（AB），sin（AB），n（cos B，sin B），且mn（1）求sin A的值；（2）若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的投影解析：（1）由mn，得cos（AB）cos Bsin（AB）sin B，所以cos A因为0A，所以sin A（2）由正弦定理，得，则sin B，因为ab，所以AB，且B是ABC的内角，则B由余弦定理得（4）252c225c，解得c1或c7（舍去）故向量在方向上的投影为|cos Bccos B1- 10 - 版权所有高考资源网